توين برايم

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة

العدد الأولي التوأم هو عدد أولي إما أصغر أو أكبر بمقدار 2 من عدد أولي آخر، على سبيل المثال، أي من العددين في الزوج الأولي التوأم (17، 19) أو (41، 43) . بعبارة أخرى، العدد الأولي التوأم هو عدد أولي يفصل بينه وبين عدد أولي آخر فارقٌ مقداره 2. يُستخدم مصطلح " العدد الأولي التوأم" أحيانًا للإشارة إلى زوج من الأعداد الأولية التوأم، ويُعرف أيضًا باسم " الزوج الأولي التوأم " . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

تصبح الأعداد الأولية التوأمية نادرةً بشكل متزايد عند فحص نطاقات أوسع، بما يتماشى مع الميل العام لتزايد الفجوات بين الأعداد الأولية المتجاورة كلما كبرت الأعداد نفسها. ومع ذلك، لا يُعرف ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التوأمية (ما يُعرف بفرضية الأعداد الأولية التوأمية ) أو ما إذا كان هناك زوج أكبر. وقد حقق العمل الرائد [ 4 ] الذي قام به ييتانغ تشانغ في عام 2013، بالإضافة إلى أعمال جيمس ماينارد وتيرينس تاو وآخرين، تقدمًا كبيرًا نحو إثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التوأمية، ولكن هذه المسألة لا تزال غير محلولة حتى الآن. [ 5 ]

مشكلة لم تُحل في الرياضيات
هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التوأمية؟
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

ملكيات

عادةً لا يُعتبر الزوج (2، 3) زوجًا من الأعداد الأولية التوأم. [ 6 ] بما أن 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد ، فإن هذا الزوج هو الزوج الوحيد من الأعداد الأولية التي يختلفان بمقدار واحد؛ وبالتالي فإن الأعداد الأولية التوأم تكون متقاربة قدر الإمكان بالنسبة لأي عددين أوليين آخرين.

أول عدة أزواج من الأعداد الأولية التوأمية هي

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139),... OIS : A077800  .

خمسة هو العدد الأولي الوحيد الذي ينتمي إلى زوجين، حيث أن كل زوج من الأعداد الأولية التوأم الأكبر من (3، 5) يكون على الشكل التالي:(6ن-1،6ن+1){\displaystyle (6n-1,6n+1)}لبعض الأعداد الطبيعية n ؛ أي أن العدد الذي يقع بين العددين الأوليين هو من مضاعفات 6. [ 7 ] ونتيجة لذلك، فإن مجموع أي زوج من الأعداد الأولية التوأم (بخلاف 3 و5) يقبل القسمة على 12.

نظرية برون

في عام 1915، أثبت فيجو برون أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأمية متقارب . [ 8 ] هذه النتيجة الشهيرة، المعروفة باسم نظرية برون ، كانت أول استخدام لمنخل برون ، وساهمت في بدء تطوير نظرية المناخل الحديثة . يمكن استخدام الصيغة الحديثة لحجة برون لإثبات أن عدد الأعداد الأولية التوأمية الأقل من N لا يتجاوز

جشمال(سجل⁡شمال)2{\displaystyle {\frac {CN}{(\log N)^{2}}}}

لثابت مطلق ما C > 0. [ 9 ] في الواقع، هو محدود من الأعلى بـ 8ج2شمال(سجل⁡شمال)2[1+يا⁡(سجل⁡سجل⁡شمالسجل⁡شمال)]،{\displaystyle {\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],} أينج2{\displaystyle C_{2}}هو الثابت الأولي التوأم (أقل بقليل من 2/3)، الموضح أدناه . [ 10 ]

تخمين الأعداد الأولية التوأم

لطالما كان سؤال وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التوأمية أحد أهم الأسئلة المفتوحة في نظرية الأعداد . هذا هو جوهر حدسية الأعداد الأولية التوأمية ، التي تنص على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية p بحيث يكون p + 2 عددًا أوليًا أيضًا. في عام 1849، وضع دي بولينياك حدسية أكثر عمومية مفادها أنه لكل عدد طبيعي k ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية p بحيث يكون p + 2k عددًا أوليًا أيضًا. [ 11 ] الحالة k = 1 من حدسية دي بولينياك هي حدسية الأعداد الأولية التوأمية.

يفترض شكل أقوى من تخمين الأعداد الأولية التوأم، وهو تخمين هاردي-ليتلوود ، قانون توزيع للأعداد الأولية التوأم يشبه نظرية الأعداد الأولية .

في 17  أبريل 2013، أعلن ييتانغ تشانغ عن برهانٍ يُثبت وجود عدد صحيح N أقل من 70  مليونًا، حيث يوجد عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية التي يختلف كل منها بمقدار N. [ 12 ] قُبلت ورقة تشانغ البحثية في أوائل مايو 2013. [ 13 ] واقترح تيرينس تاو لاحقًا مشروعًا تعاونيًا ضمن مشروع بوليمات لتحسين حد تشانغ. [ 14 ]  

بعد عام من إعلان تشانغ، انخفض الحد إلى 246، وهو الحد الذي بقي عليه. [ 15 ] وقد اكتشف جيمس ماينارد وتيرينس تاو هذه الحدود المحسّنة بشكل مستقل، باستخدام منهج مختلف أبسط من منهج تشانغ. كما وفّر هذا المنهج الثاني حدودًا لأصغر قيمة لـ f ( m ) اللازمة لضمان احتواء عدد لا نهائي من الفترات ذات العرض f ( m ) على m عددًا أوليًا على الأقل . علاوة على ذلك (انظر أيضًا القسم التالي)، وبافتراض حدسية إليوت-هالبرستام وصيغتها المعممة، تشير موسوعة مشروع بوليمات إلى أن الحد هو 12 و6 على التوالي. [ 15 ]

نظريات أخرى أضعف من حدسية الأعداد الأولية التوأم

في عام 1940، أثبت بول إردوش وجود ثابت c < 1 وعدد لا نهائي من الأعداد الأولية p بحيث يكون p ′ − p < c ln p، حيث يرمز p′ إلى العدد الأولي التالي لـ p . وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد عدد لا نهائي من الفترات التي تحتوي على عددين أوليين ( p , p ′) طالما سمحنا لهذه الفترات بالنمو ببطء كلما انتقلنا إلى أعداد أولية أكبر. هنا، "النمو ببطء" يعني أن طول هذه الفترات يمكن أن ينمو لوغاريتميًا . وقد تم تحسين هذه النتيجة لاحقًا؛ ففي عام 1986، أثبت هيلموت ماير إمكانية استخدام ثابت c < 0.25 . وفي عام 2004، أثبت دانيال غولدستون وجيم يلدريم إمكانية تحسين الثابت أكثر ليصبح c = 0.085786 ... في عام 2005، أثبت كل من غولدستون وبينتز ويلدريم أنه يمكن اختيار قيمة c لتكون صغيرة بشكل تعسفي، [ 16 ] [ 17 ] أي

الحد الأقصى غير محدودن→∞(صن+1-صنسجل⁡صن)=0 .{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.}

من ناحية أخرى، لا تستبعد هذه النتيجة أنه قد لا يكون هناك عدد لا نهائي من الفترات التي تحتوي على عددين أوليين إذا سمحنا فقط للفترات بالنمو في الحجم على سبيل المثال c ln ln p .

بافتراض صحة حدسية إليوت-هالبرستام أو صيغة أضعف منها، تمكنوا من إثبات وجود عدد لا نهائي من قيم n بحيث يكون اثنان على الأقل من n ، أو n + 2 ، أو n + 6 ، أو n + 8 ، أو n + 12 ، أو n + 18 ، أو n + 20 أعدادًا أولية. وبفرضية أقوى، أثبتوا أنه بالنسبة لعدد لا نهائي من قيم n ، يكون اثنان على الأقل من n ، أو n + 2 ، أو n + 4 ، أو n + 6 أعدادًا أولية.

نتيجة عمل ييتانغ تشانغ ،

الحد الأقصى غير محدودن→∞(صن+1-صن)<شمال wأناتح شمال=7×107،{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {مع} ~N=7\times 10^{7},}

يُعدّ هذا تحسينًا كبيرًا لنتيجة غولدستون-غراهام-بينتز-يلدريم. وقد ساهم تحسين مشروع بوليمات لحدود تشانغ، بالإضافة إلى عمل ماينارد، في تقليل هذه الحدود: حيث لا تتجاوز النهاية الدنيا 246. [ 18 ] [ 19 ] وهذا يعني وجود مجموعة لانهائية من الأعداد الأولية التي يكون فيها العدد الأولي التالي أكبر بما لا يزيد عن 246. إن تحسين الحد إلى 2 سيُعدّ برهانًا على حدسية الأعداد الأولية التوأم.

التخمينات

التخمين الأول لهاردي-ليتلوود

تُعدّ حدسية هاردي-ليتلوود الأولى ( نسبةً إلى جي إتش هاردي وجون ليتلوود ) تعميمًا لحدسية الأعداد الأولية التوأم. وهي تُعنى بتوزيع مجموعات الأعداد الأولية ، بما في ذلك الأعداد الأولية التوأم، قياسًا على نظرية الأعداد الأولية . ليكنπ2(x){\displaystyle \pi _{2}(x)}لنرمز إلى عدد الأعداد الأولية p ≤ x التي يكون p + 2 عددًا أوليًا أيضًا. عرّف ثابت الأعداد الأولية التوأم C 2 على النحو التالي: [ 20 ]ج2=∏صصرأنامهـ،ص≥3(1-1(ص-1)2)≈0.660161815846869573927812110014....{\displaystyle C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .} (هنا يمتدّ حاصل الضرب على جميع الأعداد الأولية p ≥ 3. ) عندئذٍ، تكون الحالة الخاصة من حدسية هاردي-ليتلوود الأولى هي أن π2(x)∼2ج2x(ln⁡x)2∼2ج2∫2xدت(ln⁡ت)2{\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}} بمعنى أن ناتج قسمة التعبيرين يؤول إلى 1 عندما يقترب x من اللانهاية. [ 9 ] (الرمز الثاني ~ ليس جزءًا من التخمين، وقد تم إثباته بالتكامل بالتجزئة .)

يمكن تبرير هذا التخمين (ولكن لا يمكن إثباته) بافتراض أن1ln⁡ت{\displaystyle {\tfrac {1}{\ln t}}}يصف هذا دالة كثافة توزيع الأعداد الأولية. هذا الافتراض، الذي تشير إليه نظرية الأعداد الأولية، يستلزم حدسية الأعداد الأولية التوأم، كما هو موضح في صيغة ⁠π2(x){\displaystyle \pi _{2}(x)}أعلاه .

إن التخمين الأول العام تمامًا لهاردي-ليتلوود بشأن المجموعات الأولية k (غير المذكورة هنا) يعني أن التخمين الثاني لهاردي-ليتلوود خاطئ.

وقد تم توسيع هذا التخمين من خلال تخمين ديكسون .

تخمين بولينياك

تنص تخمينات بولينياك من عام 1849 على أنه لكل عدد زوجي موجب k ، يوجد عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية المتتالية p و p′ بحيث يكون p ′ − p = k (أي يوجد عدد لا نهائي من الفجوات بين الأعداد الأولية بحجم k ). تُعرف الحالة k = 2 بتخمين الأعداد الأولية التوأم . لم يتم إثبات أو دحض هذه التخمينات بعد لأي قيمة محددة لـ k ، لكن نتيجة تشانغ تثبت صحتها لقيمة واحدة على الأقل (غير معروفة حاليًا) لـ k . في الواقع، إذا لم تكن قيمة k هذه موجودة، فإنه لأي عدد طبيعي زوجي موجب N، يوجد على الأكثر عدد محدود من n بحيث يكونصن+1-صن=م{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=m}لكل m < N، وبالتالي بالنسبة لـ n كبيرة بما فيه الكفاية لديناصن+1-صن>شمال،{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}>N,}وهذا من شأنه أن يتعارض مع نتيجة تشانغ. [ 11 ]

أحرف رئيسية توأمية كبيرة

ابتداءً من عام 2007، أنتج مشروعان للحوسبة الموزعة ، وهما Twin Prime Search و PrimeGrid ، العديد من أكبر الأعداد الأولية المزدوجة على الإطلاق. اعتبارًا من يناير 2025 أكبر زوج من الأعداد الأولية التوأمية المعروفة حاليًا هو 2996863034895 × 2 1290000 ± 1، [ 21 ] ويتكون من 388342  رقمًا عشريًا. وقد تم اكتشافه في سبتمبر  2016. [ 22 ]

يوجد 808,675,888,577,436  زوجًا من الأعداد الأولية التوأمية التي تقل عن 1018. [ 23 ] [ 24 ]​

تحليل تجريبي لجميع أزواج الأعداد الأولية حتى 4.35 × 10يوضح الشكل 15 أنه إذا كان عدد هذه الأزواج الأقل من x يساوي f ( x ) · x / (log x ) ²، فإن f ( x ) تساوي حوالي 1.7 لقيم x الصغيرة ، وتتناقص إلى حوالي 1.3 عندما تقترب x من اللانهاية. ويُفترض أن القيمة الحدية لـ f ( x ) تساوي ضعف ثابت الأعداد الأولية التوأمية ( OEIS : A114907  ) (لا يُخلط بينه وبين ثابت برون )، وفقًا لتخمين هاردي-ليتلوود.

خصائص أولية أخرى

كل عدد فردي ثالث يقبل القسمة على 3، وبالتالي لا يمكن أن تكون ثلاثة أعداد فردية متتالية أعدادًا أولية إلا إذا كان أحدها 3. لذلك، 5 هو العدد الأولي الوحيد الذي ينتمي إلى زوجين من الأعداد الأولية المتوأمة. العدد الأصغر في الزوج هو، بحسب التعريف، عدد أولي من نوع تشين .

إذا كان m  −  4 أو m  +  6 عددًا أوليًا أيضًا، فإن الأعداد الأولية الثلاثة تسمى ثلاثية أولية .

لقد ثبت [ 25 ] أن الزوج ( m , m + 2) هو عدد أولي توأم إذا وفقط إذا   

4((م-1)!+1)≡-م(تعديلم(م+2)).{\displaystyle 4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.}

بالنسبة لزوج من الأعداد الأولية التوأمية على الصورة (6 ن - 1، 6 ن + 1) لعدد طبيعي ن > 1، يجب أن ينتهي ن بالرقم 0 أو 2 أو 3 أو 5 أو 7 أو 8 ( OEIS : A002822  ). إذا انتهى ن بالرقم 1 أو 6، فإن 6 ن سينتهي بالرقم 6، وسيكون 6 ن - 1 من مضاعفات 5. هذا العدد ليس أوليًا إلا إذا كان ن  =  1. وبالمثل، إذا انتهى ن بالرقم 4 أو 9، فإن 6 ن سينتهي بالرقم 4، وسيكون 6 ن + 1 من مضاعفات 5. ينطبق نفس المبدأ على أي عدد أولي ص ≥ 5: إذا كان ن ≡ ±6 - 1 (mod ص )، فسيكون أحد العددين قابلاً للقسمة على ص ولن يكون زوجًا من الأعداد الأولية التوأمية إلا إذا كان 6 ن = ص ± 1. يُصادف أن ص = 5 يُنتج أنماطًا بسيطة بشكل خاص في النظام العشري.

برايم معزول

العدد الأولي المنفرد (ويُعرف أيضًا بالعدد الأولي غير التوأمي ) هو عدد أولي p بحيث لا يكون كل من p  -  2 و p  +  2 عددًا أوليًا. بعبارة أخرى، لا ينتمي p إلى زوج من الأعداد الأولية التوأمية. على سبيل المثال، 23 هو عدد أولي منفرد، لأن 21 و 25 عددان غير أوليين .

الأعداد الأولية المعزولة القليلة الأولى هي

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , ... أويس : A007510  .

ويترتب على نظرية برون أن جميع الأعداد الأولية تقريبًا معزولة بمعنى أن نسبة عدد الأعداد الأولية المعزولة الأقل من عتبة معينة n وعدد جميع الأعداد الأولية الأقل من n تقترب من 1 عندما n تقترب من اللانهاية.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ غليشر، جيه دبليو إل (مارس 1878). "حول المتتاليات الطويلة للأعداد المركبة" . رسول الرياضيات . المجلد 7. دار نشر ماكميلان . ص 176.  
  2. ↑ غليشر، جيه دبليو إل (أبريل 1878). "إحصاء أزواج الأعداد الأولية" . رسول الرياضيات . المجلد 8. دار نشر ماكميلان . ص 32.  
  3. ↑ دونهام، ويليام (يوليو 2013). "ملاحظة حول أصل حدسية الأعداد الأولية التوأم" (ملف PDF) . إشعارات المؤتمر الدولي للكيمياء الفيزيائية . المجلد 1، العدد 1. دار النشر الدولية في بوسطن. الصفحات 63-65 .   
  4. ↑ توماس، كيلي ديفاين (صيف 2014). "رحلة ييتانغ تشانغ الرياضية المذهلة" . رسالة المعهد . برينستون، نيوجيرسي: معهد الدراسات المتقدمة - عبر ias.edu.
  5. ↑ تاو، تيري، دكتوراه (مقدم العرض) (7 أكتوبر 2014). الفجوات الصغيرة والكبيرة بين الأعداد الأولية (محاضرة فيديو). قسم الرياضيات بجامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس - عبر يوتيوب.
  6. ↑ "أول 100,000 عدد أولي توأم (العضو الأول فقط من الزوج)" (نص عادي) . قوائم. صفحات الأعداد الأولية (primes.utm.edu) . مارتن، تينيسي: جامعة تينيسي في مارتن . 
  7. ↑ كالدول، كريس ك. "هل جميع الأعداد الأولية (بعد 2 و3) على الصورة 6 ن + 1 و 6 ن - 1 ؟" . صفحات الأعداد الأولية (primes.utm.edu) . مارتن، تينيسي: جامعة تينيسي في مارتن . تاريخ الاسترجاع: 27 سبتمبر 2018 .
  8. ^ برون ، ف. (1915). "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare" [ حول قاعدة غولدباخ وعدد أزواج الأعداد الأولية ] . أرشيف Mathematik og Naturvidenskab (باللغة الألمانية). 34 (8): 3– 19. ISSN 0365-4524 . جي اف ام 45.0330.16 .  
  9. 1 2 باتمان، بول ت .؛ دايموند، هارولد ج. (2004). نظرية الأعداد التحليلية . وورلد ساينتيفيك. الصفحات 313 و334-335. ISBN  981-256-080-7. Zbl 1074.11001 . 
  10. ^ هالبرستام، هيني؛ ريتشيرت، هانز إيغون (2010). طرق الغربلة . منشورات دوفر. ص. 117. 
  11. 1 2 دي بوليجناك، أ. (1849). "Recherches nouvelles sur les nombres Premiers" [ بحث جديد عن الأعداد الأولية ] . Comptes Rendus (بالفرنسية). 29 : 397 – 401. [من ص. 400] "1 er Théorème . Tout nombre Pair est égal à la différence de deux nombres primes consécutifs d'une infinité de manières..." (النظرية الأولى. كل رقم زوجي يساوي الفرق بين رقمين أوليين متتاليين بعدد لا حصر له من الطرق ...) 
  12. ↑ ماكي، ماغي (14 مايو 2013). "أول برهان على أن عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية يأتي في أزواج" . مجلة نيتشر . doi : 10.1038/nature.2013.12989 . ISSN 0028-0836 . 
  13. ↑ تشانغ، ييتانغ (2014). "الفجوات المحدودة بين الأعداد الأولية" . حوليات الرياضيات . 179 (3): 1121-1174 . doi : 10.4007/annals.2014.179.3.7 . MR 3171761 . 
  14. ↑ تاو، تيرينس (4 يونيو 2013). "اقتراح موسوعي: فجوات محدودة بين الأعداد الأولية" .
  15. 1 2 "الفجوات المحدودة بين الأعداد الأولية" . بوليمات (michaelnielsen.org) . تم الاسترجاع في 27-03-2014 .
  16. ↑ غولدستون، دانيال آلان ؛ موتوهاشي، يويتشي؛ بينتز، يانوس ؛ يلدريم، جيم يالتشين (2006). "توجد فجوات صغيرة بين الأعداد الأولية" . الأكاديمية اليابانية. وقائع . السلسلة أ. العلوم الرياضية. 82 (4): 61-65 . arXiv : math.NT/0505300 . doi : 10.3792/pjaa.82.61 . MR 2222213. S2CID 18847478 .  
  17. ↑ غولدستون، د.أ .؛ غراهام، س.و.؛ بينتز، ج .؛ يلدريم، س.ي. (2009). "فجوات صغيرة بين الأعداد الأولية أو شبه الأولية". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 361 (10): 5285-5330 . arXiv : math.NT/0506067 . doi : 10.1090/S0002-9947-09-04788-6 . MR 2515812. S2CID 12127823 .  
  18. ↑ ماينارد، جيمس (2015). "فجوات صغيرة بين الأعداد الأولية". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 181 (1): 383-413 . arXiv : 1311.4600 . doi : 10.4007/annals.2015.181.1.7 . MR 3272929. S2CID 55175056 .  
  19. ↑ بوليمات، د.هـ.ج. (2014). "متغيرات غربال سيلبرغ، وفترات محدودة تحتوي على العديد من الأعداد الأولية" . بحث في العلوم الرياضية . 1. مقالة 12، 83. arXiv : 1407.4897 . doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . MR 3373710 .  
  20. ↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A005597 (التوسيع العشري للثابت الأولي المزدوج)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS . تاريخ الاسترجاع: 1 نوفمبر 2019 .  
  21. ↑ كالدول، كريس ك. " 2996863034895 × 2 1290000 − 1 " . قاعدة بيانات الأعداد الأولية . مارتن، تينيسي: يو تي مارتن .
  22. ↑ "تم اكتشاف رقم قياسي عالمي لأعداد أولية توأمية!" . primegrid.com . 20 سبتمبر 2016.
  23. ↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A007508 (عدد أزواج الأعداد الأولية التوأمية الأقل من 10 ن )" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS . تاريخ الاسترجاع: 1 نوفمبر 2019 .  
  24. ^ أوليفيرا إي سيلفا ، توماس (7 أبريل 2008). "جداول قيم π ( x ) و π 2 ( x ) " . جامعة أفيرو . تم الاسترجاع 7 يناير 2011 .
  25. ↑ بي. أ. كليمنت (يناير 1949). "التطابقات لمجموعات الأعداد الأولية" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 56 (1): 23-25 . doi : 10.2307/2305816 . JSTOR 2305816 . 

للمزيد من القراءة