لوكاس شبه أولي

الأعداد الأولية الزائفة لوكاس والأعداد الأولية الزائفة فيبوناتشي هي أعداد صحيحة مركبة تجتاز اختبارات معينة تجتازها جميع الأعداد الأولية وعدد قليل جدًا من الأعداد المركبة: في هذه الحالة، معايير تتعلق ببعض متتاليات لوكاس .

يُعرّف بايلي وواغستاف الأعداد الأولية الزائفة لوكاس على النحو التالي: ^{[ 1 ]} بالنظر إلى عددين صحيحين P و Q ، حيث P > 0 و${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$، ليكن U _k ( P , Q ) و V _k ( P , Q ) متتاليات لوكاس المقابلة .

ليكن n عددًا صحيحًا موجبًا، وليكن${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)}$ليكن رمز جاكوبي . نُعرّف

${\displaystyle \delta (n)=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right).}$

إذا كان n عددًا أوليًا لا يقسم Q ، فإن شرط التطابق التالي يتحقق:

${\displaystyle U_{\delta (n)}\equiv 0{\pmod {n}}.}$

1

إذا لم تتحقق هذه المطابقة ، فإن n ليس عددًا أوليًا . وإذا كان n عددًا مركبًا ، فإن هذه المطابقة لا تتحقق عادةً . ^{[ 1 ]} هذه هي الحقائق الأساسية التي تجعل متواليات لوكاس مفيدة في اختبار أولية الأعداد .

يمثل التطابق ( 1 ) أحد تطابقين يحددان العدد الأولي الزائف لفروبينيوس . وبالتالي، فإن كل عدد أولي زائف لفروبينيوس هو أيضًا عدد أولي زائف لبيلي-واغستاف-لوكاس، ولكن العكس ليس صحيحًا دائمًا.

من المراجع الجيدة الفصل الثامن من كتاب بريسود وواغون (مع كود ماثيماتيكا )، ^{[ 2 ]} والصفحات 142-152 من كتاب كراندال وبوميرانس، ^{[ 3 ]} والصفحات 53-74 من كتاب ريبنبوم. ^{[ 4 ]}

العدد الأولي المحتمل لوكاس لزوج معين ( P، Q ) هو أي عدد صحيح موجب n الذي تكون المعادلة ( 1 ) أعلاه صحيحة بالنسبة له (انظر، ^{[ 1 ]} الصفحة 1398).

العدد الأولي الزائف لوكاس لزوج معين ( P، Q ) هو عدد صحيح مركب موجب n تكون المعادلة ( 1 ) صحيحة بالنسبة له (انظر، ^{[ 1 ]} الصفحة 1391).

يكون اختبار لوكاس للأعداد الأولية المحتملة مفيدًا للغاية إذا تم اختيار D بحيث يكون رمز جاكوبي${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)}$يساوي -1 (انظر الصفحات 1401-1409 من المرجع ^{[ 1 ]} ، والصفحة 1024 من المرجع ^{[ 5 ]،} أو الصفحات 266-269 من المرجع ^{[ 2 ]} ). يُعدّ هذا الأمر بالغ الأهمية عند دمج اختبار لوكاس مع اختبار أولي زائف قوي ، مثل اختبار بايلي-PSW للأعداد الأولية . عادةً ما تستخدم التطبيقات طريقة لاختيار المعلمات تضمن هذا الشرط (مثل طريقة سيلفريدج الموصى بها في المرجع ^{[ 1 ]} والموصوفة أدناه).

لو${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1,}$عندئذٍ تصبح المعادلة ( 1 )

${\displaystyle U_{n+1}\equiv 0{\pmod {n}}.}$

2

إذا كانت المطابقة ( 2 ) خاطئة، فإن هذا يشكل دليلاً على أن n عدد مركب.

إذا تحققت المعادلة ( 2 )، فإن n عدد أولي محتمل وفقًا لاختبار لوكاس. في هذه الحالة، إما أن يكون n عددًا أوليًا أو عددًا شبه أولي وفقًا لاختبار لوكاس. إذا تحققت المعادلة ( 2 )، فمن المرجح أن يكون n عددًا أوليًا (وهذا ما يبرر تسميته بالعدد الأولي المحتمل )، لكن هذا لا يثبت بالضرورة أنه عدد أولي. وكما هو الحال مع أي اختبار احتمالي آخر لتحديد أولية الأعداد، إذا أجرينا اختبارات لوكاس إضافية باستخدام قيم مختلفة لـ D و P و Q ، فسنكتسب ثقة أكبر في أن n عدد أولي، ما لم يثبت أحد هذه الاختبارات أنه عدد مركب.

أمثلة: إذا كان P = 3، Q = − 1، و D = 13، فإن تسلسل U's هو (التسلسل A006190 في OEIS ) : U ₀ = 0، U ₁ = 1، U ₂ = 3، U ₃ = 10، إلخ.

أولاً، لنفترض أن n = 19. رمز جاكوبي${\displaystyle \left({\tfrac {13}{19}}\right)}$بما أن δ( n ) = -1 ، فإن δ( n ) = 20، و U ₂₀ = 6616217487 = 19.348221973، ولدينا

${\displaystyle U_{20}=6616217487\equiv 0{\pmod {19}}.}$

لذا، فإن العدد 19 هو عدد أولي محتمل وفقًا لتصنيف لوكاس لهذا الزوج ( P, Q ). في هذه الحالة، العدد 19 عدد أولي، وبالتالي فهو ليس عددًا أوليًا زائفًا وفقًا لتصنيف لوكاس.

في المثال التالي، لنفترض أن n = 119. لدينا${\displaystyle \left({\tfrac {13}{119}}\right)}$= − 1، ويمكننا حساب

${\displaystyle U_{120}\equiv 0{\pmod {119}}.}$

مع ذلك، فإن 119 = 7 × 17 ليس عددًا أوليًا، لذا فإن 119 هو عدد أولي زائف لوكاس لهذا الزوج ( P, Q ). في الواقع، 119 هو أصغر عدد أولي زائف عندما يكون P = 3 و Q = -1 .

سنرى أدناه أنه من أجل التحقق من المعادلة ( 2 ) لقيمة معينة n ، لسنا بحاجة إلى حساب جميع الحدود n + 1 الأولى في متتالية U.

لنفترض أن Q = −1، فإن أصغر عدد أولي زائف لوكاس لـ P = 1، 2، 3، ... هو

323، 35، 119، 9، 9، 143، 25، 33، 9، 15، 123، 35، 9، 9، 15، 129، 51، 9، 33، 15، 21، 9، 9، 49، 15، 39، 9، 35، 49، 15، 9، 9، 33، 51، 15، 9، 35، 85، 39، 9، 9، 21، 25، 51، 9، 143، 33، 119، 9، 9، 51، 33، 95، 9، 15، 301، 25، 9، 9، 15، 49، 155، 9، 399، 15، 33، 9، 9، 49، 15، 119، 9، ...

والآن، عامل${\displaystyle \delta (n)=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)}$في النموذج${\displaystyle d\cdot 2^{s}}$أين${\displaystyle d}$هذا غريب.

العدد الأولي الزائف القوي لوكاس لزوج معين ( P ، Q ) هو عدد فردي مركب n بحيث يكون القاسم المشترك الأكبر ( n، D ) = 1، ويحقق أحد الشروط.

${\displaystyle U_{d}\equiv 0{\pmod {n}}}$

أو

${\displaystyle V_{d\cdot 2^{r}}\equiv 0{\pmod {n}}}$

لبعض القيم 0 ≤ r < s ؛ انظر الصفحة 1396 من المرجع ^{[ 1 ]} . العدد الأولي الزائف القوي لوكاس هو أيضًا عدد أولي زائف لوكاس (لنفس الزوج ( P , Q ))، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة. لذلك، يُعد الاختبار القوي اختبارًا أكثر صرامةً لاختبار أولية الأعداد من المعادلة ( 1 ).

يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية الزائفة القوية من نوع لوكاس، وبالتالي، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية الزائفة من نوع لوكاس. تنص النظرية 7 في ^{[ 1 ]} على ما يلي: ليكن${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$ليكن عددين صحيحين موجبين أوليين فيما بينهما بحيث${\displaystyle P^{2}-4Q}$موجب ولكنه ليس مربعًا. إذن يوجد ثابت موجب${\displaystyle c}$(اعتمادا علي${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$) بحيث لا يتجاوز عدد الأعداد الأولية الزائفة القوية من نوع لوكاس${\displaystyle x}$أكبر من${\displaystyle c\cdot \log x}$، ل${\displaystyle x}$كبير بما فيه الكفاية.

يمكننا أن نضع Q = −1، ثم${\displaystyle U_{n}}$و${\displaystyle V_{n}}$إذا كانت P متتالية فيبوناتشي و P متتالية لوكاس، فيمكن تسمية الأعداد الأولية الزائفة بأعداد لوكاس الأولية الزائفة القوية في الأساس P ، على سبيل المثال، أقل أعداد لوكاس الأولية الزائفة قوةً عندما P = 1، 2، 3، ... هي 4181، 169، 119، ...

العدد الأولي الزائف القوي للغاية من نوع لوكاس ^{[ 6 ] [ 7 ]} هو عدد أولي زائف قوي من نوع لوكاس لمجموعة من المعاملات ( P ، Q ) حيث Q = 1، ويحقق أحد الشروط التالية:

${\displaystyle U_{d}\equiv 0{\text{ and }}V_{d}\equiv \pm 2{\pmod {n}}}$

أو

${\displaystyle V_{d\cdot 2^{r}}\equiv 0{\pmod {n}}}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle 0\leq r<s-1}$العدد الزائف الأولي لوكاس القوي جدًا هو أيضًا عدد زائف أولي لوكاس قوي لنفس${\displaystyle (P,Q)}$زوج. لا يمكن لأي عدد أن يكون عددًا أوليًا زائفًا قويًا من نوع لوكاس لأكثر من 1/4 من جميع القواعد ، أو عددًا أوليًا زائفًا قويًا جدًا من نوع لوكاس لأكثر من 1/8 من جميع القواعد .

قبل الشروع في اختبار احتمالية كون العدد أوليًا، يُتحقق عادةً من أن العدد n ، المراد اختبار أوليته، فردي، وليس مربعًا كاملًا، ولا يقبل القسمة على أي عدد أولي صغير أصغر من حد معين مناسب. يسهل اكتشاف المربعات الكاملة باستخدام طريقة نيوتن للجذور التربيعية.

نختار متتالية لوكاس حيث رمز جاكوبي${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1}$، بحيث يكون δ( n ) = n + 1.

بفرض قيمة n ، تتمثل إحدى تقنيات اختيار D في استخدام التجربة والخطأ لإيجاد أول قيمة لـ D في المتتالية 5، -7، 9، -11، ... بحيث${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1}$. لاحظ أن${\displaystyle \left({\tfrac {k}{n}}\right)\left({\tfrac {-k}{n}}\right)=-1}$(إذا كان للعددين D و n عامل أولي مشترك، فإن${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)=0.}$باستخدام هذه السلسلة من قيم D ، يبلغ متوسط ​​عدد قيم D التي يجب تجربتها قبل أن نصادف قيمة رمز جاكوبي الخاص بها -1 حوالي 1.79. ^{[ 1 ] : 1416} بمجرد حصولنا على D ، نُعيّن${\displaystyle P=1}$و${\displaystyle Q=(1-D)/4}$من المستحسن التحقق من أن العدد n لا يشترك في أي عوامل أولية مع العددين P أو Q. وقد اقترح جون سيلفريدج هذه الطريقة ("الطريقة أ") لاختيار D و P و Q.

(لن ينجح هذا البحث أبدًا إذا كان n مربعًا، وعلى العكس من ذلك، إذا نجح، فهذا دليل على أن n ليس مربعًا. وبالتالي، يمكن توفير بعض الوقت عن طريق تأجيل اختبار مربع n حتى بعد فشل جميع خطوات البحث القليلة الأولى.)

بمعرفة D و P و Q ، توجد علاقات تكرارية تمكننا من حساب بسرعة${\displaystyle U_{n+1}}$و${\displaystyle V_{n+1}}$في${\displaystyle O(\log _{2}n)}$الخطوات؛ انظر تسلسل لوكاس §  العلاقات الأخرى . للبدء،

${\displaystyle U_{1}=1}$

${\displaystyle V_{1}=P}$

${\displaystyle Q^{1}=Q}$

أولاً، يمكننا مضاعفة الرقم السفلي من${\displaystyle k}$ل${\displaystyle 2k}$في خطوة واحدة باستخدام علاقات التكرار

${\displaystyle U_{2k}=U_{k}\cdot V_{k},}$

${\displaystyle V_{2k}=V_{k}^{2}-2Q^{k}={\frac {V_{k}^{2}+DU_{k}^{2}}{2}},}$

${\displaystyle Q^{2k}=(Q^{k})^{2}.}$

بعد ذلك، يمكننا زيادة الرقم السفلي بمقدار 1 باستخدام العلاقات التكرارية

${\displaystyle U_{2k+1}=(P\cdot U_{2k}+V_{2k})/2,}$

${\displaystyle V_{2k+1}=(D\cdot U_{2k}+P\cdot V_{2k})/2,}$

${\displaystyle Q^{2k+1}=Q\cdot Q^{2k}.}$

في كل مرحلة، نقوم باختزال جميع المتغيرات بتردد n . عند القسمة على 2 بتردد n ، إذا كان البسط فرديًا، نضيف n (وهو ما لا يغير القيمة بتردد n ) لجعله زوجيًا قبل القسمة على 2.

نستخدم بتات التمثيل الثنائي للعدد n لتحديد الحدود التي يجب حسابها في المتتالية. على سبيل المثال، إذا كان n + 1 = 44 (أي 101100 بالثنائي)، فعند أخذ البتات واحدة تلو الأخرى من اليسار إلى اليمين، نحصل على متتالية المؤشرات التي يجب حسابها: 1² ₌ 1، 10² ₌ 2، 100² = 4 ، _101² = 5، 1010² _{= 10} ، 1011² _{= 11} ، _{10110² =} 22 _{، 101100² =} 44. بالتالي _، نحسب U₁ _{، U₂} ، U₄ ، U₅ ، U₁₀ _، U₁₁ ، U₂₂ ، و U₄₄ . نقوم أيضًا بحساب الحدود ذات الأرقام المتشابهة في متتالية V ، بالإضافة إلى Q ¹ و Q ² و Q ⁴ و Q ⁵ و Q ¹⁰ و Q ¹¹ و Q ²² و Q ⁴⁴ .

بنهاية الحساب، سنكون قد حسبنا U _n+1 و V _n+1 و Q ⁿ⁺¹ (mod n ). ثم نتحقق من التطابق ( 2 ) باستخدام القيمة المتوقعة لـ U _n+1 .

عند اختيار المعلمات D و P و Q كما هو موضح أعلاه، فإن أول 10 أعداد أولية زائفة من نوع Lucas هي: ^{[ 1 ] : 1401} 323، 377، 1159، 1829، 3827، 5459، 5777، 9071، 9179، و 10877 (التسلسل A217120 في OEIS )

يمكن تطبيق النسخ القوية من اختبار لوكاس بطريقة مماثلة. وباستخدام نفس المعايير، فإن أول عشرة أعداد أولية زائفة قوية لاختبار لوكاس هي: 5459، 5777، 10877، 16109، 18971، 22499، 24569، 25199، 40309، و58519 (التسلسل A217255 في OEIS ).

تستخدم أعداد لوكاس الزائفة الأولية القوية للغاية معلمات مختلفة: إصلاح${\displaystyle Q=1}$ثم جرب P = 3، 4، 5، 6، ...، حتى تصل إلى قيمة${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$يتم العثور على رمز جاكوبي${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1}$أول 10 أعداد زائفة قوية للغاية من نوع لوكاس هي 989، 3239، 5777، 10877، 27971، 29681، 30739، 31631، 39059، و72389 (التسلسل A217719 في OEIS ) .

التحقق من شروط التطابق الإضافية

إذا تحققنا من صحة التطابق ( 2 )، فهناك شروط تطابق إضافية يمكننا التحقق منها بتكلفة حسابية إضافية ضئيلة للغاية. ومن خلال توفير فرصة إضافية لإثبات أن n عدد مركب، فإن هذه الشروط تزيد من موثوقية الاختبار.

إذا كان n عددًا أوليًا فرديًا و${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)=-1}$إذن، لدينا ما يلي: ^{[ 1 ] : 1392 المعادلة 2}

${\displaystyle V_{n+1}\equiv 2Q{\pmod {n}}.}$

3

على الرغم من أن شرط التطابق هذا ليس جزءًا من اختبار لوكاس الأولي المحتمل، إلا أنه من السهل تقريبًا التحقق من هذا الشرط لأنه، كما ذكر أعلاه، فإن أسهل طريقة لحساب U _{n +1} هي حساب V _{n +1} أيضًا.

إذا عُدِّلَت طريقة سيلفريدج (أ) لاختيار المعاملات بحيث تستخدم، في حال اختيار D = 5، المعاملات P = Q = 5 بدلاً من P = 1 و Q = −1 (مع تجنب Q ≠ ±1؛ "الطريقة أ*")، فإن 913 = 11.83 هو العدد المركب الوحيد الأقل من ^10⁸ الذي تتحقق فيه المطابقة ( 3 ) (انظر الصفحة 1409 والجدول 6 من المرجع ^{[ 1 ]} ). تُظهر حسابات أكثر تفصيلاً أنه باستخدام هذه الطريقة لاختيار D و P و Q ، لا يوجد سوى خمسة أعداد فردية مركبة أقل من ^10¹⁵ تتحقق فيها المطابقة ( 3 ). ^{[ 8 ]}

لو${\displaystyle Q\neq \pm 1}$(و GCD( n , Q ) = 1)، ثم يمكن أيضًا تنفيذ اختبار أويلر-جاكوبي الأولي المحتمل للأساس Q بتكلفة حسابية طفيفة.

حساب${\displaystyle V_{n+1}}$يعتمد على${\displaystyle V_{(n+1)/2}}$و${\displaystyle Q^{(n+1)/2}}$. هذا هو${\displaystyle Q}$أوقات${\displaystyle Q^{(n-1)/2}}$وإذا كان n عددًا أوليًا، فبحسب معيار أويلر ،

${\displaystyle Q^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}}$.

(هنا،${\displaystyle \left({\tfrac {Q}{n}}\right)}$هو رمز ليجندر ؛ إذا كان n عددًا أوليًا، فهذا هو نفسه رمز جاكوبي).

لذلك، إذا كان n عددًا أوليًا، فلا بد أن يكون لدينا،

${\displaystyle Q^{(n+1)/2}\equiv Q\cdot Q^{(n-1)/2}\equiv Q\cdot \left({\tfrac {Q}{n}}\right){\pmod {n}}.}$

4

يسهل حساب رمز جاكوبي على الجانب الأيمن، لذا يسهل التحقق من هذا التطابق. إذا لم يتحقق هذا التطابق، فلا يمكن أن يكون n عددًا أوليًا. إذا كان القاسم المشترك الأكبر ( n, Q ) يساوي 1، فإن اختبار التطابق ( 4 ) يُكافئ إضافة اختبار سولوفاي-ستراسن للأولية "الأساس Q" إلى اختبار لوكاس .

يوجد شرط تطابق آخر على${\displaystyle U_{n}}$و${\displaystyle V_{n}}$وهذا صحيحٌ بالضرورة إذا كان n عددًا أوليًا، ويمكن التحقق منه. ^{[ 1 ] : §2,6}

k تطبيق لاختبار ميلر-رابين الأولي يعلن أن العدد المركب n هو على الأرجح عدد أولي باحتمالية لا تتجاوز (1/4) ^k .

يوجد تقدير احتمالي مماثل لاختبار لوكاس القوي للأعداد الأولية المحتملة. ^{[ 9 ]}

وبصرف النظر عن استثناءين تافهين (انظر أدناه)، فإن نسبة أزواج ( P ، Q ) (modulo n ) التي تعلن أن العدد المركب n هو على الأرجح عدد أولي هي على الأكثر (4/15).

لذلك، فإن k تطبيقًا لاختبار لوكاس القوي سيعلن أن العدد المركب n هو عدد أولي على الأرجح باحتمالية لا تتجاوز (4/15) ^k .

هناك استثناءان بسيطان. الأول هو عندما يكون n = 9. والآخر هو عندما يكون n = p ( p + 2) هو حاصل ضرب عددين أوليين توأمين . يسهل تحليل هذا العدد n إلى عوامله الأولية، لأنه في هذه الحالة، n + 1 = ( p + 1) ^² هو مربع كامل. يمكن اكتشاف المربعات الكاملة بسرعة باستخدام طريقة نيوتن للجذور التربيعية.

من خلال الجمع بين اختبار لوكاس شبه الأولي واختبار فيرما الأولي ، على سبيل المثال، للأساس 2، يمكن للمرء الحصول على اختبارات احتمالية قوية للغاية للأوليية، مثل اختبار بايلي-PSW الأولي .

عندما يكون P = 1 و Q = − 1، فإن متتالية U _n ( P , Q ) تمثل أعداد فيبوناتشي.

^{يُعرَّف العدد الأولي} الزائف في متتالية فيبوناتشي ^{غالبًا بأنه} عدد مركب n ^لا يقبل القسمة على ^{5 ،} ويتحقق فيه التطابق ( ^{1 )} مع P = ¹ و Q = − 1. وبناءً ^{على هذا التعريف ، تُشكِّل الأعداد الأولية الزائفة} في متتالية ^:

323، 377، 1891، 3827، 4181، 5777، 6601، 6721، 8149، 10877، ... (التسلسل A081264 في OEIS ) .

تستخدم المراجع الخاصة بأندرسون وجاكوبسن أدناه هذا التعريف.

إذا كان n متطابقًا مع 2 أو 3 بتردد 5، فإن بريسود ^{[ 2 ] : 272-273} وكراندال وبوميرانس ^{[ 3 ] : 143، 168} يشيران إلى أنه من النادر أن يكون عدد فيبوناتشي الأولي الزائف عددًا فيرما أوليًا زائفًا للأساس 2. ومع ذلك، عندما يكون n متطابقًا مع 1 أو 4 بتردد 5، يكون العكس صحيحًا، حيث أن أكثر من 12% من أعداد فيبوناتشي الأولية الزائفة التي تقل عن 10^ ¹¹ هي أيضًا أعداد فيرما أولية زائفة للأساس 2.

إذا كان n عددًا أوليًا وكان القاسم المشترك الأكبر ( n ، Q ) يساوي 1، فإننا نحصل أيضًا على ^{[ 1 ] : 1392}

${\displaystyle V_{n}(P,Q)\equiv P{\pmod {n}}.}$

5

وهذا يؤدي إلى تعريف بديل لـ Fibonacci pseudoprime: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

العدد الأولي الزائف فيبوناتشي هو عدد مركب n الذي يتحقق فيه التطابق ( 5 ) مع P = 1 و Q = − 1.

يؤدي هذا التعريف إلى تشكيل الأعداد الأولية الزائفة فيبوناتشي لتسلسل:

705، 2465، 2737، 3745، 4181، 5777، 6721، 10877، 13201، 15251، ... ( التسلسل A005845 في OEIS )

والتي تُعرف أيضًا باسم الأعداد الأولية الزائفة لبروكمان-لوكاس . ^{[ 4 ] : ​​129} درس هوجات وبيكنيل خصائص هذه الأعداد الأولية الزائفة في عام 1974. ^{[ 12 ]} قام سينغماستر بحساب هذه الأعداد الأولية الزائفة حتى 100000. ^{[ 13 ]} يسرد جاكوبسن جميع هذه الأعداد الأولية الزائفة البالغ عددها 111443 والتي تقل عن 10 ^{^13} . ^{[ 14 ]}

لقد ثبت أنه لا توجد أعداد أولية زائفة زوجية في متتالية فيبوناتشي كما هو محدد في المعادلة (5). ^{[ 15 ] [ 16 ]} ومع ذلك، توجد أعداد أولية زائفة زوجية في متتالية فيبوناتشي (المتتالية A141137 في OEIS ) وفقًا للتعريف الأول الوارد في ( 1 ).

العدد الأولي الزائف القوي في متتالية فيبوناتشي هو عدد مركب n تتحقق فيه المطابقة ( 5 ) عندما Q = − 1 وجميع P. ^[ 17 ^] ويترتب على ذلك ^{[ 17 ] : 460} أن العدد الصحيح المركب الفردي n هو عدد أولي زائف قوي ^في متتالية فيبوناتشي إذا وفقط إذا:

1. n هو عدد كارمايكل
2. 2( p + 1) | ( n − 1) أو 2( p + 1) | ( n − p ) لكل عدد أولي p يقسم n .

أصغر مثال على عدد أولي زائف قوي من فيبوناتشي هو 443372888629441 = 17·31·41·43·89·97·167·331.

يمكن تعريف العدد الأولي الزائف لبيل بأنه عدد مركب n تتحقق عنده المعادلة ( 1 ) أعلاه، حيث P = 2 و Q = -1 ؛ وتكون المتتالية U_{_n} حينها متتالية بيل . أما الأعداد الأولية الزائفة الأولى فهي: 35، 169، 385، 779، 899، 961، 1121، 1189، 2419، ...

يختلف هذا عن التعريف الوارد في OEIS : A099011  والذي يمكن كتابته على النحو التالي:

${\displaystyle {\text{ }}U_{n}\equiv \left({\tfrac {2}{n}}\right){\pmod {n}}}$

مع ( P , Q ) = (2, -1)، نُعرّف U_{_n} مرة أخرى على أنها متتالية بيل . تكون الأعداد الأولية الزائفة الأولى هي 169، 385، 741، 961، 1121، 2001، 3827، 4879، 5719، 6215...

يستخدم تعريف ثالث المعادلة (5) مع ( P , Q ) = (2, -1)، مما يؤدي إلى الأعداد الأولية الزائفة 169، 385، 961، 1105، 1121، 3827، 4901، 6265، 6441، 6601، 7107، 7801، 8119، ...

• أندرسون، بيتر جي. الأعداد الأولية الزائفة فيبوناتشي، عواملها، ونقاط دخولها.
• أندرسون، بيتر جي. الأعداد الأولية الزائفة فيبوناتشي تحت 2,217,967,487 وعواملها.
• جاكوبسن، دانا إحصائيات الأعداد الأولية الزائفة، الجداول، والبيانات (بيانات الأعداد الأولية الزائفة لوكاس، لوكاس القوي، لوكاس AES، لوكاس ES الأقل من 10 ¹⁴ ؛ الأعداد الأولية الزائفة فيبوناتشي وبيل الأقل من 10 ¹² )
• وايسستين، إريك دبليو. “فيبوناتشي الزائفة” . عالم الرياضيات .
• وايسستين، إريك دبليو. “لوكاس بسيودوبريم” . عالم الرياضيات .
• وايسستين ، إريك دبليو. “سترونج لوكاس الزائف” . عالم الرياضيات .
• وايسستين ، إريك دبليو. “لوكاس الزائف القوي للغاية” . عالم الرياضيات .