حدود التوزيعات

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الدوال المعممة ، تُعرَّف نهاية متتالية من التوزيعات بأنها التوزيع الذي تقترب منه تلك المتتالية. ويمكن تقليص المسافة، بعد تحديدها بدقة، إلى التوزيع النهائي إلى أدنى حد ممكن باختيار توزيع يقع على مسافة كافية من المتتالية. يُعمِّم هذا المفهوم مفهوم نهاية متتالية من الدوال ؛ إذ قد توجد نهاية كتوزيع حتى في حين لا توجد نهاية للدوال.

يُعد هذا المفهوم جزءًا من حساب التوزيعات، وهو شكل معمّم من حساب التفاضل والتكامل يعتمد على مفهوم التوزيعات، على عكس حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي، الذي يعتمد على المفهوم الأضيق للدوال .

بالنظر إلى سلسلة من التوزيعات${\displaystyle f_{i}}$حدها${\displaystyle f}$التوزيع المعطى بواسطة

${\displaystyle f[\varphi ]=\lim _{i\to \infty }f_{i}[\varphi ]}$

لكل دالة اختبار${\displaystyle \varphi }$بشرط وجود التوزيع. وجود النهاية${\displaystyle f}$يعني ذلك أن (1) لكل${\displaystyle \varphi }$، نهاية سلسلة الأرقام${\displaystyle f_{i}[\varphi ]}$(2) الدالة الخطية${\displaystyle f}$الدالة المعرفة بالصيغة المذكورة أعلاه متصلة بالنسبة للطوبولوجيا على فضاء دوال الاختبار.

وبشكل أعم، كما هو الحال مع الدوال، يمكن للمرء أيضًا أن ينظر في نهاية عائلة من التوزيعات.

قد توجد نهاية توزيعية حتى عندما لا توجد النهاية الكلاسيكية . لنأخذ على سبيل المثال الدالة التالية:

${\displaystyle f_{t}(x)={t \over 1+t^{2}x^{2}}}$

بما أن التكامل بالأجزاء ،

${\displaystyle \langle f_{t},\phi \rangle =-\int _{-\infty }^{0}\arctan(tx)\phi '(x)\,dx-\int _{0}^{\infty }\arctan(tx)\phi '(x)\,dx,}$

لدينا:${\displaystyle \displaystyle \lim _{t\to \infty }\langle f_{t},\phi \rangle =\langle \pi \delta _{0},\phi \rangle }$أي، حد${\displaystyle f_{t}}$مثل${\displaystyle t\to \infty }$يكون${\displaystyle \pi \delta _{0}}$.

يترك${\displaystyle f(x+i0)}$يشير إلى الحد التوزيعي لـ${\displaystyle f(x+iy)}$مثل${\displaystyle y\to 0^{+}}$إن وُجد. التوزيع${\displaystyle f(x-i0)}$ويتم تعريفها بشكل مماثل.

يمتلك المرء

${\displaystyle (x-i0)^{-1}-(x+i0)^{-1}=2\pi i\delta _{0}.}$

يترك${\displaystyle \Gamma _{N}=[-N-1/2,N+1/2]^{2}}$ليكن المستطيل ذو الاتجاه الموجب، حيث N عدد صحيح . باستخدام صيغة الباقي ،

${\displaystyle I_{N}{\overset {\mathrm {def} }{=}}\int _{\Gamma _{N}}{\widehat {\phi }}(z)\pi \cot(\pi z)\,dz={2\pi i}\sum _{-N}^{N}{\widehat {\phi }}(n).}$

على الجانب الآخر،

$\begin{aligned}\int _{-R}^{R}{\widehat {\phi }}(\xi )\pi \operatorname {cot} (\pi \xi )\,d&=\int _{-R}^{R}\int _{0}^{\infty }\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi +\int _{-R}^{R}\int _{-\infty }^{0}\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi \\&=\langle \phi ,\cot(\cdot -i0)-\cot(\cdot -i0)\rangle \end{aligned}}}$

• التوزيع (نظرية الأعداد)

• ديمايلي، الهندسة التحليلية المعقدة والهندسة التفاضلية
• هورماندر ، لارس، تحليل عوامل التفاضل الجزئي الخطي ، سبرينغر-فيرلاغ