هيسه النموذج الطبيعي

في الهندسة التحليلية ، تُستخدم الصيغة المعيارية لهيس (نسبةً إلى أوتو هيس ) لوصف خط مستقيم في المستوى الإقليدي.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، مستوى في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$أو مستوى فائق في أبعاد أعلى . ^{[ 1 ] [ 2 ]} يستخدم بشكل أساسي لحساب المسافات (انظر مسافة النقطة-المستوى ومسافة النقطة-الخط ).

تُكتب باستخدام الترميز المتجهي على النحو التالي:

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

النقطة${\displaystyle \cdot }$يشير إلى الضرب القياسي (أو الضرب النقطي). متجه${\displaystyle {\vec {r}}}$النقاط من نقطة الأصل في نظام الإحداثيات، O ، إلى أي نقطة P تقع تحديدًا في المستوى أو على الخط E. المتجه${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$يمثل متجه الوحدة العمودي على المستوى أو الخط E. المسافة${\displaystyle d\geq 0}$هي أقصر مسافة من نقطة الأصل O إلى المستوى أو الخط.

ملاحظة: لتبسيط الأمر، يتناول الاشتقاق التالي الحالة ثلاثية الأبعاد. ومع ذلك، فهو قابل للتطبيق أيضًا في الحالة ثنائية الأبعاد.

في الصيغة العادية،

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}$

يُعطى المستوى بواسطة متجه عمودي${\displaystyle {\vec {n}}}$بالإضافة إلى متجه موضع عشوائي${\displaystyle {\vec {a}}}$نقطة${\displaystyle A\in E}$اتجاه${\displaystyle {\vec {n}}}$يتم اختيارها لتحقيق المتباينة التالية

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$

بتقسيم المتجه العمودي${\displaystyle {\vec {n}}}$بحجمها​${\displaystyle |{\vec {n}}|}$، فنحصل على متجه الوحدة (أو المتجه المعياري)

${\displaystyle {\vec {n}} _ {0}= {{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}$

ويمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}$

الاستبدال

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

نحصل على الشكل الطبيعي لهيس

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

في هذا الرسم التخطيطي، يمثل d المسافة من نقطة الأصل. لأن${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$ينطبق هذا على كل نقطة في المستوى، وهو صحيح أيضًا عند النقطة Q (النقطة التي يتقاطع عندها المتجه من نقطة الأصل مع المستوى E)، مع${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}}$، وفقًا لتعريف الضرب القياسي

$// {ص}}_{ق}|.\,}$

الحجم${\displaystyle |{\vec {r}}_{s}|}$ل${\displaystyle {{\vec {r}}_{s}}}$هي أقصر مسافة من نقطة الأصل إلى المستوى.

الربع (المسافة المربعة) من خط${\displaystyle ax+by+c=0}$إلى حد ما${\displaystyle (x,y)}$يكون

${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}$

لو${\displaystyle (a,b)}$إذا كان طوله وحدة واحدة، فإن هذا يصبح${\displaystyle (ax+by+c)^{2}.}$

• وايسشتاين، إريك دبليو. "صيغة هيسيان الطبيعية" . عالم الرياضيات .