نقطة المنتصف

في الهندسة ، تُعرف النقطة الوسطى ( mittenpunkt ) للمثلث بأنها مركز المثلث : وهي نقطة مُحددة من المثلث لا تتغير تحت التحويلات الإقليدية للمثلث. وقد حددها كريستيان هاينريش فون ناجل عام 1836 بأنها النقطة المتوسطة للمثلث اللامركزي للمثلث المعطى. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تحتوي نقطة المنتصف على إحداثيات ثلاثية الخطوط ^{[ 1 ]}

${\displaystyle (b+ca):(c+ab):(a+bc)}$

حيث تمثل a و b و c أطوال أضلاع المثلث المعطى. أما إذا تم التعبير عنها بدلالة الزوايا A و B و C ، فإن المعادلات الثلاثية هي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}=(\csc A+\cot A):(\csc B+\cot B):(\csc C+\cot C).}$

الإحداثيات الباريسنترية هي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle a(b+ca):b(c+ab):c(a+bc)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C).}$

تقع نقطة المنتصف عند تقاطع الخط الواصل بين مركز الثقل ونقطة جيرجون ، والخط الواصل بين مركز الدائرة الداخلية ونقطة التناظر ، والخط الواصل بين مركز التعامد ومركز سبيكر ، مما يؤدي إلى إنشاء ثلاث استقامات تشمل نقطة المنتصف. ^{[ 4 ]}

تلتقي الخطوط الثلاثة الواصلة بين مركزي المثلث المعطى ومنتصفات حوافه عند نقطة المنتصف (mittenpunkt)؛ لذا، فهي مركز المنظور للمثلث اللامركزي والمثلث المتوسط، ومحور المنظور المقابل هو الخط القطبي الثلاثي لنقطة جيرجون . ^{[ 5 ]} كما أن نقطة المنتصف هي مركز ثقل القطع الناقص الماندارتي للمثلث المعطى، وهو القطع الناقص المماس للمثلث عند نقاط التماس . ^{[ 6 ]}

كما أن نقطة المنتصف (mittenpunkt) تمثل نقطة جيرجون (Gergonne) للمثلث الإنسي .

• وايسستين، إريك دبليو. "ميتنبونكت" . عالم الرياضيات .