متغيرات ماندلستام

في الفيزياء النظرية ، تُعدّ متغيرات ماندلستام كميات عددية تُعبّر عن طاقة وزخم وزوايا الجسيمات في عملية التشتت بطريقة ثابتة لورنتز . وتُستخدم هذه المتغيرات في عمليات تشتت جسيمين إلى جسيمين. وقد قدّم الفيزيائي ستانلي ماندلستام متغيرات ماندلستام لأول مرة عام ١٩٥٨ .

إذا تم اختيار مقياس مينكوفسكي ليكون diag(1, -1, -1, -1) ، فإن متغيرات ماندلستام s و t و u تُعرَّف حينها كما يلي:

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}c^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}c^{2},}$

${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}c^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}c^{2},}$

${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}c^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}c^{2},}$

حيث p ₁ و p ₂ هما الزخم الرباعي للجسيمات الواردة و p ₃ و p ₄ هما الزخم الرباعي للجسيمات الخارجة.

${\displaystyle s}$يُعرف أيضًا باسم مربع طاقة مركز الكتلة ( الكتلة الثابتة ) و${\displaystyle t}$باعتبارها مربع نقل الزخم الرباعي .

تُستخدم الأحرف s و t و u أيضًا في مصطلحات القناة s (قناة زمنية)، والقناة t ، والقناة u (قناتان مكانيتان). تمثل هذه القنوات مخططات فاينمان مختلفة أو أحداث تشتت محتملة مختلفة حيث يتضمن التفاعل تبادل جسيم وسيط مربع زخمه الرباعي يساوي s و t و u على التوالي.

قناة S	قناة تي	قناة يو

على سبيل المثال، تتوافق قناة s مع اندماج الجسيمين 1 و2 لتكوين جسيم وسيط ينقسم في النهاية إلى 3 و4: تُعد قناة s الطريقة الوحيدة لاكتشاف الرنين والجسيمات غير المستقرة الجديدة، شريطة أن تكون أعمارها طويلة بما يكفي لرصدها مباشرةً. تمثل قناة t العملية التي ينبعث فيها الجسيم 1 الجسيم الوسيط ليصبح الجسيم النهائي 3، بينما يمتص الجسيم 2 الجسيم الوسيط ليصبح 4. أما قناة u فهي قناة t مع تبادل دور الجسيمين 3 و4.

عند حساب سعة فاينمان، غالباً ما نجد حاصل ضرب قياسي لعزوم الزخم الرباعي الخارجية. ويمكن استخدام متغيرات ماندلستام لتبسيط هذه النتائج.

${\displaystyle (p_{1}c)\cdot (p_{2}c)={\frac {1}{2}}\left(s-\left(m_{1}c^{2}\right)^{2}-\left(m_{2}c^{2}\right)^{2}\right),}$

${\displaystyle (p_{1}c)\cdot (p_{3}c)={\frac {1}{2}}\left(\left(m_{1}c^{2}\right)^{2}+\left(m_{3}c^{2}\right)^{2}-t\right),}$

${\displaystyle (p_{1}c)\cdot (p_{4}c)={\frac {1}{2}}\left(\left(m_{1}c^{2}\right)^{2}+\left(m_{4}c^{2}\right)^{2}-u\right),}$

أين${\displaystyle m_{i}}$كتلة الجسيم ذي الزخم المقابل${\displaystyle p_{i}}$.

لاحظ أن

${\displaystyle s+t+u=\left(m_{1}c^{2}\right)^{2}+\left(m_{2}c^{2}\right)^{2}+\left(m_{3}c^{2}\right)^{2}+\left(m_{4}c^{2}\right)^{2}}$

حيث m _i هي كتلة الجسيم i . ^{[ 1 ]}

في الحد النسبي، تكون كمية الحركة (السرعة) كبيرة، لذا باستخدام معادلة الطاقة-الزخم النسبية ، تصبح الطاقة في الأساس معيار الزخم (مثلاً${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m_{0}^{2}}$يصبح${\displaystyle E^{2}\approx \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$ويمكن إهمال كتلة السكون أيضًا.

فعلى سبيل المثال،

${\displaystyle s/c^{2}=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{1}\cdot p_{2},}$

لأن${\displaystyle p_{1}^{2}=(m_{1}c)^{2}}$و${\displaystyle p_{2}^{2}=(m_{2}c)^{2}}$. هكذا،

${\displaystyle s/c^{2}\approx }$	${\displaystyle 2p_{1}\cdot p_{2}\approx }$	${\displaystyle 2p_{3}\cdot p_{4},}$
${\displaystyle t/c^{2}\approx }$	${\displaystyle -2p_{1}\cdot p_{3}\approx }$	${\displaystyle -2p_{2}\cdot p_{4},}$
${\displaystyle u/c^{2}\approx }$	${\displaystyle -2p_{1}\cdot p_{4}\approx }$	${\displaystyle -2p_{3}\cdot p_{2}.}$

• مخططات فاينمان
• تشتت بهابها
• تشتت مولر
• تشتت كومبتون

• ماندلشتام، س. (1958). "تحديد سعة تشتت البيون-النيوكليون من علاقات التشتت والوحدة" . مجلة Physical Review . 112 (4): 1344. Bibcode : 1958PhRv..112.1344M . doi : 10.1103/PhysRev.112.1344 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 28-05-2000.
• هالزن، فرانسيس ؛ مارتن، آلان (1984). الكواركات واللبتونات: دورة تمهيدية في فيزياء الجسيمات الحديثة . جون وايلي وأولاده . ISBN 0-471-88741-2.
• بيركنز، دونالد هـ. (2000). مقدمة في فيزياء الطاقة العالية (  الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-62196-8.