أساسي

أول تقنية منهجية موثقة قادرة على تحديد التكاملات هي طريقة الاستنفاد التي ابتكرها الفلكي اليوناني القديم إيدوكسوس والفيلسوف ديموقريطس ( حوالي 370 قبل الميلاد)، والتي سعت إلى إيجاد المساحات والأحجام بتقسيمها إلى عدد لا نهائي من الأجزاء التي تكون مساحتها أو حجمها معروفة. ^{[ 1 ]} وقد طُوّرت هذه الطريقة لاحقًا واستُخدمت من قِبل أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد، حيث استُخدمت لحساب مساحة الدائرة ، ومساحة سطح وحجم الكرة ، ومساحة القطع الناقص ، والمساحة تحت القطع المكافئ ، وحجم قطعة من القطع المكافئ الدوراني، وحجم قطعة من القطع الزائد الدوراني، ومساحة اللولب . ^{[ 2 ]}

طُوِّرت طريقة مماثلة بشكل مستقل في الصين حوالي القرن الثالث الميلادي على يد ليو هوي ، الذي استخدمها لإيجاد مساحة الدائرة. وفي وقت لاحق، في القرن الخامس الميلادي، استخدم عالما الرياضيات الصينيان زو تشونغ تشي وزو غينغ، الأب والابن، هذه الطريقة لإيجاد حجم الكرة. ^{[ 3 ]}

في الشرق الأوسط، اشتق الحسن بن الهيثم، المعروف باللاتينية باسم ابن الهيثم ( حوالي 965 - حوالي 1040 م)، صيغةً لحساب مجموع القوى الرابعة . ^{[ 4 ]} وقد حدد ابن الهيثم المعادلات اللازمة لحساب المساحة المحصورة بالمنحنى المُمثَّل بـ  ${\displaystyle y=x^{k}}$(والذي يُترجم إلى التكامل)${\displaystyle \int x^{k}\,dx}$(بالتدوين المعاصر)، لأي قيمة عددية صحيحة غير سالبة معطاة لـ${\displaystyle k}$[ ^{5 ]} استخدم النتائج لإجراء ما يُسمى الآن بتكامل هذه الدالة، حيث سمحت له صيغ مجموع المربعات الصحيحة والقوى الرابعة بحساب حجم ^القطع المكافئ . ^{[ 6 ]}

لم تبدأ التطورات الهامة التالية في حساب التكامل بالظهور إلا في القرن السابع عشر. في ذلك الوقت، بدأت أعمال كافالييري ، ولا سيما طريقته في ^حساب الأجزاء غير القابلة للتجزئة ، وأعمال فيرما ، في وضع أسس حساب التفاضل والتكامل الحديث، ^{[ 7 ]} حيث قام كافالييري بحساب تكاملات xⁿ حتى الدرجة n = 9 باستخدام صيغة التربيع الخاصة به . ^{[ 8 ]} أما الحالة n = -1 فقد تطلبت ابتكار دالة ، وهي اللوغاريتم الزائدي ، الذي تم التوصل إليه عن طريق تربيع القطع الزائد في عام 1647.

أُحرزت خطوات إضافية في أوائل القرن السابع عشر على يد بارو وتوريتشيلي ، اللذين قدّما أولى الإشارات إلى وجود صلة بين التكامل والتفاضل . وقدّم بارو أول برهان للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل . ^{[ 9 ]} عمّم واليس طريقة كافالييري، فقام بحساب تكاملات x مرفوعة إلى قوة عامة، بما في ذلك القوى السالبة والكسرية. ^{[ 10 ]}

حدث التقدم الكبير في مجال التكامل في القرن السابع عشر مع اكتشاف لايبنتز ونيوتن ، كلٌ على حدة ، للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل . ^{[ 11 ]} تُظهر هذه النظرية وجود صلة بين التكامل والتفاضل. هذه الصلة، بالإضافة إلى سهولة التفاضل نسبيًا، يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وعلى وجه الخصوص، تُمكّن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل من حل فئة أوسع بكثير من المسائل. ولا تقل أهمية عن ذلك الإطار الرياضي الشامل الذي طوره كلٌ من لايبنتز ونيوتن. وقد أُطلق عليه اسم حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر، والذي أتاح تحليلًا دقيقًا للدوال ذات المجالات المتصلة. وأصبح هذا الإطار فيما بعد حساب التفاضل والتكامل الحديث ، الذي استُمدت رموزه للتكاملات مباشرةً من أعمال لايبنتز.

رغم أن نيوتن وليبنيز قدّما منهجًا منظمًا للتكامل، إلا أن عملهما افتقر إلى الدقة . وقد انتقد الأسقف بيركلي بشدة الزيادات المتلاشية التي استخدمها نيوتن، واصفًا إياها بـ" أشباح كميات زائلة ". ^{[ 12 ]} اكتسب علم التفاضل والتكامل أساسًا أكثر رسوخًا مع تطور النهايات . وقد صاغ ريمان التكامل رسميًا وبدقة لأول مرة باستخدام النهايات . ^{[ 13 ]} على الرغم من أن جميع الدوال المحدودة المتصلة جزئيًا قابلة للتكامل وفقًا لريمان على فترة محدودة، فقد تم لاحقًا النظر في دوال أكثر عمومية - خاصة في سياق تحليل فورييه - والتي لا ينطبق عليها تعريف ريمان، وصاغ ليبيغ تعريفًا مختلفًا للتكامل ، مستندًا إلى نظرية القياس (وهي فرع من فروع التحليل الحقيقي ). كما تم اقتراح تعريفات أخرى للتكامل، توسع نطاق منهجي ريمان وليبيغ. هذه الأساليب القائمة على نظام الأعداد الحقيقية هي الأكثر شيوعًا اليوم، ولكن توجد أساليب بديلة، مثل تعريف التكامل على أنه الجزء القياسي من مجموع ريمان اللانهائي، استنادًا إلى نظام الأعداد الحقيقية الفائقة .

قدّم غوتفريد فيلهلم لايبنتز رمز التكامل غير المحدد عام 1675. ^{[ 14 ]} وقد اقتبس رمز التكامل ، ∫ ، من الحرف ſ ( الحرف الطويل s )، الذي يرمز إلى المجموع (يكتب ſumma ؛ وهي كلمة لاتينية تعني "المجموع" أو "الكل"). أما الرمز الحديث للتكامل المحدد، بحدود أعلى وأسفل علامة التكامل، فقد استخدمه جوزيف فورييه لأول مرة في مذكرات الأكاديمية الفرنسية حوالي عام 1819-1820، وأُعيد نشره في كتابه الصادر عام 1822. ^{[ 15 ]}

استخدم إسحاق نيوتن خطًا رأسيًا صغيرًا فوق المتغير للدلالة على التكامل، أو وضع المتغير داخل مربع. كان من السهل الخلط بين الخط الرأسي و . x أو x ′ ، اللذين يُستخدمان للدلالة على التفاضل، كما أن ترميز المربع كان صعبًا على الطابعات في إعادة إنتاجه، لذا لم تُعتمد هذه الترميزات على نطاق واسع. ^{[ 16 ]}

تمت طباعة المصطلح لأول مرة باللغة اللاتينية بواسطة جاكوب برنولي في عام 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur". ^{[ 17 ]}

يُعرَّف تكامل ريمان بدلالة مجاميع ريمان للدوال بالنسبة إلى تجزئات مُعَلَّمة لفترة ما. ^{[ 22 ]} التجزئة المُعَلَّمة لفترة مغلقة [ a , b ] على خط الأعداد الحقيقية هي متتالية منتهية

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

يقسم هذا الفاصل الزمني [ a , b ] إلى n فواصل زمنية فرعية [ xi _{- 1} , xi ] مُفهرسة بالرمز i _، كل منها مُعَلَّم بنقطة محددة ti _∈ [ xi _{- 1} , xi _] . يُعرَّف مجموع ريمان للدالة f بالنسبة لهذا التقسيم المُعَلَّم على النحو التالي :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}$

_{وبالتالي ،} فإن كل حد من حدود المجموع هو مساحة مستطيل ارتفاعه يساوي قيمة الدالة عند النقطة المختارة من الفترة الفرعية المعطاة، وعرضه يساوي عرض الفترة الفرعية، Δi _{= xi − xi − 1.} شبكة هذا التقسيم _المسمى هي عرض _أكبر فترة فرعية يشكلها التقسيم، maxi _{= 1... n Δi .} تكامل ريمان للدالة f على الفترة [ a , b ] يساوي S ^إذا : ^{[ 23} ]

للجميع${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث يكون ذلك، بالنسبة لأي قسم مُوسَم${\displaystyle [a,b]}$مع شبكة أقل من${\displaystyle \delta }$،

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

عندما تكون العلامات المختارة هي القيمة القصوى (على التوالي، القيمة الدنيا) للدالة في كل فترة، يصبح مجموع ريمان مجموع داربو العلوي (على التوالي، السفلي) ، مما يشير إلى العلاقة الوثيقة بين تكامل ريمان وتكامل داربو .

من المهم، نظريًا وتطبيقيًا، إمكانية الوصول إلى النهاية تحت التكامل. على سبيل المثال، يمكن غالبًا بناء متتالية من الدوال التي تقارب، بشكل مناسب، حل مسألة ما. عندئذٍ، يكون تكامل دالة الحل هو نهاية تكاملات التقريبات. مع ذلك، فإن العديد من الدوال التي يمكن الحصول عليها كنهايات ليست قابلة للتكامل وفقًا لريمان، وبالتالي لا تنطبق نظريات النهايات هذه على تكامل ريمان. لذلك، من الأهمية بمكان وجود تعريف للتكامل يسمح بتكامل فئة أوسع من الدوال. ^{[ 24 ]}

هذا التكامل هو تكامل لوبيغ، الذي يستغل الحقيقة التالية لتوسيع فئة الدوال القابلة للتكامل: إذا أُعيد ترتيب قيم دالة ما على مجالها، فإن تكامل تلك الدالة يبقى كما هو. وهكذا، قدّم هنري لوبيغ التكامل الذي يحمل اسمه، موضحًا هذا التكامل في رسالة إلى بول مونتيل على النحو التالي : ^{[ 25 ]}

عليّ أن أدفع مبلغًا معينًا جمعته في جيبي. أُخرج الأوراق النقدية والعملات المعدنية من جيبي وأُعطيها للدائن بالترتيب الذي وجدتها به حتى أصل إلى المبلغ الإجمالي. هذا هو تكامل ريمان. لكن يُمكنني اتباع طريقة مختلفة. بعد أن أُخرج كل النقود من جيبي، أُرتب الأوراق النقدية والعملات المعدنية وفقًا للقيم المتطابقة، ثم أدفع الأكوام المختلفة واحدة تلو الأخرى للدائن. هذا هو تكاملي.

كما يقول فولاند: "لحساب تكامل ريمان للدالة f ، يتم تقسيم المجال [ a , b ] إلى فترات جزئية"، بينما في تكامل ليبيغ، "يتم في الواقع تقسيم مدى الدالة f ". ^{[ 26 ]} يبدأ تعريف تكامل ليبيغ بمقياس μ . في أبسط الحالات، يكون مقياس ليبيغ μ ( A ) للفترة A = [ a , b ] هو عرضها، b − a ، بحيث يتطابق تكامل ليبيغ مع تكامل ريمان (الحقيقي) عندما يكون كلاهما موجودًا. ^{[ 27 ]} في الحالات الأكثر تعقيدًا، قد تكون المجموعات المراد قياسها مجزأة للغاية، دون استمرارية أو تشابه مع الفترات.

باستخدام فلسفة "تقسيم مدى الدالة f "، يكون تكامل الدالة غير السالبة f  : R → R هو مجموع المساحات على مدى t بين شريط أفقي رفيع بين y = t و y = t + dt . هذه المساحة هي ببساطة μ { x  : f ( x ) > t } dt . لنفترض أن f ^∗ ( t ) = μ { x  : f ( x ) > t } . يُعرَّف تكامل ليبيغ للدالة f كما يلي:

${\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

حيث يمثل التكامل على اليمين تكامل ريمان غير محدود عادي ( f ^* دالة موجبة متناقصة تمامًا، وبالتالي لها تكامل ريمان غير محدود مُعرَّف جيدًا). ^{​​[ 28 ]} بالنسبة لفئة مناسبة من الدوال ( الدوال القابلة للقياس )، يُعرِّف هذا التكامل تكامل ليبيغ.

تكون الدالة العامة القابلة للقياس f قابلة للتكامل وفقًا لمعيار Lebesgue إذا كان مجموع القيم المطلقة لمساحات المناطق الواقعة بين الرسم البياني لـ f والمحور x محدودًا: ^{[ 29 ]}

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}$

في هذه الحالة، يكون التكامل، كما هو الحال في حالة ريمان، هو الفرق بين المساحة فوق المحور x والمساحة أسفل المحور x : ^{[ 30 ]}

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }$

أين

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{إذا كان }}f(x)>0,\\0,&{\text{فيما عدا ذلك,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{إذا كان }}f(x)<0,\\0,&{\text{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$

على الرغم من أن تكاملات ريمان وليبيغ هي أكثر تعريفات التكامل استخدامًا، إلا أن هناك عددًا من التعريفات الأخرى، بما في ذلك:

• التكامل الداربوي ، الذي يُعرَّف بمجاميع داربوي (مجاميع ريمان المقيدة)، يُكافئ التكامل الريماني . تكون الدالة قابلة للتكامل الداربوي إذا وفقط إذا كانت قابلة للتكامل الريماني. يتميز التكامل الداربوي بسهولة تعريفه مقارنةً بالتكامل الريماني.
• التكامل ريمان -ستيلتيس ، وهو امتداد لتكامل ريمان الذي يتكامل بالنسبة لدالة بدلاً من متغير.
• التكامل Lebesgue –Stieltjes ، الذي طوره يوهان رادون ، والذي يعمم كلاً من التكامل Riemann–Stieltjes والتكامل Lebesgue.
• التكامل دانييل ، الذي يشمل تكامل ليبيغ وتكامل ليبيغ-ستيلتيس دون الاعتماد على القياسات .
• التكامل هار ، المستخدم للتكامل على المجموعات الطوبولوجية المدمجة محليًا، والذي قدمه ألفريد هار في عام 1933.
• التكامل هينستوك -كورزويل ، الذي تم تعريفه بشكل مختلف من قبل أرنو دينجوي ، وأوسكار بيرون ، و(بأكثر الطرق أناقة، باعتباره التكامل القياسي) ياروسلاف كورزويل ، والذي طوره رالف هينستوك .
• تكامل خينشين ، الذي سمي على اسم ألكسندر خينشين .
• التكامل إيتو والتكامل ستراتونوفيتش ، اللذان يحددان التكامل بالنسبة إلى شبه المارتينجالات مثل الحركة البراونية .
• التكامل يونغ ، وهو نوع من التكامل ريمان-ستيلتيس بالنسبة لبعض الدوال ذات التغير غير المحدود .
• التكامل المساري الخشن ، الذي يتم تعريفه للدوال المجهزة ببعض بنية "المسار الخشن" الإضافية، ويعمم التكامل العشوائي ضد كل من شبه المارتينجالات والعمليات مثل الحركة البراونية الكسرية .
• التكامل شوكيه ، وهو تكامل فرعي أو تكامل فوقي ابتكره غوستاف شوكيه في عام 1953.
• التكامل بوخنر ، وهو تعميم للتكامل ليبيغ للدوال التي تأخذ قيمًا في فضاء باناخ .

تشكل مجموعة الدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان على فترة مغلقة [ a , b ] فضاءً متجهيًا تحت عمليات الجمع والضرب النقطي بعدد قياسي، وعملية التكامل

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

هي دالة خطية على هذا الفضاء المتجهي. وبالتالي، فإن مجموعة الدوال القابلة للتكامل مغلقة تحت أخذ التراكيب الخطية ، وتكامل التركيبة الخطية هو التركيبة الخطية للتكاملات: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

وبالمثل، فإن مجموعة الدوال الحقيقية القابلة للتكامل وفقًا لمقياس ليبيغ على فضاء قياس معين E ذي قياس μ تكون مغلقة تحت أخذ التراكيب الخطية، وبالتالي تشكل فضاءً متجهيًا، وتكامل ليبيغ

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

هي دالة خطية على هذا الفضاء المتجهي، بحيث: ^{[ 30 ]}

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}$

بشكل أعم، لنعتبر فضاء المتجهات لجميع الدوال القابلة للقياس على فضاء قياس ( E , μ ) ، والتي تأخذ قيمًا في فضاء متجهات طوبولوجي كامل مضغوط محليًا V على حقل طوبولوجي مضغوط محليًا K ، f : E → V. عندئذٍ يمكن تعريف خريطة تكامل مجردة تُسند لكل دالة f عنصرًا من V أو الرمز ∞ . 

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}$

يتوافق ذلك مع التراكيب الخطية. ^{[ 32 ]} في هذه الحالة، تتحقق الخطية للفضاء الجزئي للدوال التي يكون تكاملها عنصرًا من V (أي "محدودًا"). وتنشأ أهم الحالات الخاصة عندما يكون K هو R أو C أو امتدادًا محدودًا للحقل Qp للأعداد p-adic ، ويكون _V فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد فوق K ، وعندما يكون K = C ويكون V فضاءً هيلبرتيًا عقديًا .

يمكن استخدام الخطية، إلى جانب بعض خصائص الاستمرارية الطبيعية والتطبيع لفئة معينة من الدوال "البسيطة"، لتقديم تعريف بديل للتكامل. هذا هو نهج دانييل لحالة الدوال الحقيقية على مجموعة X ، والذي عممه نيكولاس بورباكي ليشمل الدوال ذات القيم في فضاء متجهي طوبولوجي متراص محليًا. انظر هيلدبراندت 1953 للاطلاع على توصيف بديهي للتكامل.

هناك عدد من المتباينات العامة التي تنطبق على الدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان والمحددة على فترة مغلقة ومحدودة [ a , b ] ويمكن تعميمها على مفاهيم أخرى للتكامل (Lebesgue و Daniell).

• الحدود العليا والسفلى. الدالة القابلة للتكامل f على الفترة [ a , b ] تكون بالضرورة محدودة على تلك الفترة. وبالتالي، يوجد عددان حقيقيان m و M بحيث يكون m ≤ f ( x ) ≤ M لجميع قيم x في الفترة [ a , b ] . وبما أن مجموعي f الأدنى والأعلى على الفترة [ a , b ] محدودان بالتالي بـ m ( b - a ) و M ( b - a ) على التوالي ، فإنه يترتب على ذلك أن$${\displaystyle m(ba)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(ba).}$$
• المتباينات بين الدوال. ^{[ 33 ]} إذا كان f ( x ) ≤ g ( x ) لكل x في [ a , b ] ، فإن كلًا من المجموعين العلوي والسفلي لـ f يكون محدودًا من الأعلى بالمجموعين العلوي والسفلي لـ g ، على التوالي . وبالتالي$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$هذا تعميم للمتباينات السابقة، حيث أن M ( b - a ) هو تكامل الدالة الثابتة ذات القيمة M على الفترة [ a , b ] . بالإضافة إلى ذلك، إذا كانت المتباينة بين الدوال قطعية، فإن المتباينة بين التكاملات تكون قطعية أيضًا. أي، إذا كانت f ( x ) < g ( x ) لكل x في الفترة [ a , b ] ، فإن$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$
• الفترات الجزئية. إذا كانت الفترة [ c , d ] فترة جزئية من الفترة [ a , b ] وكانت الدالة f ( x ) غير سالبة لجميع قيم x ، فإن$${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$
• جداءات وقيم الدوال المطلقة. إذا كانت f و g دالتين، فيمكننا النظر في جداءاتهما النقطية وقواهما وقيمهما المطلقة :$${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.}$$إذا كانت الدالة f قابلة للتكامل وفقًا لريمان على الفترة [ a , b ]، فإن الأمر نفسه ينطبق على | f | ، و$${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$$علاوة على ذلك، إذا كانت كل من f و g قابلة للتكامل وفقًا لريمان، فإن fg تكون أيضًا قابلة للتكامل وفقًا لريمان، و$${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$$تلعب هذه المتباينة، والمعروفة باسم متباينة كوشي-شفارتز ، دورًا بارزًا في نظرية فضاء هيلبرت ، حيث يتم تفسير الجانب الأيسر على أنه حاصل الضرب الداخلي لدالتين قابلتين للتكامل التربيعي f و g على الفترة [ a , b ] .
• متباينة هولدر . ^{[ 34 ]} لنفترض أن p و q عددان حقيقيان، 1 ≤ p و q ≤ ∞ ، حيث 1 / p + 1 / q = 1 ، وأن f و g دالتان قابلتان للتكامل وفقًا لريمان. عندئذٍ ، تكون الدالتان | f | ^p و | g | ^{q قابلتين للتكامل أيضًا} ، وتتحقق متباينة هولدر التالية :$${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$$بالنسبة لـ p = q = 2 ، تصبح متباينة هولدر متباينة كوشي-شفارتز.
• متباينة مينكوفسكي . ^{[ 34 ]} لنفترض أن p ≥ 1 عدد حقيقي، وأن f و g دالتان قابلتان للتكامل وفقًا لريمان. عندئذٍ ، تكون | f | ^p و | g | ^p و | f + g | ^p أيضًا قابلة للتكامل وفقًا لريمان، وتتحقق متباينة مينكوفسكي التالية :$${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$$يتم استخدام نظير لهذه المتباينة لتكامل ليبيغ في بناء فضاءات L ^p .

في هذا القسم، f دالة حقيقية قابلة للتكامل وفقًا لريمان . التكامل

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

يُعرَّف التكامل على الفترة [ a , b ] إذا كان a < b . هذا يعني أن مجموعي الدالة f العلوي والسفلي يُحسبان على تجزئة a = x₀ _≤ x₁ _≤ ... ≤ xₙ ₌ b ، حيث تكون قيم xᵢ متزايدة. هندسيًا، يُشير هذا إلى أن التكامل يتم "من اليسار إلى اليمين"، حيث تُحسب قيمة _f ضمن الفترات [ xᵢ , _xᵢ₊₁ ] ، _حيث تقع الفترة ذات الفهرس الأعلى على يمين الفترة ذات الفهرس الأدنى. تُسمى القيمتان a و b ، وهما طرفا الفترة ، حدود تكامل f . يمكن أيضًا تعريف التكاملات إذا _كان a > b : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

إذا كان a = b ، فهذا يعني:

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

يُعدّ الاصطلاح الأول ضروريًا عند حساب التكاملات على فترات جزئية من الفترة [ a , b ] ؛ أما الاصطلاح الثاني فينص على أن التكامل المحسوب على فترة منعدمة، أو نقطة ، يجب أن يساوي صفرًا . أحد أسباب الاصطلاح الأول هو أن قابلية تكامل الدالة f على الفترة [ a , b ] تستلزم قابليتها للتكامل على أي فترة جزئية [ c , d ] ، ولكن على وجه الخصوص، تتميز التكاملات بالخاصية التالية: إذا كان c أي عنصر من [ a , b ] ، فإن: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

وفقًا للاتفاقية الأولى، فإن العلاقة الناتجة

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

وبالتالي يكون محددًا جيدًا لأي تبديل دوري لـ a و b و c .

لتكن f دالة حقيقية متصلة معرفة على فترة مغلقة [ a , b ] . ولتكن F الدالة المعرفة، لكل x في [ a , b ] ، بواسطة ^{[ 37 ].}

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

إذن، الدالة F متصلة على الفترة [ a , b ] ، وقابلة للتفاضل على الفترة المفتوحة ( a , b ) ، و

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

لكل x في ( a , b ) .

لتكن f دالة حقيقية القيمة معرفة على فترة مغلقة [ a , b ] تقبل دالة أصلية F على [ a , b ] . أي أن f و F دالتان بحيث أنه لكل x في [ a , b ] ،

${\displaystyle f(x)=F'(x).}$

إذا كانت الدالة f قابلة للتكامل على الفترة [ a , b ] فإن

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

يفترض التكامل الريماني "الصحيح" أن الدالة المراد تكاملها معرفة ومحدودة على فترة مغلقة ومحدودة، محصورة بين حدود التكامل. ويحدث التكامل غير الصحيح عندما لا يتحقق شرط واحد أو أكثر من هذه الشروط. في بعض الحالات، يمكن تعريف هذه التكاملات من خلال النظر في نهاية متتالية من التكاملات الريمانية الصحيحة على فترات متزايدة الاتساع.

إذا كانت الفترة غير محدودة، على سبيل المثال عند طرفها العلوي، فإن التكامل غير المحدود هو النهاية عندما تؤول تلك النقطة إلى اللانهاية: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

إذا كانت الدالة التكاملية معرفة فقط أو محدودة على فترة نصف مفتوحة، على سبيل المثال ( أ ، ب ] ، فقد توفر النهاية مرة أخرى نتيجة محدودة: ^{[ 39 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.}$

أي أن التكامل غير المحدد هو نهاية التكاملات المحددة عندما تقترب إحدى نهايتي فترة التكامل من عدد حقيقي محدد ، أو من ∞ ، أو من −∞ . في الحالات الأكثر تعقيدًا، يلزم إيجاد النهايات عند كلتا النهايتين، أو عند نقاط داخلية.

كما يُمثل التكامل المحدد لدالة موجبة لمتغير واحد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات ، فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة لمتغيرين يُمثل حجم المنطقة المحصورة بين السطح الذي تُحدده الدالة والمستوى الذي يحتوي على مجالها. ^{[ 40 ]} على سبيل المثال، تعتمد دالة ثنائية الأبعاد على متغيرين حقيقيين، س و ص ، ويُعطى تكامل الدالة f على المستطيل R كحاصل ضرب ديكارتي لفترتين.${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$يمكن كتابتها

${\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}$

حيث يشير التفاضل dA إلى أن التكامل يتم بالنسبة للمساحة. يمكن تعريف هذا التكامل المزدوج باستخدام مجاميع ريمان ، ويمثل الحجم (المُوَجَّه) أسفل منحنى الدالة z = f ( x , y ) على المجال R. ^{[ 41 ]} في ظل شروط مناسبة (مثلًا، إذا كانت f دالة متصلة)، تنص نظرية فوبيني على أنه يمكن التعبير عن هذا التكامل كتكامل متكرر مكافئ. ^{[ 42 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}$

يُختزل هذا الأمر مشكلة حساب التكامل الثنائي إلى حساب التكاملات أحادية البعد. ولهذا السبب، تُستخدم علامة التكامل الثنائي في صيغة أخرى للتكامل على R : ^{[ 41 ]}

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}$

التكامل ممكن على نطاقات أكثر عمومية. تكامل الدالة f ، بالنسبة للحجم، على منطقة D ذات n بُعد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يُشار إليه برموز مثل:

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}$

يمكن توسيع مفهوم التكامل ليشمل مجالات تكامل أعم، مثل الخطوط المنحنية والأسطح داخل الفضاءات متعددة الأبعاد. تُعرف هذه التكاملات بتكاملات الخطوط وتكاملات الأسطح على التوالي. ولها تطبيقات مهمة في الفيزياء، كما هو الحال عند التعامل مع الحقول المتجهة .

التكامل الخطي ( ويُسمى أحيانًا التكامل المساري ) هو تكامل تُحسب فيه قيمة الدالة المراد تكاملها على طول منحنى . ^{[ 43 ]} وتُستخدم أنواع مختلفة من التكاملات الخطية. وفي حالة المنحنى المغلق، يُسمى أيضًا التكامل الكفافي .

قد تكون الدالة المراد تكاملها حقلاً قياسياً أو حقلاً متجهياً . قيمة التكامل الخطي هي مجموع قيم الحقل عند جميع النقاط على المنحنى، مُرجّحة بدالة قياسية على المنحنى (عادةً طول القوس ، أو، بالنسبة للحقل المتجهي، حاصل الضرب القياسي للحقل المتجهي مع متجه تفاضلي على المنحنى). ^{[ 44 ]} هذا الترجيح يميز التكامل الخطي عن التكاملات الأبسط المُعرّفة على فترات . العديد من الصيغ البسيطة في الفيزياء لها نظائر متصلة طبيعية بدلالة التكاملات الخطية؛ على سبيل المثال، حقيقة أن الشغل يساوي القوة F مضروبة في الإزاحة s ، يمكن التعبير عنها (بدلالة الكميات المتجهة) كما يلي: ^{[ 45 ]}

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}$

بالنسبة لجسم يتحرك على طول مسار C في حقل متجه F مثل حقل كهربائي أو حقل جاذبية ، فإن الشغل الكلي الذي يبذله الحقل على الجسم يُحسب بجمع الشغل التفاضلي المبذول في الانتقال من s إلى s + ds . وهذا يعطي التكامل الخطي ^{[ 46 ] .}

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}$

يُعمم التكامل السطحي التكاملات الثنائية ليشمل التكامل على سطح (قد يكون مجموعة منحنية في الفضاء )؛ ويمكن اعتباره نظير التكامل الخطي في التكامل الثنائي . قد تكون الدالة المراد تكاملها حقلاً قياسياً أو حقلاً متجهياً . قيمة التكامل السطحي هي مجموع الحقل عند جميع النقاط على السطح. ويمكن تحقيق ذلك بتقسيم السطح إلى عناصر سطحية، والتي توفر التقسيم اللازم لمجاميع ريمان. ^{[ 47 ]}

كمثال على تطبيقات التكاملات السطحية، لنفترض وجود حقل متجهي v على سطح S ؛ أي أن v ( x ) متجه لكل نقطة x على S. تخيل أن سائلاً يتدفق عبر S ، بحيث يحدد v ( x ) سرعة السائل عند x . يُعرَّف التدفق بأنه كمية السائل المتدفقة عبر S في وحدة الزمن. لإيجاد التدفق، نحتاج إلى حساب الجداء الداخلي لـ v مع متجه الوحدة العمودي على السطح S عند كل نقطة، مما ينتج عنه حقل قياسي، يُكامل على السطح: ^{[ 48 ]}

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}$

قد يكون تدفق المائع في هذا المثال ناتجًا عن مائع فيزيائي كالماء أو الهواء، أو عن تدفق كهربائي أو مغناطيسي. ولذلك، فإن للتكاملات السطحية تطبيقات في الفيزياء، ولا سيما في النظرية الكلاسيكية للكهرومغناطيسية .

في التحليل المركب ، تكون الدالة المراد تكاملها دالة ذات قيم مركبة لمتغير مركب z بدلاً من دالة حقيقية لمتغير حقيقي x . عند تكامل دالة مركبة على طول منحنى${\displaystyle \gamma }$في المستوى المركب، يُرمز إلى التكامل كما يلي

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz.}$

يُعرف هذا باسم التكامل الكفافي .

الصيغة التفاضلية مفهوم رياضي في مجالات حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، والطوبولوجيا التفاضلية ، والموترات . تُصنَّف الصيغ التفاضلية حسب درجتها. على سبيل المثال، الصيغة التفاضلية من الدرجة الأولى هي مجموع مرجَّح لتفاضلات الإحداثيات، مثل:

${\displaystyle E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz}$

حيث E و F و G دوال في ثلاثة أبعاد. يمكن تكامل شكل تفاضلي من الدرجة الأولى على مسار موجه، والتكامل الناتج هو مجرد طريقة أخرى لكتابة التكامل الخطي. هنا، تقيس التفاضلات الأساسية dx و dy و dz أطوالًا موجهة متناهية الصغر موازية لمحاور الإحداثيات الثلاثة.

الشكل التفاضلي الثنائي هو مجموع من الشكل

${\displaystyle G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.}$

هنا الشكلان الأساسيان${\displaystyle dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz}$قياس المساحات الموجهة بالتوازي مع مستويي الإحداثيات. الرمز${\displaystyle \wedge }$يرمز إلى الضرب الخارجي ، وهو مشابه للضرب الاتجاهي من حيث أن الضرب الخارجي لشكلين يمثلان أطوالًا موجهة يمثل مساحة موجهة. يمكن تكامل شكل ثنائي على سطح موجه، والتكامل الناتج مكافئ للتكامل السطحي الذي يعطي تدفق${\displaystyle E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k} }$.

بخلاف الضرب الاتجاهي وحساب المتجهات ثلاثي الأبعاد، فإن الضرب الخارجي وحساب الأشكال التفاضلية يكونان منطقيين في أي بُعد وعلى مشعبات أكثر عمومية (المنحنيات والأسطح ونظائرها ذات الأبعاد الأعلى). ويؤدي المشتق الخارجي دور التدرج والالتفاف في حساب المتجهات، وتُعمم نظرية ستوكس في آنٍ واحد النظريات الثلاث لحساب المتجهات: نظرية التباعد ، ونظرية غرين ، ونظرية كلفن-ستوكس .

المكافئ المتقطع للتكامل هو الجمع . ويمكن وضع عمليات الجمع والتكامل على نفس الأسس باستخدام نظرية تكاملات لوبيغ أو حساب التفاضل والتكامل الزمني .

يُشار إلى التكامل الذي لا يتم إجراؤه على متغير (أو، في الفيزياء، على بُعد مكاني أو زمني)، ولكن على فضاء من الدوال ، باسم التكامل الوظيفي .

تعتمد أبسط طريقة لحساب التكاملات المحددة لمتغير حقيقي واحد على النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل . لنفترض أن f ( x ) هي دالة x المراد تكاملها على فترة معينة [ a , b ] . عندئذٍ، نجد دالة أصلية لـ f ؛ أي دالة F بحيث F ′ = f على هذه الفترة. بشرط ألا يكون للدالة المراد تكاملها والتكامل نفسه أي نقاط شاذة على مسار التكامل، فبحسب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل،

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

أحيانًا يكون من الضروري استخدام إحدى التقنيات العديدة التي طُوّرت لحساب التكاملات. تُعيد معظم هذه التقنيات كتابة التكامل بصيغة مختلفة، مما يُسهّل التعامل معه. تشمل هذه التقنيات التكامل بالتعويض ، والتكامل بالتجزئة ، والتكامل بالتعويض المثلثي ، والتكامل بالكسور الجزئية .

توجد طرق بديلة لحساب التكاملات الأكثر تعقيدًا. يمكن توسيع العديد من التكاملات غير الأولية في متسلسلة تايلور وتكاملها حدًا حدًا. في بعض الأحيان، يمكن جمع المتسلسلة اللانهائية الناتجة تحليليًا. كما يمكن استخدام طريقة الالتفاف باستخدام دوال ماير G ، بافتراض إمكانية كتابة الدالة المراد تكاملها كحاصل ضرب دوال ماير G. وهناك أيضًا العديد من الطرق الأقل شيوعًا لحساب التكاملات المحددة؛ على سبيل المثال، يمكن استخدام متطابقة بارسيفال لتحويل التكامل على منطقة مستطيلة إلى مجموع لانهائي. في بعض الأحيان، يمكن حساب التكامل بطريقة غير مباشرة؛ للاطلاع على مثال لذلك، انظر التكامل الغاوسي .

يمكن عادةً إجراء حسابات أحجام الأجسام الدورانية باستخدام التكامل القرصي أو التكامل القشري .

تم تجميع النتائج المحددة التي تم التوصل إليها باستخدام تقنيات مختلفة في قائمة التكاملات .

تتضمن العديد من المسائل في الرياضيات والفيزياء والهندسة التكامل، حيث يُراد إيجاد صيغة صريحة للتكامل. وقد جُمعت ونُشرت على مر السنين جداول تكامل شاملة لهذا الغرض. ومع انتشار الحواسيب، اتجه العديد من المهنيين والمعلمين والطلاب إلى أنظمة الجبر الحاسوبي المصممة خصيصًا لأداء المهام الصعبة أو الشاقة، بما في ذلك التكامل. وكان التكامل الرمزي أحد دوافع تطوير أولى هذه الأنظمة، مثل Macsyma و Maple .

تكمن إحدى الصعوبات الرياضية الرئيسية في التكامل الرمزي في أن العديد من الدوال البسيطة نسبيًا لا تملك تكاملات يمكن التعبير عنها بصيغة مغلقة باستخدام الدوال الأولية فقط ، بما في ذلك الدوال الكسرية والأسية ، واللوغاريتمات ، والدوال المثلثية ، وعكس الدوال المثلثية، وعمليات الضرب والتركيب. توفر خوارزمية ريش معيارًا عامًا لتحديد ما إذا كانت الدالة الأصلية لدالة أولية أولية، ولحساب التكامل إذا كانت أولية. مع ذلك، تُعد الدوال ذات الصيغ المغلقة للدوال الأصلية استثناءً، وبالتالي، لا يُمكن لأنظمة الجبر الحاسوبية إيجاد دالة أصلية لدالة أولية مُنشأة عشوائيًا. من ناحية أخرى، إذا تم تحديد "اللبنات الأساسية" للدوال الأصلية مسبقًا، فقد يظل من الممكن تحديد ما إذا كان يُمكن التعبير عن الدالة الأصلية لدالة معينة باستخدام هذه اللبنات وعمليات الضرب والتركيب، وإيجاد الإجابة الرمزية متى وُجدت. تقوم خوارزمية ريش، المطبقة في Mathematica و Maple وأنظمة الجبر الحاسوبية الأخرى ، بذلك بالضبط بالنسبة للدوال والمشتقات الأصلية المبنية من الدوال الكسرية والجذور واللوغاريتمات والدوال الأسية.

تظهر بعض الدوال التكاملية الخاصة بشكل متكرر بما يكفي لتبرير دراستها بشكل خاص. على وجه الخصوص، قد يكون من المفيد تضمين الدوال الخاصة (مثل دوال ليجندر ، والدالة فوق الهندسية ، ودالة غاما ، ودالة غاما غير الكاملة ، وما إلى ذلك) ضمن مجموعة الدوال الأصلية. يُعدّ توسيع خوارزمية ريش لتشمل هذه الدوال أمرًا ممكنًا ولكنه يمثل تحديًا، وقد كان موضوعًا بحثيًا نشطًا.

في الآونة الأخيرة، ظهر نهج جديد يستخدم الدوال المحدودة من الرتبة D ، وهي حلول المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات متعددة الحدود. معظم الدوال الأساسية والخاصة هي دوال محدودة من الرتبة D ، وتكامل دالة محدودة من الرتبة D هو أيضًا دالة محدودة من الرتبة D. يوفر هذا خوارزمية للتعبير عن الدالة الأصلية لدالة محدودة من الرتبة D كحل لمعادلة تفاضلية. كما تسمح هذه النظرية بحساب التكامل المحدد لدالة من الرتبة D كمجموع متسلسلة معطاة بالمعاملات الأولى، وتوفر خوارزمية لحساب أي معامل.

تُسهّل أنظمة التكامل القائمة على القواعد عملية التكامل. يستخدم نظام روبي، وهو نظام جبر حاسوبي يعتمد على قواعد التكامل، مطابقة الأنماط مع نظام واسع من قواعد التكامل الرمزية لتكامل مجموعة متنوعة من الدوال المراد تكاملها. يستخدم هذا النظام أكثر من 6600 قاعدة تكامل لحساب التكاملات. ^{[ 55 ]} تُعدّ طريقة الأقواس تعميمًا لنظرية رامانوجان الرئيسية، ويمكن تطبيقها على نطاق واسع من التكاملات أحادية ومتعددة المتغيرات. تُطبّق مجموعة من القواعد على معاملات وحدود الأس في متسلسلة قوى الدالة المراد تكاملها لتحديد التكامل. ترتبط هذه الطريقة ارتباطًا وثيقًا بتحويل ميلين . ^{[ 56 ]}

يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام عدة طرق للتكامل العددي . تعتمد طريقة المستطيل على تقسيم المنطقة أسفل الدالة إلى سلسلة من المستطيلات التي تُمثل قيم الدالة، ثم ضرب الناتج في عرض الخطوة لإيجاد المجموع. أما الطريقة الأفضل، وهي قاعدة شبه المنحرف ، فتستبدل المستطيلات المستخدمة في مجموع ريمان بأشكال شبه منحرفة. تُعطي قاعدة شبه المنحرف وزنًا مقداره النصف للقيمتين الأولى والأخيرة، ثم تضرب الناتج في عرض الخطوة للحصول على تقريب أدق. ^{[ 57 ]} ويمكن تطوير الفكرة الكامنة وراء قاعدة شبه المنحرف، وهي أن التقريبات الأكثر دقة للدالة تُؤدي إلى تقريبات أفضل للتكامل، وذلك باستخدام قاعدة سيمبسون التي تُقارب الدالة المراد تكاملها بدالة تربيعية مُجزأة. ^{[ 58 ]}

تُعدّ مجاميع ريمان، وقاعدة شبه المنحرف، وقاعدة سيمبسون أمثلةً على عائلة من قواعد التكامل العددي تُعرف بصيغ نيوتن-كوتس . تُقرّب قاعدة نيوتن-كوتس من الدرجة n متعددة الحدود على كل فترة جزئية بمتعددة حدود من الدرجة n . تُختار متعددة الحدود هذه لاستيفاء قيم الدالة على الفترة. ^{[ 59 ]} قد تكون تقريبات نيوتن-كوتس ذات الدرجات الأعلى أكثر دقة، لكنها تتطلب عددًا أكبر من عمليات حساب الدالة، وقد تعاني من عدم دقة عددية بسبب ظاهرة رونج . أحد حلول هذه المشكلة هو تكامل كلينشو-كورتيس العددي ، حيث يتم تقريب الدالة المراد تكاملها بتوسيعها بدلالة متعددات حدود تشيبيشيف .

_{تُقلل طريقة} رومبرغ عرض الخطوات تدريجيًا إلى النصف، مما يُعطي تقريبات شبه منحرفة يُرمز لها بـ T(h₀)، _{T(h₁)، وهكذا، حيث hₖ₊₁ هو} نصف hₖ . _لكل حجم خطوة جديد ، _يلزم حساب نصف قيم الدالة الجديدة فقط؛ أما النصف الآخر فيُستخدم من الحجم السابق. ثم تُجري عملية استيفاء لكثير الحدود عبر التقريبات، وتُعمم النتائج إلى T (0) . تُقيّم طريقة التكامل العددي الغاوسي الدالة عند جذور مجموعة من كثيرات الحدود المتعامدة . ^{[ 60 ]} تُعد طريقة غاوس ذات n نقطة دقيقة لكثيرات الحدود من الدرجة حتى 2ⁿ - 1 .

إن حساب التكاملات ذات الأبعاد الأعلى (على سبيل المثال، حسابات الحجم) يستفيد بشكل كبير من بدائل مثل تكامل مونت كارلو . ^{[ 61 ]}

يمكن تحديد مساحة أي شكل ثنائي الأبعاد باستخدام أداة قياس تُسمى البلانيمتر . ويمكن قياس حجم الأجسام غير المنتظمة بدقة عن طريق قياس حجم السائل المزاح عند غمر الجسم.

يمكن أحيانًا إيجاد المساحة من خلال إنشاءات هندسية باستخدام الفرجار والمسطرة لمربع مكافئ .

أظهر كيمبف وجاكسون وموراليس علاقات رياضية تسمح بحساب التكامل عن طريق التفاضل . يتضمن حسابهم دالة ديراك دلتا ومؤثر التفاضل الجزئي${\displaystyle \partial _{x}}$ويمكن تطبيق ذلك أيضًا على التكاملات الوظيفية ، مما يسمح بحسابها عن طريق التفاضل الوظيفي . ^{[ 62 ]}

تسمح النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل بإجراء حسابات مباشرة للوظائف الأساسية:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.}$

• كيسلر، إتش. جيروم، حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل باستخدام الكميات المتناهية الصغر ، جامعة ويسكونسن
• سترويان، ك.د.، مقدمة موجزة في حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر ، جامعة أيوا
• كتاب شون ماوتش، " كتاب شون في الرياضيات التطبيقية" ، CIT، وهو كتاب دراسي إلكتروني يتضمن مقدمة كاملة في حساب التفاضل والتكامل.
• كرويل، بنجامين، حساب التفاضل والتكامل ، كلية فولرتون، كتاب دراسي إلكتروني
• غاريت، بول، ملاحظات حول حساب التفاضل والتكامل للسنة الأولى
• حسين، فراز، فهم حساب التفاضل والتكامل ، كتاب دراسي إلكتروني
• جونسون، ويليام وولسي (1909) رسالة تمهيدية في حساب التكامل ، رابط من هاثي تراست .
• كوالك، دبليو بي، نظرية التكامل. مؤرشف بتاريخ ٢٧ فبراير ٢٠١٢ في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine )، جامعة أولدنبورغ. مفهوم جديد لمشكلة قديمة. كتاب دراسي إلكتروني.
• سلوتر، دان، معادلات الفرق إلى المعادلات التفاضلية، مؤرشف بتاريخ 15 يوليو 2011 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) ، مقدمة في حساب التفاضل والتكامل.
• الأساليب العددية للتكامل في معهد الأساليب العددية الشاملة
• بي إس وانغ، تقييم التكاملات المحددة عن طريق المعالجة الرمزية (1972)  - دليل عملي لتقنيات التكامل المحدد