الحد الكلاسيكي

الحد الكلاسيكي أو حد التوافق هو قدرة نظرية فيزيائية على تقريب أو "استعادة" الميكانيكا الكلاسيكية عند النظر إليها ضمن قيم محددة لمعاملاتها. ^{[ 1 ]} يُستخدم الحد الكلاسيكي مع النظريات الفيزيائية التي تتنبأ بسلوك غير كلاسيكي.

قدّم نيلز بور فرضية استدلالية تُعرف بمبدأ التوافق إلى نظرية الكم ، وهي تنصّ في جوهرها على ضرورة تطبيق نوع من حجة الاستمرارية على الحد الكلاسيكي للأنظمة الكمومية عندما تصبح قيمة ثابت بلانك، مُقاسةً بفعل هذه الأنظمة، صغيرةً جدًا. غالبًا ما يُتناول هذا الأمر من خلال تقنيات "شبه كلاسيكية" (انظر تقريب WKB ). ^{[ 2 ]}

وبشكل أكثر دقة، ^{[ 3 ]} فإن العملية الرياضية المتضمنة في الحدود الكلاسيكية هي انكماش المجموعة ، تقريب الأنظمة الفيزيائية حيث يكون الفعل ذو الصلة أكبر بكثير من ثابت بلانك المختزل ħ ، لذلك يمكن اعتبار "معامل التشوه" ħ / S مساويًا للصفر فعليًا (انظر تكميم فايل ). وبالتالي، عادةً ما تختزل المبدلات الكمومية (أو ما يعادلها، أقواس مويال ) إلى أقواس بواسون ، ^{[ 4 ]} في انكماش المجموعة .

في ميكانيكا الكم ، وبفضل مبدأ عدم اليقين لفيرنر هايزنبرغ ، لا يمكن للإلكترون أن يكون ساكنًا أبدًا؛ إذ يجب أن يمتلك دائمًا طاقة حركية غير صفرية ، وهي نتيجة لا نجدها في الميكانيكا الكلاسيكية. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى جسم كبير جدًا بالنسبة للإلكترون، ككرة بيسبول مثلًا، فإن مبدأ عدم اليقين يتنبأ بأنه لا يمكن أن يمتلك طاقة حركية صفرية، ولكن عدم اليقين في الطاقة الحركية ضئيل جدًا لدرجة أن كرة البيسبول قد تبدو ساكنة، وبالتالي تبدو خاضعة للميكانيكا الكلاسيكية. عمومًا، إذا أخذنا في الاعتبار الطاقات الكبيرة والأجسام الكبيرة (مقارنة بحجم ومستويات طاقة الإلكترون) في ميكانيكا الكم، فستبدو النتيجة خاضعة للميكانيكا الكلاسيكية. تكون أعداد الشغل النموذجية هائلة: فالمذبذب التوافقي العياني ذو _التردد ω = 2 هرتز، والكتلة m = 10 غرام، والسعة القصوى x₀ = 10 سم، له S ≈ E / ω ≈ mωx ² ₀ /2 ≈ 10⁻⁴ ^كجم · ^م² /ث = ħn ، بحيث n ≃ 10³⁰ . انظر أيضًا الحالات المتماسكة . مع ذلك، يبقى من غير الواضح كيف ينطبق الحد الكلاسيكي على الأنظمة الفوضوية، ^وهو مجال يُعرف بالفوضى الكمومية .                  

تُعالج ميكانيكا الكم والميكانيكا الكلاسيكية عادةً بصيغ رياضية مختلفة تمامًا: تستخدم نظرية الكم فضاء هيلبرت ، بينما تستخدم الميكانيكا الكلاسيكية تمثيلًا في فضاء الطور . ويمكن دمجهما في إطار رياضي مشترك بطرق متنوعة. في صياغة فضاء الطور لميكانيكا الكم، ذات الطبيعة الإحصائية، تُقام روابط منطقية بين ميكانيكا الكم والميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية، مما يُتيح إجراء مقارنات طبيعية بينهما، بما في ذلك انتهاكات نظرية ليوفيل عند التكميم. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

في ورقة بحثية بالغة الأهمية (1933)، أوضح بول ديراك ^{[ 7 ]} كيف أن الميكانيكا الكلاسيكية ظاهرة ناشئة عن ميكانيكا الكم: التداخل الهدام بين المسارات ذات التأثيرات العيانية غير المتطرفة S  » ħ يُلغي مساهمات السعة في تكامل المسار الذي قدمه، تاركًا _{فئة التأثير المتطرفة} S ، وبالتالي مسار التأثير الكلاسيكي، كمساهمة مهيمنة، وهي ملاحظة فصّلها ريتشارد فاينمان في أطروحته للدكتوراه عام 1942. ^{[ 8 ]} (انظر أيضًا: فك الترابط الكمي ). 

إحدى الطرق البسيطة لمقارنة الميكانيكا الكلاسيكية بالميكانيكا الكمومية هي النظر في التطور الزمني للموضع المتوقع والزخم المتوقع ، والذي يمكن مقارنته بالتطور الزمني للموضع والزخم العاديين في الميكانيكا الكلاسيكية. تحقق القيم المتوقعة الكمومية نظرية إهرنفست . بالنسبة لجسيم كمومي أحادي البعد يتحرك في مجال كمومي،${\displaystyle V}$تنص نظرية إهرنفست على ^{[ 9 ]}

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle$ ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}

على الرغم من أن المعادلة الأولى من هذه المعادلات تتوافق مع الميكانيكا الكلاسيكية، إلا أن الثانية لا تتوافق معها: إذا كان الزوج${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$لو كان الهدف هو تحقيق قانون نيوتن الثاني، لكان الطرف الأيمن من المعادلة الثانية قد أصبح كالتالي

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$.

لكن في معظم الحالات،

${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )}$.

على سبيل المثال، الإمكانات${\displaystyle V}$إذا كان مكعبًا، فإن${\displaystyle V'}$وهي دالة تربيعية، وفي هذه الحالة، نتحدث عن التمييز بين${\displaystyle \langle X^{2}\rangle }$و${\displaystyle \langle X\rangle ^{2}}$والتي تختلف بـ${\displaystyle (\Delta X)^{2}}$.

يحدث استثناء في حالة كون معادلات الحركة الكلاسيكية خطية، أي عندما${\displaystyle V}$هي دالة تربيعية و${\displaystyle V'}$هو خطي. في تلك الحالة الخاصة،${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$و${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$أوافق. على وجه الخصوص، بالنسبة للجسيم الحر أو المذبذب التوافقي الكمومي ، فإن الموضع المتوقع والزخم المتوقع يتبعان حلول معادلات نيوتن بدقة.

بالنسبة للأنظمة العامة، فإن أفضل ما يمكننا توقعه هو أن يتبع الموضع المتوقع والزخم تقريبًا المسارات الكلاسيكية. إذا كانت الدالة الموجية مركزة بشكل كبير حول نقطة ما${\displaystyle x_{0}}$، ثم${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$و${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$سيكونان متطابقين تقريبًا ، حيث سيكون كلاهما متساويين تقريبًا.${\displaystyle V'(x_{0})}$في هذه الحالة، سيظل الموضع المتوقع والزخم المتوقع قريبين جدًا من المسارات الكلاسيكية، على الأقل طالما ظلت الدالة الموجية شديدة التمركز في الموضع. ^{[ 10 ]}

إذا كانت الحالة الابتدائية شديدة التمركز في الموقع، فستكون شديدة الانتشار في الزخم، وبالتالي نتوقع أن تتسع دالة الموجة بسرعة، وأن ينقطع الاتصال بالمسارات الكلاسيكية. ولكن عندما يكون ثابت بلانك صغيرًا، فمن الممكن الحصول على حالة متمركزة جيدًا في كل من الموقع والزخم. ويضمن عدم اليقين الطفيف في الزخم بقاء الجسيم متمركزًا جيدًا في الموقع لفترة طويلة، بحيث يستمر الموقع والزخم المتوقعان في تتبع المسارات الكلاسيكية بدقة لفترة طويلة.

تشمل التشوهات الأخرى المألوفة في الفيزياء ما يلي:

• تحويل الميكانيكا الكلاسيكية النيوتونية إلى الميكانيكا النسبية ( النسبية الخاصة )، مع معامل التشوه v / c ؛ يتضمن الحد الكلاسيكي سرعات صغيرة، لذا فإن v / c  →  0 ، ويبدو أن الأنظمة تخضع للميكانيكا النيوتونية.
• وبالمثل، عند تحويل جاذبية نيوتن إلى النسبية العامة ، باستخدام معامل التشوه نصف قطر شوارزشيلد/البعد المميز، نجد أن الأجسام تبدو مرة أخرى وكأنها تخضع للميكانيكا الكلاسيكية (الفضاء المسطح)، عندما تكون كتلة الجسم مضروبة في مربع طول بلانك أصغر بكثير من حجمه وأحجام المسألة المطروحة. انظر الحد النيوتني .
• يمكن أيضًا اعتبار البصريات الموجية بمثابة تشويه للبصريات الشعاعية لمعامل التشوه λ / a .
• وبالمثل، تتحول الديناميكا الحرارية إلى الميكانيكا الإحصائية بمعامل تشوه 1/ N .

• كثافة الاحتمال الكلاسيكية
• نظرية إهرنفست
• معادلات ماديلونج
• تكامل فرينل
• الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم
• الفوضى الكمومية
• التفكك الكمي
• الحد الكمي
• الفيزياء شبه الكلاسيكية
• تحويل ويغنر-ويل
• تقريب WKB

• هول، برايان سي. (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  267، سبرينغر، رمز Bibcode : 2013qtm..book.....H ، ISBN 978-1-4614-7115-8