إحداثيات ثلاثية الخطوط

تُمكّن الإحداثيات الثلاثية من استخدام العديد من الطرق الجبرية في هندسة المثلثات. على سبيل المثال، ثلاث نقاط $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&=x:y:z\\\end{aligned}}}$$ تكون المتغيرات متوازية إذا وفقط إذا كان المحدد$${\displaystyle D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}}$$ يساوي صفرًا. بالتالي، إذا كانت x  : y  : z نقطة متغيرة، فإن معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين P و U هي D = 0. [ ^{1 ] : ص 23.} من هذا، لكل خط مستقيم معادلة خطية متجانسة في x و y و z . كل معادلة من الشكل${\displaystyle lx+my+nz=0}$في المعاملات الحقيقية، يكون الخط مستقيماً حقيقياً ذا نقاط محدودة ما لم تكن النسبة l  : m  : n متناسبة مع a  : b  : c ، وهي أطوال الأضلاع، وفي هذه الحالة يكون لدينا المحل الهندسي للنقاط عند اللانهاية. ^{[ 1 ] : ص 40}

المقابل لهذا الاقتراح هو أن الخطوط $${\displaystyle {\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0\\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{محاذاة}}}$$يتفقان في نقطة ( α ، β ، γ ) إذا وفقط إذا كان D = 0. ^{[ 1 ] : ص 28}

أيضًا، إذا تم استخدام المسافات الموجهة الفعلية عند حساب محدد D ، فإن مساحة المثلث △ PUX هي KD ، حيث${\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}}$(وحيث Δ هي مساحة المثلث △ ABC ، كما سبق) إذا كان للمثلث △ PUX نفس اتجاه المثلث △ ABC (مع عقارب الساعة أو عكس عقارب الساعة) ، و${\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}}$خلاف ذلك.

خطان بمعادلات ثلاثية${\displaystyle lx+my+nz=0}$و${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$تكون متوازية إذا وفقط إذا ^{[ 1 ] : ص 98، #11}$${\displaystyle {\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,}$$ حيث a و b و c هي أطوال الأضلاع.

مماسات الزوايا بين خطين بمعادلات ثلاثية الخطوط${\displaystyle lx+my+nz=0}$و${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$تُعطى هذه المعلومات من خلال ^{[ 1 ] : المادة 48}$${\displaystyle \pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.}$$

وبالتالي فهما متعامدان إذا ^{[ 1 ] : المادة 49}$${\displaystyle ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.}$$

معادلة الارتفاع من الرأس A إلى الضلع BC هي ^{[ 1 ] : ص 98، #x}$${\displaystyle y\cos Bz\cos C=0.}$$

معادلة خط مستقيم ذي مسافات متغيرة p و q و r من الرؤوس A و B و C، وأضلاعه المقابلة a و b و c هي ^{[ 1 ] : ص 97، #viii}$${\displaystyle apx+bqy+crz=0.}$$

تحقق الخطوط الثلاثية ذات قيم الإحداثيات a' و b' و c'، وهي المسافات العمودية الفعلية على الأضلاع، المعادلة ^{[ 1 ] : ص 11}$${\displaystyle aa'+bb'+cc'=2\Delta }$$ بالنسبة لأضلاع المثلث a و b و c ومساحته Δ . يمكن ملاحظة ذلك في الشكل أعلى هذه المقالة، حيث تقسم النقطة الداخلية P المثلث △ ABC إلى ثلاثة مثلثات △ PBC و △ PCA و △ PAB بمساحاتها الخاصة.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.}$

المسافة d بين نقطتين بمسافات فعلية ثلاثية الخطوط a _i  : b _i  : c _i تُعطى بالعلاقة ^{[ 1 ] : ص 46}$${\displaystyle d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C}$$ أو بطريقة أكثر تماثلاً $${\displaystyle d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right).}$$

المسافة d من النقطة a' : b' : c' ، في الإحداثيات الثلاثية للمسافات الفعلية، إلى خط مستقيم${\displaystyle lx+my+nz=0}$هو ^{[ 1 ] : ص 48}$${\displaystyle d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.}$$

معادلة القطع المخروطي في النقطة الثلاثية المتغيرة x  : y  : z هي ^{[ 1 ] : ص 118}$${\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.}$$

لا يحتوي على حدود خطية ولا على حد ثابت .

معادلة دائرة نصف قطرها r ومركزها عند إحداثيات المسافة الفعلية ( a', b', c' ) هي ^{[ 1 ] : ص 287}$${\displaystyle (x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.}$$

يمكن تمثيل العديد من المنحنيات التكعيبية بسهولة باستخدام الإحداثيات الثلاثية. على سبيل المثال، المنحنى التكعيبي المحوري Z ( U, P ) ، باعتباره موضع نقطة X بحيث يكون المنحنى المترافق P لـ X على الخط UX، يُعطى بمعادلة المحدد. $${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.}$$

من بين المكعبات المسماة Z ( U, P ) ما يلي:

• مكعب طومسون :${\displaystyle Z(X(2),X(1))}$، حيث​${\displaystyle X(2)}$⁠ هو مركز الثقل و ⁠${\displaystyle X(1)}$هو مركز​
• مكعب فيورباخ :${\displaystyle Z(X(5),X(1))}$، حيث​${\displaystyle X(5)}$نقطة فيورباخ​
• مكعب داربو :${\displaystyle Z(X(20),X(1))}$، حيث​${\displaystyle X(20)}$نقطة دي لونغشامب
• مكعب نيوبيرج :${\displaystyle Z(X(30),X(1))}$، حيث​${\displaystyle X(30)}$هي نقطة اللانهاية لأويلر.

لأي اختيار للإحداثيات الثلاثية x  : y  : z لتحديد موقع نقطة، تُعطى المسافات الفعلية للنقطة من الخطوط الجانبية بالصيغ التالية: a' = kx ، b' = ky ، c' = kz، حيث يمكن تحديد قيمة k بالصيغة التالية:${\displaystyle k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}}$حيث أن a و b و c هي أطوال الأضلاع BC و CA و AB على التوالي ، و ∆ هي مساحة △ ABC .

النقطة ذات الإحداثيات الثلاثية x  : y  : z لها إحداثيات مركزية ax  : by  : cz حيث a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث. وبالعكس، النقطة ذات الإحداثيات المركزية α  : β  : γ لها إحداثيات ثلاثية.${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.}$

بفرض وجود مثلث مرجعي △ ABC ، عبّر عن موضع الرأس B بدلالة زوج مرتب من الإحداثيات الديكارتية ، ومثّل هذا جبرياً كمتجه .${\displaystyle {\vec {B}},}$باستخدام الرأس C كنقطة أصل. وبالمثل، عرّف متجه موضع الرأس A على النحو التالي :${\displaystyle {\vec {A}}.}$عندئذٍ ، يمكن تعريف أي نقطة P مرتبطة بالمثلث المرجعي △ ABC في نظام إحداثيات ديكارتية كمتجه.${\displaystyle {\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.}$إذا كانت إحداثيات النقطة P ثلاثية الخطوط x  : y  : z، _فإن صيغة التحويل من المعاملات k1 و k2 في التمثيل الديكارتي إلى الإحداثيات ثلاثية الخطوط هي، بالنسبة لأطوال الأضلاع a و b و c المقابلة للرؤوس A و B و _C ، $${\displaystyle x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},}$$ وصيغة التحويل من الإحداثيات الثلاثية الخطية إلى المعاملات في التمثيل الديكارتي هي $${\displaystyle k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.}$$

وبشكل أعم، إذا تم اختيار نقطة أصل عشوائية حيث تكون الإحداثيات الديكارتية للرؤوس معروفة وممثلة بالمتجهات ⁠${\displaystyle {\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}}$وإذا كانت النقطة P لها إحداثيات ثلاثية x  : y  : z ، فإن الإحداثيات الديكارتية لـ${\displaystyle {\vec {P}}}$تمثل هذه القيم المتوسط ​​المرجح للإحداثيات الديكارتية لهذه الرؤوس باستخدام الإحداثيات الباريسنترية ax و by و cz كأوزان. ومن ثم، فإن صيغة التحويل من الإحداثيات الثلاثية x و y و z إلى متجه الإحداثيات الديكارتية هي:${\displaystyle {\vec {P}}}$يُعطى جزء من النقطة بواسطة $${\displaystyle {\vec {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},}$$ حيث تكون أطوال الأضلاع $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left|{\vec {C}}-{\vec {B}}\right|=a,\\&\left|{\vec {A}}-{\vec {C}}\right|=b,\\&\left|{\vec {B}}-{\vec {A}}\right|=c.\end{aligned}}}$$