فضاء لورنتز

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 92 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي ، تُعد فضاءات لورنتز ، التي قدمها جورج ج. لورنتز في خمسينيات القرن العشرين، [ 1 ] [ 2 ] تعميمات للفضاءات الأكثر شيوعًالص{\displaystyle L^{p}}مسافات .

يُرمز إلى فضاءات لورنتز بـلص،q{\displaystyle L^{p,q}}مثللص{\displaystyle L^{p}}تتميز هذه الفضاءات بمعيار ( تقنيًا شبه معيار ) يشفر معلومات حول "حجم" الدالة، تمامًا كما هو الحال فيلص{\displaystyle L^{p}}يُحدد المعيار مفهومين نوعيين أساسيين لـ "حجم" الدالة، وهما: مدى ارتفاع منحنى الدالة، ومدى اتساعه. توفر معايير لورنتز تحكمًا أدق في كلا الخاصيتين مقارنةً بـلص{\displaystyle L^{p}}المعايير، من خلال إعادة قياس المقياس بشكل أُسّي في كل من النطاق (ص{\displaystyle p}) والمجال (q{\displaystyle q}معايير لورنتز، مثللص{\displaystyle L^{p}}المعايير ثابتة تحت أي إعادة ترتيب عشوائية لقيم الدالة.

تعريف

فضاء لورنتز على فضاء القياس(X،μ){\displaystyle (X,\mu )}هو فضاء الدوال القابلة للقياس ذات القيم المركبة الممتدةو:X→ج¯{\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {\overline {C}} }بحيث يكون المعيار شبه القياسي التالي محدودًا

‖و‖لص،q(X،μ)=ص1q‖تμ{|و|≥ت}1ص‖لq(R+،دتت)\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}

أين0<ص<∞{\displaystyle 0<p<\infty }و0<q≤∞{\displaystyle 0<q\leq \infty }وبالتالي، عندماq<∞{\displaystyle q<\infty }،

‖و‖لص،q(X،μ)=ص1q(∫0∞تqμ{x:|و(x)|≥ت}qصدتت)1q=(∫0∞(τμ{x:|و(x)|ص≥τ})qصدττ)1q.{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}

وعندماq=∞{\displaystyle q=\infty }،

‖و‖لص،∞(X،μ)ص=رشفةت>0(تصμ{x:|و(x)|>ت}).{\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).}

من المتعارف عليه أيضاً تحديدل∞،∞(X،μ)=ل∞(X،μ){\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}. بشرطلw∞(X،μ)=ل∞(X،μ){\displaystyle L_{\mathrm {w} }^{\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}، فنحصل على سلسلة المعادلات التالية:ل∞،∞(X،μ)=لw∞(X،μ)=ل∞(X،μ){\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L_{\mathrm {w} }^{\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}. هنا،لw∞(X،μ){\displaystyle L_{\mathrm {w} }^{\infty }(X,\mu )}هو فضاء ليبيغ الضعيف .

تقليل عمليات إعادة الترتيب

المعيار شبه الثابت لا يتغير عند إعادة ترتيب قيم الدالةو{\displaystyle f}، بشكل أساسي بحكم التعريف. على وجه الخصوص، بالنظر إلى دالة قابلة للقياس ذات قيم مركبةو{\displaystyle f}معرفة على فضاء قياس،(X،μ){\displaystyle (X,\mu )}، ووظيفة إعادة الترتيب المتناقصة الخاصة بها،و*:[0،∞)→[0،∞]{\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]}يمكن تعريفها على النحو التالي:

و*(ت)=معلومات{α∈R+:دو(α)≤ت}{\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}

أيندو{\displaystyle d_{f}}هي ما يسمى بدالة التوزيع لـو{\displaystyle f}، مقدمة من

دو(α)=μ({x∈X:|و(x)|>α}).{\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).}

هنا، ولتسهيل عملية الترميز،معلومات∅{\displaystyle \inf \varnothing }يُعرَّف بأنه∞{\displaystyle \infty }.

الوظيفتان|و|{\displaystyle |f|}وو*{\displaystyle f^{\ast }}متساوية القياس ، مما يعني أن

μ({x∈X:|و(x)|>α})=λ({ت>0:و*(ت)>α})،α>0،{\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}

أينλ{\displaystyle \lambda }هي مقياس ليبيغ على خط الأعداد الحقيقية. ودالة إعادة الترتيب المتناقصة المتناظرة المرتبطة بها ، والتي هي أيضًا متساوية القياس معو{\displaystyle f}، سيتم تعريفها على خط الأعداد الحقيقية بواسطة

R∋ت↦12و*(|ت|).{\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}

بناءً على هذه التعريفات، لـ0<ص<∞{\displaystyle 0<p<\infty }و0<q≤∞{\displaystyle 0<q\leq \infty }، تُعطى شبه معايير لورنتز بواسطة

‖و‖لص،q={(∫0∞(ت1صو*(ت))qدتت)1qq∈(0،∞)،رشفةت>0ت1صو*(ت)q=∞.{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}

فضاءات متتابعة لورنتز

متى(X،μ)=(شمال،8){\displaystyle (X,\mu )=(\mathbb {N} ,\#)}(مقياس العد علىشمال{\displaystyle \mathbb {N} })، وبالتالي فإن فضاء لورنتز الناتج هو فضاء متتابعات . ومع ذلك، في هذه الحالة، من الملائم استخدام ترميز مختلف.

تعريف

ل(أن)ن=1∞∈Rشمال{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}(أوجشمال{\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}(في الحالة المعقدة)، دع‖(أن)ن=1∞‖ص=(∑ن=1∞|أن|ص)1/ص{\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}لنرمز إلى المعيار p لـ1≤ص<∞{\displaystyle 1\leq p<\infty }و‖(أن)ن=1∞‖∞=رشفةن∈شمال|أن|{\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}المعيار اللانهائي. نرمز إليه بـℓص{\displaystyle \ell _{p}}فضاء باناخ لجميع المتتاليات ذات المعيار p المحدود. ليكنج0{\displaystyle c_{0}}فضاء باناخ لجميع المتتاليات التي تحققليمن→∞أن=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}، مزودة بالمعيار اللانهائي. نرمز لها بـج٠٠{\displaystyle c_{00}}الفضاء المعياري لجميع المتتاليات التي تحتوي على عدد محدود فقط من العناصر غير الصفرية. وتلعب هذه الفضاءات جميعها دورًا في تعريف فضاءات متتاليات لورنتز.د(w،ص){\displaystyle d(w,p)}أقل.

يتركw=(wن)ن=1∞∈ج0∖ℓ1{\displaystyle w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}}لتكن متتالية من الأعداد الحقيقية الموجبة تحقق1=w1≥w2≥w3≥⋯{\displaystyle 1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \cdots }، وتحديد المعيار‖(أن)ن=1∞‖د(w،ص)=رشفةσ∈Π‖(أσ(ن)wن1/ص)ن=1∞‖ص{\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\|(a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}}فضاء متتابعات لورنتزد(w،ص){\displaystyle d(w,p)}يُعرَّف بأنه فضاء باناخ لجميع المتتاليات التي يكون فيها هذا المعيار محدودًا. وبصورة مكافئة، يمكننا تعريفد(w،ص){\displaystyle d(w,p)}مع اكتمالج٠٠{\displaystyle c_{00}}تحت‖⋅‖د(w،ص){\displaystyle \|\cdot \|_{d(w,p)}}.

ملكيات

تُعتبر فضاءات لورنتز تعميمات حقيقية لـلص{\displaystyle L^{p}}المساحات بمعنى أنه، لأيص{\displaystyle p}،لص،ص=لص{\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}وهذا ما يترتب على مبدأ كافالييري . علاوة على ذلك،لص،∞{\displaystyle L^{p,\infty }}يتزامن مع فضاء ليبيغ الضعيفلwص{\displaystyle L_{\mathrm {w} }^{p}}هي فضاءات شبه باناخ (أي فضاءات شبه معيارية كاملة أيضًا) وقابلة للتطبيع بالنسبة لـ1<ص<∞{\displaystyle 1<p<\infty }و1≤q≤∞{\displaystyle 1\leq q\leq \infty }. متىص=1{\displaystyle p=1}،ل1،1=ل1{\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}مزود بمعيار، ولكن لا يمكن تعريف معيار مكافئ للمعيار شبه المعياري لـل1،∞{\displaystyle L^{1,\infty }}، المساحةلw1{\displaystyle L_{\mathrm {w} }^{1}}كمثال ملموس على فشل متباينة المثلث فيل1،∞{\displaystyle L^{1,\infty }}، يعتبر

و(x)=1xχ(0،1)(x)وز(x)=11-xχ(0،1)(x)،{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),}

لمنل1،∞{\displaystyle L^{1,\infty }}المعيار شبه القياسي يساوي واحدًا، بينما المعيار شبه القياسي لمجموعهما يساوي واحدًاو+ز{\displaystyle f+g}يساوي أربعة.

المساحةلص،q{\displaystyle L^{p,q}}موجود فيلص،ر{\displaystyle L^{p,r}}حينماq<ر{\displaystyle q<r}فضاءات لورنتز هي فضاءات استيفاء حقيقية بينل1{\displaystyle L^{1}}ول∞{\displaystyle L^{\infty }}.

عدم المساواة عند هولدر

‖وز‖لص،q≤أص1،ص2،q1،q2‖و‖لص1،q1‖ز‖لص2،q2{\displaystyle \|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}}أين0<ص،ص1،ص2<∞{\displaystyle 0<p,p_{1},p_{2}<\infty }،0<q،q1،q2≤∞{\displaystyle 0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty }،1/ص=1/ص1+1/ص2{\displaystyle 1/p=1/p_{1}+1/p_{2}}، و1/q=1/q1+1/q2{\displaystyle 1/q=1/q_{1}+1/q_{2}}.

مساحة مزدوجة

لو(X،μ){\displaystyle (X,\mu )}إذا كان فضاء قياس غير ذري ذو سيجما محدود، فإن (i)(لص،q)*={0}{\displaystyle (L^{p,q})^{*}=\{0\}}ل0<ص<1{\displaystyle 0<p<1}، أو1=ص<q<∞{\displaystyle 1=p<q<\infty }( ii)(لص،q)*=لص′،q′{\displaystyle (L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}}ل1<ص<∞،0<q≤∞{\displaystyle 1<p<\infty ,0<q\leq \infty }، أو0<q≤ص=1{\displaystyle 0<q\leq p=1}( ثالثاً)(لص،∞)*≠{0}{\displaystyle (L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}}ل1≤ص≤∞{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }. هناص′=ص/(ص-1){\displaystyle p'=p/(p-1)}ل1<ص<∞{\displaystyle 1<p<\infty }،ص′=∞{\displaystyle p'=\infty }ل0<ص≤1{\displaystyle 0<p\leq 1}، و∞′=1{\displaystyle \infty '=1}.

التحلل الذري

ما يلي متكافئ لـ0<ص≤∞،1≤q≤∞{\displaystyle 0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty }. (أنا)‖و‖لص،q≤أص،qج{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C}( ii)و=∑ن∈Zون{\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}أينون{\displaystyle f_{n}}له دعم منفصل، مع قياس≤2ن{\displaystyle \leq 2^{n}}، الذي0<حن+1≤|ون|≤حن{\displaystyle 0<H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}}في كل مكان تقريبًا، و‖حن2ن/ص‖ℓq(Z)≤أص،qج{\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}( ثالثاً)|و|≤∑ن∈Zحنχهـن{\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}}في كل مكان تقريباً، حيثμ(هـن)≤أص،q′2ن{\displaystyle \mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}}و‖حن2ن/ص‖ℓq(Z)≤أص،qج{\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}( رابعاً)و=∑ن∈Zون{\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}أينون{\displaystyle f_{n}}له دعم منفصلهـن{\displaystyle E_{n}}، ذات قياس غير صفري، والتيب02ن≤|ون|≤ب12ن{\displaystyle B_{0}2^{n}\leq |f_{n}|\leq B_{1}2^{n}}في كل مكان تقريباً،ب0،ب1{\displaystyle B_{0},B_{1}}هي ثوابت موجبة، و‖2نμ(هـن)1/ص‖ℓq(Z)≤أص،qج{\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}( v)|و|≤∑ن∈Z2نχهـن{\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}\chi _{E_{n}}}في كل مكان تقريباً، حيث‖2نμ(هـن)1/ص‖ℓq(Z)≤أص،qج{\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}.

انظر أيضاً

مراجع

ملحوظات

  1. ↑ G. Lorentz, "بعض فضاءات الدوال الجديدة"، حوليات الرياضيات 51 (1950)، ص 37-55.
  2. ↑ G. Lorentz, "On the theory of spaces Λ", Pacific Journal of Mathematics 1 (1951), pp. 411-429.