حدود التكامل

في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي، حدود التكامل ( أو نطاقات التكامل ) للتكامل$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$

دالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان${\displaystyle f}$الأعداد الحقيقية المعرفة على فترة مغلقة ومحدودة${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، حيث${\displaystyle a}$يُطلق عليه الحد الأدنى و${\displaystyle b}$الحد الأعلى . يمكن اعتبار المنطقة المحدودة بمثابة المساحة الداخلية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$.

على سبيل المثال، الوظيفة${\displaystyle f(x)=x^{3}}$يتم تعريفها على الفترة${\displaystyle [2,4]}$$${\displaystyle \int _{2}^{4}x^{3}\,dx}$$ مع حدود التكامل${\displaystyle 2}$و${\displaystyle 4}$[ ^{1 ]​}

في التكامل بالتعويض ، تتغير حدود التكامل نتيجةً للدالة الجديدة التي يتم تكاملها. مع الدالة التي يتم اشتقاقها،${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تم حلها لـ${\displaystyle f(u)}$. على العموم، $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))g'(x)\ dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}$$ أين${\displaystyle u=g(x)}$و${\displaystyle du=g'(x)\ dx}$. هكذا،${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$سيتم حلها من حيث${\displaystyle u}$الحد الأدنى هو${\displaystyle g(a)}$والحد الأعلى هو${\displaystyle g(b)}$.

على سبيل المثال، $${\displaystyle \int _{0}^{2}2x\cos(x^{2})dx=\int _{0}^{4}\cos(u)\,du}$$

أين${\displaystyle u=x^{2}}$و${\displaystyle du=2xdx}$. هكذا،${\displaystyle f(0)=0^{2}=0}$و${\displaystyle f(2)=2^{2}=4}$وبالتالي، فإن حدود التكامل الجديدة هي${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 4}$[ ^{2 ]​}

وينطبق الأمر نفسه على البدائل الأخرى.

يمكن أيضًا تحديد حدود التكامل للتكاملات غير المحددة ، مع حدود تكامل كليهما $${\displaystyle \lim _{z\to a^{+}}\int _{z}^{b}f(x)\,dx}$$ و $${\displaystyle \lim _{z\to b^{-}}\int _{a}^{z}f(x)\,dx}$$ مرة أخرى، a و b . بالنسبة للتكامل غير المحدد$${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$$ أو $${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$$ حدود التكامل هي a و ∞، أو − ∞ و b ، على التوالي. ^{[ 3 ]}

لو${\displaystyle c\in (a,b)}$ثم ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{a}^{c}f(x)\ dx\ +\int _{c}^{b}f(x)\ dx.}$$

• أساسي
• تكامل ريمان
• التكامل المحدد