مجموعة مغلقة

في علم الطوبولوجيا ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، تُعرف المجموعة المغلقة بأنها مجموعة تحتوي على جميع نقاط حدودها . ومن الأمثلة على ذلك الفترة المغلقة.${\displaystyle [a,b]}$، وهو مغلق على خط الأعداد الحقيقية لأنه يشمل كلا النقطتين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$من حدودها. تقع نقطة ما على الحدود إذا كانت كل جوار لها يتقاطع مع كل من المجموعة ومتممتها . [ ^{1 ] وبالتالي} ، تكون المجموعة مغلقة إذا كانت مساوية لإغلاقها ، أي المجموعة التي يتم الحصول عليها بضم جميع نقاط الحدود إليها.

تُعرَّف المجموعات المغلقة بأنها مجموعات جزئية من الفضاءات الطوبولوجية . عادةً ما تُوصف طوبولوجيا الفضاء بدلالة مجموعاته المفتوحة ، التي تُحدد ما يُعتبر "جوارًا" لنقاطه. تُعتبر المجموعة مغلقة إذا كانت مُكمِّلة لمجموعة مفتوحة. في الفضاءات المترية ، تكون المجموعة مغلقة إذا وفقط إذا كانت نهاية كل متتالية متقاربة من عناصر المجموعة لها نهاية في هذه المجموعة؛ وبالتالي، فإن المجموعة المغلقة هي مجموعة تشمل جميع نقاط نهايتها . ولأن نهايات المتتاليات المتقاربة لا تخرج من مجموعة مغلقة، فإنها ذات أهمية في العديد من مجالات الرياضيات التي تُستخدم فيها حجج النهايات.

تختلف المجموعة المغلقة عن مفهوم المنحنى المغلق أو المتشعب المغلق . فهذه الأخيرة مغلقة أيضاً بالمعنى الطوبولوجي، لكن المصطلح هناك يعني عادةً أن حدودها فارغة بالمعنى ذي الصلة . وبالمثل، فإن الشكل التفاضلي المغلق ليس مجموعةً على الإطلاق، بل هو شكل ذو حدود مشتركة صفرية . لذا، يُستخدم مصطلح "مغلق" بمعنى مختلف، ولكنه ذو صلة، في علم التماثل وعلم التماثل المشترك .

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$العبارات التالية متكافئة:

1. مجموعة${\displaystyle A\subseteq X}$مغلق في​${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle A^{c}=X\setminus A}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle (X,\tau )}$؛ إنه،${\displaystyle A^{c}\in \tau .}$
3. ${\displaystyle A}$يساوي إغلاقه في${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle A}$يحتوي على جميع نقاطه الحدية .
5. ${\displaystyle A}$يحتوي على جميع نقاط حدوده .

يتوفر توصيف بديل للمجموعات المغلقة عبر المتتاليات والشبكات . مجموعة جزئية${\displaystyle A}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$مغلق في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان كل حد لكل شبكة من عناصر${\displaystyle A}$ينتمي أيضًا إلى${\displaystyle A.}$في فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى (مثل الفضاء المتري)، يكفي النظر فقط إلى المتتاليات المتقاربة ، بدلاً من جميع الشبكات. إحدى فوائد هذا التوصيف هي إمكانية استخدامه كتعريف في سياق فضاءات التقارب ، وهي أعم من الفضاءات الطوبولوجية. تجدر الإشارة إلى أن هذا التوصيف يعتمد أيضاً على الفضاء المحيط.${\displaystyle X,}$لأن ما إذا كانت متتالية أو شبكة تتقارب أم لا في${\displaystyle X}$يعتمد ذلك على النقاط الموجودة في${\displaystyle X.}$ نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$يقال إنه قريب من مجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq X}$لو${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$(أو ما يعادل ذلك، إذا${\displaystyle x}$ينتمي إلى إغلاق${\displaystyle A}$في الفضاء الطوبولوجي الفرعي${\displaystyle A\cup \{x\},}$معنى${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A}$أين${\displaystyle A\cup \{x\}}$يتم تزويدها بطوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة عليها بواسطة${\displaystyle X}$^{[ ملاحظة 1 ]} ). لأن إغلاق${\displaystyle A}$في${\displaystyle X}$وبالتالي فإن مجموعة جميع النقاط في${\displaystyle X}$التي قريبة من${\displaystyle A,}$تتيح هذه المصطلحات وصفًا بديهيًا للمجموعات الفرعية المغلقة:

تكون المجموعة الجزئية مغلقة إذا وفقط إذا كانت تحتوي على كل نقطة قريبة منها.

من حيث التقارب الصافي، نقطة${\displaystyle x\in X}$قريب من مجموعة جزئية${\displaystyle A}$إذا وفقط إذا كان هناك شبكة (ذات قيم) في${\displaystyle A}$ذلك يتقارب إلى${\displaystyle x.}$ لو${\displaystyle X}$هو فضاء طوبولوجي فرعي من فضاء طوبولوجي آخر${\displaystyle Y,}$وفي هذه الحالة${\displaystyle Y}$يُطلق عليه اسم الفضاء الفائق الطوبولوجي لـ${\displaystyle X,}$عندها قد توجد نقطة ما في${\displaystyle Y\setminus X}$هذا قريب من${\displaystyle A}$(على الرغم من أنها ليست عنصرًا من${\displaystyle X}$وهذا هو كيف يكون ذلك ممكناً لمجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq X}$سيتم إغلاقها في${\displaystyle X}$لكن لكي لا يتم إغلاقها في الفضاء الفائق المحيط "الأكبر".${\displaystyle Y.}$ لو${\displaystyle A\subseteq X}$وإذا${\displaystyle Y}$أي فضاء فائق طوبولوجي من${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle A}$هي دائماً مجموعة فرعية (قد تكون مناسبة) من${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$مما يدل على إغلاق${\displaystyle A}$في${\displaystyle Y;}$بل حتى لو${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X}$(وهذا يحدث إذا وفقط إذا${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$ومع ذلك، لا يزال من الممكن${\displaystyle A}$أن تكون مجموعة فرعية مناسبة من${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$لكن،${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A}$بالنسبة لبعض (أو بشكل مكافئ، لكل) الفضاء الفائق الطوبولوجي${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle X.}$

يمكن أيضًا استخدام المجموعات المغلقة لوصف الدوال المتصلة : وهي عبارة عن خريطة${\displaystyle f:X\to Y}$تكون متصلة إذا وفقط إذا${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$لكل مجموعة جزئية${\displaystyle A\subseteq X}$ويمكن إعادة صياغة ذلك بشكل بديهي على النحو التالي:${\displaystyle f}$تكون متصلة إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة جزئية${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f}$نقاط الخرائط القريبة من${\displaystyle A}$إلى نقاط قريبة من${\displaystyle f(A).}$بصورة مماثلة،${\displaystyle f}$تكون متصلة عند نقطة معينة ثابتة${\displaystyle x\in X}$إذا وفقط إذا كان${\displaystyle x}$قريب من مجموعة جزئية${\displaystyle A\subseteq X,}$ثم${\displaystyle f(x)}$قريب من${\displaystyle f(A).}$

تم تعريف مفهوم المجموعة المغلقة أعلاه من حيث المجموعات المفتوحة ، وهو مفهوم منطقي بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية ، وكذلك بالنسبة للفضاءات الأخرى التي تحمل هياكل طوبولوجية، مثل الفضاءات المترية ، والمشعبات التفاضلية ، والفضاءات المنتظمة ، وفضاءات القياس .

يعتمد كون المجموعة مغلقة على الفضاء الذي تُضمّن فيه. ومع ذلك، فإن فضاءات هاوسدورف المدمجة " مغلقة تمامًا "، بمعنى أنه إذا قمت بتضمين فضاء هاوسدورف مدمج${\displaystyle D}$في فضاء هاوسدورف عشوائي${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle D}$ستكون دائمًا مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X}$لا يهم "الفضاء المحيط" هنا. يمكن وصف عملية تكثيف ستون-تشيك ، وهي عملية تحول فضاء هاوسدورف منتظمًا تمامًا إلى فضاء هاوسدورف مضغوط، بأنها حدود مجاورة لشبكات غير متقاربة معينة بالفضاء.

علاوة على ذلك، فإن كل مجموعة فرعية مغلقة من فضاء مضغوط تكون مضغوطة، وكل فضاء فرعي مضغوط من فضاء هاوسدورف يكون مغلقًا.

كما توفر المجموعات المغلقة توصيفًا مفيدًا للتراص: فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون المجموعة مضغوطة إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة من المجموعات الفرعية المغلقة غير الفارغة من${\displaystyle X}$يقبل التقاطع الفارغ مجموعة فرعية منتهية ذات تقاطع فارغ.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون المجموعة غير متصلة إذا وُجدت مجموعات فرعية مفتوحة غير فارغة ومنفصلة.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ل${\displaystyle X}$اتحادهم هو${\displaystyle X.}$بالإضافة إلى،${\displaystyle X}$تكون منفصلة تمامًا إذا كانت لها قاعدة مفتوحة تتكون من مجموعات مغلقة.

تحتوي المجموعة المغلقة على حدودها الخاصة . بعبارة أخرى، إذا كنت "خارج" مجموعة مغلقة، يمكنك التحرك مسافة صغيرة في أي اتجاه وستظل خارج المجموعة. وينطبق هذا أيضًا إذا كانت الحدود هي المجموعة الفارغة، كما هو الحال في الفضاء المتري للأعداد النسبية، لمجموعة الأعداد التي مربعها أقل من${\displaystyle 2.}$

• أي تقاطع لأي عائلة من المجموعات المغلقة يكون مغلقًا (يشمل ذلك تقاطعات عدد لا نهائي من المجموعات المغلقة).
• اتحاد عدد محدود من المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة.
• المجموعة الفارغة مغلقة.
• المجموعة بأكملها مغلقة.

في الواقع، إذا تم إعطاء مجموعة${\displaystyle X}$ومجموعة غير فارغة${\displaystyle \mathbb {F} }$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$بحيث تكون عناصر${\displaystyle \mathbb {F} }$إذا كانت لها الخصائص المذكورة أعلاه، فستكون هناك بنية فريدة${\displaystyle \tau }$على${\displaystyle X}$بحيث تكون المجموعات الفرعية المغلقة من${\displaystyle (X,\tau )}$هي بالضبط تلك المجموعات التي تنتمي إلى${\displaystyle \mathbb {F} .}$ كما تسمح خاصية التقاطع بتحديد إغلاق المجموعة${\displaystyle A}$في مساحة${\displaystyle X,}$والتي تُعرَّف بأنها أصغر مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle A.}$ وهكذا تم إغلاق${\displaystyle A}$هو تقاطع جميع المجموعات المغلقة التي تحتوي عليه.

_تُسمى المجموعات التي يمكن إنشاؤها كاتحاد لعدد قابل للعد من المجموعات المغلقة بمجموعات Fσ . ولا يشترط أن تكون هذه المجموعات مغلقة. يصنف التسلسل الهرمي لبوريل المجموعات الأكثر تعقيدًا المُشكَّلة في جبر سيجما لبوريل ، والذي يشمل المجموعات المغلقة في المستوى الأول، ومجموعات Fσ _في المستوى الثاني، وهكذا.

المجموعة الكاملة هي مجموعة مغلقة لا تحتوي على نقاط معزولة .

• الفترة المغلقة${\displaystyle [a,b]}$مجموعة الأعداد الحقيقية مغلقة. (انظر الفترات (الرياضيات) لشرح رمز مجموعة الأقواس).
• الفترة الزمنية للوحدة${\displaystyle [0,1]}$مجموعة مغلقة في الفضاء المتري للأعداد الحقيقية، ومجموعة${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية بين${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$(شاملة) مغلقة في فضاء الأعداد النسبية، ولكن${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ليست مغلقة في الأعداد الحقيقية.
• بعض المجموعات ليست مفتوحة ولا مغلقة، على سبيل المثال الفترة نصف المفتوحة${\displaystyle [0,1)}$بالأرقام الحقيقية.
• في طوبولوجيا المكمل المنتهي على مجموعة${\displaystyle X}$، المجموعات المغلقة هي تحديدًا المجموعات الجزئية المنتهية من${\displaystyle X}$مع${\displaystyle X}$نفسها.
• في الطوبولوجيا المنفصلة على مجموعة${\displaystyle X}$، كل مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$مغلق.

• الشعاع​${\displaystyle [1,+\infty )}$مغلق.
• مجموعة كانتور مغلقة لأنها تساوي حدودها الخاصة (فهي تتكون بالكامل من نقاط حدودية).
• النقاط الفردية (وبالتالي المجموعات المنتهية) مغلقة في فضاءات T ₁ وفضاءات هاوسدورف .
• مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي مجموعة مغلقة لا نهائية وغير محدودة في الأعداد الحقيقية.
• لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت دالة بين فضاءات طوبولوجية${\displaystyle f}$تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت الصور العكسية للمجموعات المغلقة في${\displaystyle Y}$مغلقة في${\displaystyle X.}$
• كل مجموعة سفلية من الترتيب المسبق تكون مغلقة في طوبولوجيا ألكسندروف على الترتيب المسبق.
• تكون المجموعات المدمجة في فضاء هاوسدورف مغلقة دائمًا. والدمج هو حالة خاصة من مفهوم الانغلاق، والذي يضمن، في حالات مثل الفضاءات المترية، ليس فقط احتواء المجموعة على جميع نهاياتها، بل أيضًا أن لكل متتالية متتالية جزئية ذات نهاية في تلك المجموعة.

تُعدّ المجموعات المغلقة ذات أهمية بالغة في الرياضيات لأنها تصف الشروط التي تبقى ثابتة في ظل عمليات التقارب. ففي الفضاء المتري، على سبيل المثال، إذا تقاربت سلسلة من النقاط في مجموعة مغلقة في الفضاء المحيط، فإن نهايتها تبقى ضمن المجموعة. وبالتالي، يمكن إثبات امتلاك عنصر ما لخاصية معينة من خلال بنائه كناتج نهائي لعناصر تمتلك تلك الخاصية بالفعل. لذلك، تُعدّ المجموعات المغلقة عنصرًا أساسيًا في التحليل الرياضي ، الذي يتضمن استخدام حجج التقارب بشكل أساسي.

تُعدّ الدوال المتصلة أحد مصادر المجموعات المغلقة في العديد من التطبيقات. وتكون الدالة بين الفضاءات الطوبولوجية متصلة إذا وفقط إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مغلقة مجموعة مغلقة. وبالتالي، فإن مجموعات حلول المعادلات المتصلة تكون مغلقة: إذا${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$إذا كانت متصلة، فإن مجموعة الأصفار $${\displaystyle \{x\in X:f(x)=0\}=f^{-1}(\{0\})}$$ مغلقة. وبشكل أعم، فإن مجموعات المستوى ومجموعات القيود المعرفة بواسطة المعادلات المستمرة مغلقة.

في التحليل الحقيقي ، تكون المجموعة في الفضاء الإقليدي متراصة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة . هذا يُسهّل عملية التحقق من تراص المجموعة، إذ يُقسّمها إلى خاصيتين يسهل التحقق منهما، وغالبًا ما تكون خاصية الإغلاق هي الأصعب. لكن هذه العبارة لا تنطبق على الفضاءات الأخرى. على سبيل المثال، الكرة المغلقة التي تمثل الوحدة في فضاء باناخ لانهائي الأبعاد تكون مغلقة ولكنها ليست متراصة.

تُعدّ خاصية كون المجموعة مغلقة أساسية في نظرية التحسين . وتُعتبر نظرية القيمة القصوى مثالاً أساسياً على ذلك، إذ تسمح بالاستنتاج بأن الدالة الحقيقية المتصلة على مجموعة فرعية مغلقة ومحدودة (أي متراصة) من الفضاء الإقليدي تبلغ قيمة عظمى وقيمة صغرى في مكان ما.

في التحليل المحدب ، يُعبَّر عن الانغلاق عادةً من خلال الرسوم البيانية العلوية . تُسمى الدالة المحدبة مغلقة عندما يكون رسمها البياني العلوي مجموعة مغلقة. يرتبط هذا الشرط ارتباطًا وثيقًا بالاستمرارية الجزئية السفلية ، وهو مهم في نظريات الوجود والازدواجية في التحسين المحدب.

في الهندسة الجبرية ، تُستخدم المجموعات المغلقة لتمثيل أنظمة المعادلات متعددة الحدود. في طوبولوجيا زاريسكي على الفضاء الأفيني، تُمثل المجموعات المغلقة المجموعات الجبرية ، أي مجموعات الأصفار المشتركة لمجموعات كثيرات الحدود . لذا، في الهندسة الجبرية، غالبًا ما تكون المجموعات المغلقة، وليست المجموعات المفتوحة، هي موضوعات الدراسة الأساسية.

في التحليل الوظيفي ، تُستخدم خاصية الانغلاق للتحكم في العمليات الحدية اللانهائية الأبعاد. لا يشترط أن يكون الفضاء الجزئي الخطي لفضاء متجهي معياري مغلقًا. وعندما لا يكون مغلقًا، قد تخرج نهايات المتتابعات المتقاربة للمتجهات في الفضاء الجزئي منه. ولذلك، تُعد الفضاءات الجزئية المغلقة لفضاءات باناخ وهيلبرت ذات أهمية خاصة. وبالمثل، تُحدد نظرية الرسم البياني المغلق استمرارية بعض المؤثرات الخطية بين فضاءات باناخ من خلال انغلاق رسومها البيانية .

في دراسة الزمر الطوبولوجية ، أي الزمر ذات الطوبولوجيا المتوافقة، تُعدّ الزمر الجزئية المغلقة غالبًا أسهل حالات الزمر الجزئية في التحليل ، لأنها ترث بنىً من الزمرة الأكبر لا ترثها الزمر الجزئية الأكثر عمومية. ومن الأمثلة على ذلك زمر لي . فبينما تُعتبر كل زمرة جزئية من زمرة لي زمرة طوبولوجية، إلا أنها لا تُشترط أن تكون زمرة لي في ظل طوبولوجيا الفضاء الجزئي. والصحيح هو أن الزمرة الجزئية المغلقة من زمرة لي هي زمرة لي جزئية ، وجبر لي الخاص بها هو فضاء جزئي طبيعي من جبر لي الخاص بالزمرة الأكبر. علاوة على ذلك، فإن فضاء المشاركات لزمرة جزئية في زمرة طوبولوجية ليس فضاء هاوسدورف إلا إذا كانت الزمرة الجزئية مغلقة، والعكس صحيح. وبالمثل، تلعب الزمر المتراصة دورًا خاصًا في التحليل، فعلى سبيل المثال، تتحلل تمثيلاتها الوحدوية المستمرة إلى أجزاء منفصلة. ولا يُشترط أن تكون الزمرة الجزئية من زمرة متراصة متراصة، ولكن الزمرة الجزئية المغلقة تكون كذلك.

في الفضاءات المنفصلة تمامًا ، وخاصةً في الفضاءات الصفرية الأبعاد مثل فضاءات ستون ، تلعب المجموعات المفتوحة والمغلقة دورًا هامًا. تُسمى هذه المجموعات بالمجموعات المفتوحة المغلقة . وهي تُشكل اللبنات الأساسية للعديد من الأمثلة، بما في ذلك مجموعة كانتور والفضاءات الناشئة في التحليل p-adic . في نظرية الأعداد الجبرية ، غالبًا ما تُدرس الزمر الطوبولوجية فوق الحقول المحلية غير الأرخميدية، حيث تلعب الزمر الفرعية المفتوحة المدمجة دورًا هامًا: فهي جوارات صغيرة طوبولوجيًا للعنصر المحايد، وغالبًا ما تكون زمرًا فرعية مفيدة جبريًا أو حسابيًا.

• مجموعة مفتوحة ومغلقة في آن واحد – مجموعة فرعية تكون مفتوحة ومغلقة في آن واحد 
• خريطة مغلقة – وظائف تُرسل مجموعات فرعية مفتوحة (أو مغلقة) إلى مجموعات فرعية مفتوحة (أو مغلقة). صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• منطقة مغلقة – مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من فضاء طوبولوجي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• المجموعة المفتوحة – مجموعة فرعية أساسية من فضاء طوبولوجي 
• الجوار – مجموعة مفتوحة تحتوي على نقطة معينة 
• المنطقة (في الرياضيات) - مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من فضاء طوبولوجي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• مجموعة مغلقة منتظمة

• دوليكي، سيمون ؛ مينارد، فريدريك (2016). أسس التقارب في الطوبولوجيا . نيوجيرسي: شركة وورلد ساينتيفيك للنشر. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 . 
• دوجوندجي، جيمس (1966). الطوبولوجيا . بوسطن: ألين وبيكون. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .