هامش الخطأ

هامش الخطأ هو إحصائية تعبر عن مقدار خطأ المعاينة العشوائية في نتائج استطلاع رأي . كلما زاد هامش الخطأ، قلّت الثقة في أن نتيجة الاستطلاع تعكس نتيجة تعداد سكاني شامل . يكون هامش الخطأ موجبًا عندما تكون عينة السكان غير مكتملة ويكون لمقياس النتيجة تباين موجب ، أي عندما يتغير المقياس .

يُستخدم مصطلح هامش الخطأ غالبًا في سياقات غير المسح للإشارة إلى خطأ الملاحظة في الإبلاغ عن الكميات المقاسة.

لنفترض إجراء استطلاع رأي بسيط بنعم/لا${\textstyle P}$كمثال على${\textstyle n}$تم اختيار المشاركين من بين السكان${\textstyle N}$(مع${\textstyle n\ll N}$) الإبلاغ عن النسبة المئوية${\textstyle p}$عدد الإجابات بنعم . نود أن نعرف مدى قربها${\textstyle p}$يتعلق الأمر بالنتيجة الحقيقية لمسح يشمل جميع السكان${\textstyle N}$دون الحاجة إلى إجراء استطلاع رأي. على سبيل المثال، إذا أجرينا استطلاع رأي${\textstyle P}$على عينات لاحقة من${\textstyle n}$المستجيبون (الذين تم اختيارهم حديثًا من${\textstyle N}$نتوقع تلك النتائج اللاحقة${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$يتم توزيعها توزيعًا طبيعيًا حول${\textstyle {\overline {p}}}$، وهي النسبة المئوية الحقيقية غير المعروفة من السكان. يصف هامش الخطأ المسافة التي يُتوقع أن تختلف ضمنها نسبة مئوية محددة من هذه النتائج عن${\textstyle {\overline {p}}}$.

استنادًا إلى نظرية النهاية المركزية ، يساعد هامش الخطأ في تفسير كيفية اقتراب توزيع متوسطات العينة (أو نسبة الإجابات بنعم ، في هذه الحالة) من التوزيع الطبيعي مع ازدياد حجم العينة. إذا انطبق هذا، فإنه يشير إلى أن العينة غير متحيزة، ولكنه لا يشير إلى التوزيع الأصلي للبيانات. ^{[ 1 ]}

وفقًا لقاعدة 68-95-99.7 ، نتوقع أن تكون 95% من النتائج${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$سيقع ضمن نطاق انحرافين معياريين تقريبًا (${\textstyle \pm 2\sigma _{P}}$) على جانبي المتوسط ​​الحقيقي${\textstyle {\overline {p}}}$. تسمى هذه الفترة بفترة الثقة ، ويسمى نصف القطر (نصف الفترة) بهامش الخطأ ، وهو ما يتوافق مع مستوى ثقة 95٪ .

عموماً، عند مستوى ثقة${\textstyle 1-2\alpha }$حجم العينة${\textstyle n}$من مجتمع ذي انحراف معياري متوقع${\textstyle \sigma }$يوجد هامش خطأ

${\displaystyle {\text{MOE}}_{1-2\alpha }=z_{1-\alpha }\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$،

أين${\textstyle z_{1-\alpha }}$يشير إلى النسبة المئوية الدنيا (المعروفة عادةً باسم الدرجة المعيارية z ) و${\textstyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$يمثل الخطأ المعياري . على سبيل المثال، باستخدام مستوى ثقة 95%، سيكون لدينا${\textstyle \alpha }$= 0.025 و${\textstyle z_{1-\alpha }=z_{0.975}}$≈ 2. لذلك،${\textstyle {\text{MOE}}_{0.95}\approx 2\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$إذا لم يتم تحديد مستوى ثقة صريح، فإن مستوى الثقة الأكثر استخدامًا هو 95٪.

نتوقع متوسط ​​القيم الموزعة توزيعًا طبيعيًا${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$أن يكون لديك انحراف معياري يتغير بطريقة ما مع${\textstyle n}$الأصغر${\textstyle n}$كلما اتسع الهامش، زاد الهامش. وهذا ما يسمى بالخطأ المعياري.${\textstyle \sigma _{\overline {p}}}$.

بالنسبة للنتيجة الوحيدة من استطلاعنا، نفترض أن${\textstyle p={\overline {p}}}$وأن جميع النتائج اللاحقة${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$معًا سيكون هناك تباين${\textstyle \sigma _{P}^{2}=P(1-P)}$:

${\displaystyle {\text{الخطأ المعياري}}=\sigma _{\overline {p}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}\approx {\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$.

لاحظ أن${\textstyle p(1-p)}$يتوافق مع تباين توزيع برنولي .

لمستوى الثقة${\displaystyle 1-2\alpha }$، وهناك فترة ثقة مقابلة حول المتوسط${\displaystyle \mu \pm z_{1-\alpha }\sigma }$أي الفترة الزمنية${\displaystyle [\mu -z_{1-\alpha }\sigma ,\mu +z_{1-\alpha }\sigma ]}$ضمن أي قيم${\displaystyle P}$ينبغي أن يسقط باحتمالية${\displaystyle 1-2\alpha }$القيم الدقيقة لـ${\displaystyle z_{1-\alpha }}$يتم تحديدها بواسطة دالة الكمية للتوزيع الطبيعي (والتي تقاربها قاعدة 68-95-99.7).

لاحظ أن${\displaystyle z_{\gamma }}$غير مُعرَّف لـ${\displaystyle |\جاما |\geq 1}$، إنه،${\displaystyle z_{1.00}}$غير مُعرَّف، كما هو الحال${\displaystyle z_{1.10}}$.

${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle z_{\gamma }}$		${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle z_{\gamma }}$
0.84	0.994 457 883 210		0.9995	3.290 526 731 492
0.95	1.644 853 626 951		0.999 95	3.890 591 886 413
0.975	1.959 963 984 540		0.999995​	4.417 173 413 469
0.99	2.326 347 874 041		0.999 9995	4.891 638 475 699
0.995	2.575 829 303 549		0.999 999 95	5.326 723 886 384
0.9975	2.807 033 768 344		0.999 999 995	5.730 728 868 236
0.9985	2.967 737 925 342		0.999 999 9995	6.109 410 204 869

منذ${\displaystyle \max \sigma _{P}^{2}=\max P(1-P)=0.25}$في${\displaystyle p=0.5}$يمكننا أن نحدد بشكل تعسفي${\displaystyle p={\overline {p}}=0.5}$، احسب${\displaystyle \sigma _{P}}$،${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$، و${\displaystyle z_{\gamma }\sigma _{\overline {p}}}$للحصول على أقصى هامش للخطأ لـ${\displaystyle P}$عند مستوى ثقة معين${\displaystyle \gamma }$وحجم العينة${\displaystyle n}$حتى قبل الحصول على نتائج فعلية.  مع${\displaystyle p=0.5,n=1013}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.95}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=1.96{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=0.98/{\sqrt {n}}=\pm 3.1\%}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{99}(0.5)=z_{0.99}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.99}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=2.58{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=1.29/{\sqrt {n}}=\pm 4.1\%}$

ومن المفيد أيضًا، لأي تقرير${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{99}={\frac {z_{0.99}}{z_{0.95}}}{\text{MOE}}_{95}\approx 1.3\times {\text{MOE}}_{95}}$

إذا تضمن استطلاع رأي نتائج نسب مئوية متعددة (على سبيل المثال، استطلاع يقيس تفضيلًا واحدًا من بين خيارات متعددة)، فإن النتيجة الأقرب إلى 50% ستكون ذات هامش خطأ أكبر. عادةً، يُذكر هذا الرقم كهامش خطأ للاستطلاع بأكمله. تخيل استطلاع رأي${\displaystyle P}$تقرير${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$مثل${\displaystyle 71\%,27\%,2\%,n=1013}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{a}(1-p_{a})}{n}}}=0.89/{\sqrt {n}}=\pm 2.8\%}$(كما هو موضح في الشكل أعلاه)

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{b})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{b}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{b}(1-p_{b})}{n}}}=0.87/{\sqrt {n}}=\pm 2.7\%}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{c})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{c}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{c}(1-p_{c})}{n}}}=0.27/{\sqrt {n}}=\pm 0.8\%}$

عندما تقترب نسبة معينة من القيم القصوى 0% أو 100%، فإن هامش الخطأ يقترب من ±0%.

تخيل استطلاع رأي متعدد الخيارات${\displaystyle P}$تقرير${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$مثل${\displaystyle 46\%,42\%,12\%,n=1013}$كما هو موضح أعلاه، فإن هامش الخطأ المُبلغ عنه للاستطلاع عادةً ما يكون${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{a})}$، مثل${\displaystyle p_{a}}$أقربها إلى 50%. مع ذلك، فإن المفهوم الشائع للتعادل الإحصائي أو التعادل التام إحصائيًا لا يهتم بدقة النتائج الفردية، بل بترتيب النتائج . فأيهما في المركز الأول؟

لنفترض جدلاً أننا سنجري استطلاع رأي${\displaystyle P}$على عينات لاحقة من${\displaystyle n}$المستجيبون (الذين تم اختيارهم حديثًا من${\displaystyle N}$)، ثم أبلغ عن النتيجة${\displaystyle p_{w}=p_{a}-p_{b}}$يمكننا استخدام الخطأ المعياري للفرق لفهم كيف${\displaystyle p_{w_{1}},p_{w_{2}},p_{w_{3}},\ldots }$من المتوقع أن ينخفض ​​حوالي${\displaystyle {\overline {p_{w}}}}$لذلك، نحتاج إلى تطبيق مجموع التباينات للحصول على تباين جديد.${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$،

${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}=\sigma _{P_{a}-P_{b}}^{2}=\sigma _{P_{a}}^{2}+\sigma _{P_{b}}^{2}-2\sigma _{P_{a},P_{b}}=p_{a}(1-p_{a})+p_{b}(1-p_{b})+2p_{a}p_{b}}$

أين${\displaystyle \sigma _{P_{a},P_{b}}=-P_{a}P_{b}}$هي التباين المشترك لـ${\displaystyle P_{a}}$و${\displaystyle P_{b}}$.

وبالتالي (بعد التبسيط)،

${\displaystyle {\text{Standard error of difference}}=\sigma _{\overline {w}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P_{w}}^{2}}{n}}}={\sqrt {\frac {p_{a}+p_{b}-(p_{a}-p_{b})^{2}}{n}}}=0.029,P_{w}=P_{a}-P_{b}}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx \pm {3.1\%}}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{w})=z_{0.95}\sigma _{\overline {w}}\approx \pm {5.8\%}}$

لاحظ أن هذا يفترض أن${\displaystyle P_{c}}$وهي قريبة من الثبات، أي أن المستجيبين الذين يختارون إما أ أو ب نادراً ما يختارون ج (مما يجعل${\displaystyle P_{a}}$و${\displaystyle P_{b}}$(ارتباط سلبي شبه تام ). مع وجود ثلاثة خيارات أو أكثر متقاربة في التنافس، فإن اختيار الصيغة الصحيحة لـ${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$يصبح الأمر أكثر تعقيداً.

تفترض الصيغ المذكورة أعلاه لهامش الخطأ وجود عدد سكان لا نهائي، وبالتالي فهي لا تعتمد على حجم السكان.${\displaystyle N}$ولكن فقط بناءً على حجم العينة${\displaystyle n}$وفقًا لنظرية المعاينة ، يُعد هذا الافتراض منطقيًا عندما تكون نسبة العينة صغيرة. ويكون هامش الخطأ لطريقة معاينة معينة متماثلًا تقريبًا بغض النظر عما إذا كان حجم المجتمع محل الاهتمام هو حجم مدرسة أو مدينة أو ولاية أو دولة، طالما أن نسبة العينة صغيرة.

في الحالات التي تكون فيها نسبة العينة أكبر (عمليًا، أكبر من 5%)، قد يقوم المحللون بتعديل هامش الخطأ باستخدام تصحيح حجم العينة المحدود لمراعاة الدقة الإضافية المكتسبة من خلال أخذ عينة من نسبة أكبر بكثير من المجتمع الإحصائي. ويمكن حساب تصحيح حجم العينة المحدود باستخدام الصيغة ^{[ 2 ].}

${\displaystyle {\text{FPC}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$

...وبالتالي، إذا كان الاستطلاع${\displaystyle P}$أُجريت استطلاعات رأي على 24% من، على سبيل المثال، هيئة انتخابية قوامها 300 ألف ناخب.

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}=\pm 0.4\%}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95_{FPC}}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}{\sqrt {\frac {300,000-72,000}{300,000-1}}}=\pm 0.3\%}$

بشكل بديهي، بالنسبة للأحجام الكبيرة المناسبة${\displaystyle N}$،

${\displaystyle \lim _{n\to 0}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx 1}$

${\displaystyle \lim _{n\to N}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}=0}$

في الحالة الأولى،${\displaystyle n}$يكون الخطأ ضئيلاً لدرجة أنه لا يتطلب أي تصحيح. في الحالة الأخيرة، يصبح الاستطلاع بمثابة تعداد سكاني، ويصبح خطأ المعاينة غير ذي أهمية.

• التفاوتات الهندسية
• الأهمية الرئيسية
• عدم اليقين في القياس
• خطأ عشوائي

• سودمان، سيمور وبرادبورن، نورمان (1982). طرح الأسئلة: دليل عملي لتصميم الاستبيانات . سان فرانسيسكو: جوسي باس. ISBN 0-87589-546-8
• ووناكوت، تي إتش؛ آر جيه ووناكوت (1990). الإحصاء التمهيدي (  الطبعة الخامسة). وايلي. ISBN 0-471-61518-8.

• "نظرية الأخطاء" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "هامش الخطأ" . عالم الرياضيات .