التوزيع (نظرية الأعداد)

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر ونظرية الأعداد ، التوزيع هو دالة على نظام من المجموعات المنتهية في مجموعة أبيلية تشبه التكامل: وبالتالي فهو النظير الجبري للتوزيع بمعنى الدالة المعممة .

تظهر الأمثلة الأصلية للتوزيعات، دون تسمية، كدوال φ على Q / Z تحقق [ 1 ]

∑ر=0شمال-1ϕ(x+رشمال)=ϕ(شمالx) .{\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}\phi \left(x+{\frac {r}{N}}\right)=\phi (Nx)\ .}

تُسمى هذه التوزيعات بالتوزيعات العادية. [ 2 ] كما أنها تظهر في نظرية التكامل p -adic في نظرية إيواساوا . [ 3 ]

ليكن ... → X n +1 → X n → ... نظامًا إسقاطيًا من مجموعات منتهية ذات تطبيقات شاملة، مُفهرسة بالأعداد الطبيعية، وليكن X حدها الإسقاطي . نُعطي كل X n الطوبولوجيا المنفصلة ، ​​بحيث تكون X مجموعة متراصة . ولتكن φ = (φ n ) عائلة من الدوال على X n تأخذ قيمًا في زمرة أبيلية V ومتوافقة مع النظام الإسقاطي.

w(م،ن)∑y↦xϕ(y)=ϕ(x){\displaystyle w(m,n)\sum _{y\mapsto x}\phi (y)=\phi (x)}

بالنسبة لدالة وزن معينة w . تكون العائلة φ حينها توزيعًا على النظام الإسقاطي X.

تُسمى الدالة f على X "ثابتة محليًا"، أو " دالة متدرجة " إذا كانت قابلة للتحليل عبر عنصر ما X n . ويمكننا تعريف تكامل الدالة المتدرجة بالنسبة إلى φ على النحو التالي:

∫ودϕ=∑x∈Xنو(x)ϕن(x) .{\displaystyle \int f\,d\phi =\sum _{x\in X_{n}}f(x)\phi _{n}(x)\ .}

يمتد هذا التعريف ليشمل أنظمة إسقاطية أكثر عمومية، مثل تلك المفهرسة بالأعداد الصحيحة الموجبة المرتبة حسب قابلية القسمة. كحالة خاصة مهمة، لننظر إلى النظام الإسقاطي Z / n ∈ Z المفهرس بالأعداد الصحيحة الموجبة المرتبة حسب قابلية القسمة. نُعرّف هذا النظام بأنه النظام (1/ n ) Z / Z ذو النهاية Q / Z .

بالنسبة لـ x في R، ندع ⟨ x ⟩ يرمز إلى الجزء الكسري من x الذي تم تطبيعه إلى 0 ≤ ⟨ x ⟩ < 1، وندع { x } يرمز إلى الجزء الكسري الذي تم تطبيعه إلى 0  <  { x }  ≤  1.

أمثلة

دالة زيتا لهرويتز

نظرية الضرب لدالة زيتا لهورويتز

ζ(s،أ)=∑ن=0∞(ن+أ)-s{\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+a)^{-s}}

يعطي علاقة توزيع

∑ص=0q-1ζ(s،أ+ص/q)=qsζ(s،qأ) .{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)\ .}

وبالتالي، بالنسبة لقيمة s المعطاة ، فإن الخريطةت↦ζ(s،{ت}){\displaystyle t\mapsto \zeta (s,\{t\})}هو توزيع على Q / Z .

توزيع برنولي

تذكر أن كثيرات حدود برنولي B n تُعرَّف بواسطة

بن(x)=∑ك=0ن(نن-ك)بكxن-ك ،{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose nk}b_{k}x^{nk}\ ,}

لـ n ≥ 0، حيث b k هي أعداد برنولي ، مع دالة توليد

تهـxتهـت-1=∑ن=0∞بن(x)تنن! .{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\ .}

إنها تحقق علاقة التوزيع

بك(x)=نك-1∑أ=0ن-1بك(x+أن) .{\displaystyle B_{k}(x)=n^{k-1}\sum _{a=0}^{n-1}b_{k}\left({\frac {x+a}{n}}\right)\ .}

وهكذا الخريطة

ϕن:1نZ/Z→سؤال{\displaystyle \phi _{n}:{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} }

محدد بواسطة

ϕن:x↦نك-1بك(⟨x⟩){\displaystyle \phi _{n}:x\mapsto n^{k-1}B_{k}(\langle x\rangle )}

هو توزيع. [ 4 ]

وحدات سيكلوتومية

تُحقق الوحدات الدائرية علاقات التوزيع . ليكن a عنصرًا من Q / Z أوليًا بالنسبة إلى p، وليكن g a يرمز إلى exp(2πi a )−1. عندئذٍ، بالنسبة لـ a ≠ 0، لدينا [ 5 ]

∏صب=أزب=زأ .{\displaystyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}\ .}

التوزيع الشامل

ينظر المرء في التوزيعات على Z ذات القيم في مجموعة أبيلية V ويبحث عن التوزيع "العالمي" أو الأكثر عمومية الممكنة.

توزيعات ستيكلبرجر

ليكن h توزيعًا عاديًا على Q / Z يأخذ قيمًا في حقل F. ولتكن G ( N ) الزمرة الضربية لـ Z / N ، ولأي دالة f على G ( N ) ، نمدد f إلى دالة على Z / N بجعلf تساوي صفرًا خارج G ( N ). عرّف عنصرًا من جبر الزمرة F [ G ( N )] كما يلي :

زشمال(ر)=1|جي(شمال)|∑أ∈جي(شمال)ح(⟨رأشمال⟩)σأ-1 .{\displaystyle g_{N}(r)={\frac {1}{|G(N)|}}\sum _{a\in G(N)}h\left({\left\langle {\frac {ra}{N}}\right\rangle }\right)\sigma _{a}^{-1}\ .}

تشكل جبر المجموعة نظامًا إسقاطيًا بنهاية X. ثم تشكل الدوال g N توزيعًا على Q / Z بقيم في X ، وهو توزيع ستيكلبرجر المرتبط بـ h .

مقاييس p-adic

لننظر في الحالة الخاصة عندما تأخذ زمرة القيم V لتوزيع φ على X قيمًا في حقل محلي K ، منتهٍ على Q p ، أو بشكل أعم، في فضاء باناخ p -adic منتهي الأبعاد W على K ، مع التقييم |·|. نسمي φ مقياسًا إذا كانت |φ| محدودة على المجموعات الفرعية المفتوحة المدمجة من X. [ 6 ] ليكن D حلقة الأعداد الصحيحة في K و L شبكة في W ، أي وحدة فرعية حرة D من W حيث K ⊗ L = W. يمكن اعتبار المقياس ، حتى مع تغيير المقياس ، ذا قيم في L.

مشغلو ومقاييس هيك

ليكن D عددًا صحيحًا أوليًا ثابتًا بالنسبة إلى p ، ولنعتبر Z<sub> D </sub>، وهي نهاية النظام Z / p<sub> n</sub> D. لنعتبر أي دالة ذاتية لمؤثر هيك T<sub> p</sub> بقيمة ذاتية λ <sub> p </sub> عدد أولي بالنسبة إلى p . سنصف إجراءً لاستنتاج مقياس لـ Z <sub>D</sub> .

لنثبت عددًا صحيحًا N أوليًا بالنسبة إلى p وإلى D. ولتكن F هي وحدة D لجميع الدوال على الأعداد النسبية التي يكون مقامها أوليًا نسبيًا مع N. لأي عدد أولي l لا يقسم N ، نُعرّف مؤثر هيك T l كما يلي:

(تيلو)(أب)=و(لأب)+∑ك=0ل-1و(أ+كبلب)-∑ك=0ل-1و(كل) .{\displaystyle (T_{l}f)\left({\frac {a}{b}}\right)=f\left({\frac {la}{b}}\right)+\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {a+kb}{lb}}\right)-\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {k}{l}}\right)\ .}

لتكن f دالة ذاتية لـ T p بقيمة ذاتية λ p في D. المعادلة التربيعية X² - ​​λ p X + p = 0 لها جذور π₁ و π₂ حيث π₁ عدد صحيح موجب و π₂ يقبل القسمة على p . عرّف متتالية a₀ = 2 ، a₁ = π₁ + π₂ = λ p و          

أك+2=λصأك+1-صأك ،{\displaystyle a_{k+2}=\lambda _{p}a_{k+1}-pa_{k}\ ,}

لهذا السبب.

أك=π1ك+π2ك .{\displaystyle a_{k}=\pi _{1}^{k}+\pi _{2}^{k}\ .}

مراجع

  1. ↑ كوبرت ولانغ (1981) ص. 1
  2. ↑ لانغ (1990) ص 53
  3. ↑ مازور وسوينرتون-داير (1972) ص 36
  4. ↑ لانغ (1990) ص 36
  5. ↑ لانغ (1990) ص 157
  6. ↑ مازور وسوينرتون-داير (1974) ص 37