النتيجة القياسية

في الإحصاء ، الدرجة المعيارية هي عدد الانحرافات المعيارية التي تكون بها قيمة الدرجة الخام (أي القيمة الملاحظة أو نقطة البيانات) أعلى أو أقل من القيمة المتوسطة لما يتم ملاحظته أو قياسه. الدرجات الخام التي تزيد عن المتوسط لها درجات معيارية إيجابية، في حين أن تلك التي تقل عن المتوسط لها درجات معيارية سلبية.

يتم حسابه عن طريق طرح متوسط عدد السكان من الدرجة الخام الفردية ثم قسمة الفرق على الانحراف المعياري لعدد السكان . تسمى عملية تحويل الدرجة الخام إلى درجة قياسية بالمعايرة أو التطبيع (ومع ذلك، يمكن أن يشير "التطبيع" إلى العديد من أنواع النسب؛ راجع التطبيع لمزيد من المعلومات).

تُسمى الدرجات المعيارية عادةً بالدرجات المعيارية ؛ ويمكن استخدام المصطلحين بالتبادل، كما هما في هذه المقالة. تشمل المصطلحات المكافئة الأخرى المستخدمة قيمة z ، والإحصاء المعياري z ، والدرجة الطبيعية ، والمتغير الموحد ، والسحب في فيزياء الطاقة العالية . ^[1]^[2]

يتطلب حساب الدرجة المعيارية معرفة المتوسط والانحراف المعياري للسكان بالكامل الذي تنتمي إليه نقطة البيانات؛ إذا كان لديك عينة فقط من الملاحظات من السكان، فإن الحساب التناظري باستخدام متوسط العينة والانحراف المعياري للعينة يعطي إحصائية t .

الحساب 1،1

إذا كان متوسط السكان والانحراف المعياري للسكان معروفين، يتم تحويل الدرجة الخام x إلى درجة معيارية بواسطة ^[3]

z={x-\mu \over \sigma }

أين:

μ هو متوسط السكان،

σ هو الانحراف المعياري للسكان.

القيمة المطلقة لـ z تمثل المسافة بين تلك النتيجة الخام x ومتوسط السكان بوحدات الانحراف المعياري. تكون z سلبية عندما تكون النتيجة الخام أقل من المتوسط، وتكون موجبة عندما تكون أعلى من المتوسط.

يتطلب حساب z باستخدام هذه الصيغة استخدام متوسط السكان والانحراف المعياري للسكان، وليس متوسط العينة أو انحراف العينة. ومع ذلك، فإن معرفة المتوسط الحقيقي والانحراف المعياري للسكان غالبًا ما يكون توقعًا غير واقعي، باستثناء حالات مثل الاختبار الموحد ، حيث يتم قياس السكان بالكامل.

عندما يكون متوسط السكان والانحراف المعياري للسكان غير معروفين، يمكن تقدير الدرجة المعيارية باستخدام متوسط العينة والانحراف المعياري للعينة كتقديرات لقيم السكان. ^[4]^[5]^[6]^[7]

في هذه الحالات، يتم إعطاء الدرجة z بواسطة

z={x-{\bar {x}} \over S}

أين:

{\bar {x}}

هو متوسط العينة،

S هو الانحراف المعياري للعينة.

على الرغم من أنه يجب ذكر ذلك دائمًا، إلا أنه غالبًا ما لا يتم التمييز بين استخدام إحصاءات السكان والعينة. في كلتا الحالتين، يكون للبسط والمقام في المعادلات نفس وحدات القياس بحيث يتم إلغاء الوحدات من خلال القسمة ويبقى z ككمية بلا أبعاد .

التطبيقات

اختبار Z

غالبًا ما يتم استخدام الدرجة المعيارية في اختبار z في الاختبارات المعيارية - وهو نظير اختبار t للطالب لمجموعة سكانية معروفة معالمها، وليس تقديرية. ونظرًا لأنه من غير المعتاد معرفة المجموعة السكانية بالكامل، فإن اختبار t يستخدم على نطاق أوسع.

فترات التنبؤ

يمكن استخدام النتيجة القياسية في حساب فترات التنبؤ . فترة التنبؤ [ L ، U ]، التي تتكون من نقطة نهاية سفلية تسمى L ونقطة نهاية علوية تسمى U ، هي فترة بحيث تقع الملاحظة المستقبلية X في الفترة ذات الاحتمالية العالية ، أي $\gamma$

P(L<X<U)=\gamma ,

بالنسبة للنتيجة القياسية Z لـ X فإنها تعطي: ^[8]

P\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}<{\frac {U-\mu }{\sigma }}\right)=\gamma .

من خلال تحديد الكمية z بحيث

P\left(-z<Z<z\right)=\gamma

ويترتب على ذلك:

L=\mu -z\sigma ,\U=\mu +z\sigma

التحكم في العملية

في تطبيقات التحكم في العملية، توفر قيمة Z تقييمًا لمدى تشغيل العملية خارج الهدف.

مقارنة النتائج التي تم قياسها على مقاييس مختلفة: ACT وSAT

عندما يتم قياس الدرجات على مقاييس مختلفة، يمكن تحويلها إلى درجات معيارية للمساعدة في المقارنة. يقدم Dietz et al. ^[9] المثال التالي، بمقارنة درجات الطلاب في اختبارات SAT و ACT الثانوية (القديمة). يوضح الجدول المتوسط والانحراف المعياري لإجمالي الدرجات في اختبارات SAT وACT. افترض أن الطالب A حصل على 1800 درجة في اختبار SAT، وحصل الطالب B على 24 درجة في اختبار ACT. أي الطالبين كان أداؤه أفضل نسبيًا من المتقدمين الآخرين للاختبار؟

	قعد	يمثل
يقصد	1500	21
الانحراف المعياري	300	5

الدرجة المعيارية للطالب أ هي $z={x-\mu \over \sigma }={1800-1500 \over 300}=1$

الدرجة المعيارية للطالب ب هي $z={x-\mu \over \sigma }={24-21 \over 5}=0.6$

نظرًا لأن الطالب (أ) لديه درجة Z أعلى من الطالب (ب)، فقد حقق الطالب (أ) أداءً أفضل مقارنة بالمتقدمين الآخرين للاختبار مقارنة بالطالب (ب).

نسبة الملاحظات التي تقل عن الدرجة المعيارية

بمواصلة مثال درجات ACT وSAT، إذا كان من الممكن افتراض أن درجات ACT وSAT موزعة بشكل طبيعي (وهو أمر صحيح تقريبًا)، فيمكن استخدام الدرجات المعيارية لحساب النسبة المئوية للمتقدمين للاختبار الذين حصلوا على درجات أقل من الطلاب A وB.

تحليل المجموعات والقياس متعدد الأبعاد

"بالنسبة لبعض التقنيات المتعددة المتغيرات مثل التدرج متعدد الأبعاد وتحليل المجموعات، فإن مفهوم المسافة بين الوحدات في البيانات غالبًا ما يكون ذا أهمية واهتمام كبيرين... عندما تكون المتغيرات في مجموعة بيانات متعددة المتغيرات على مقاييس مختلفة، فمن المنطقي أكثر حساب المسافات بعد شكل من أشكال التوحيد القياسي." ^[10]

تحليل المكونات الرئيسية

في تحليل المكونات الأساسية، "غالبًا ما يتم توحيد المتغيرات المقاسة على مقاييس مختلفة أو على مقياس مشترك مع نطاقات متباينة على نطاق واسع." ^[11]

الأهمية النسبية للمتغيرات في الانحدار المتعدد: معاملات الانحدار المعيارية

في بعض الأحيان يتم استخدام توحيد المتغيرات قبل تحليل الانحدار المتعدد كوسيلة مساعدة للتفسير. ^[12] (صفحة 95) اذكر ما يلي.

"منحدر الانحدار الموحد هو المنحدر في معادلة الانحدار إذا تم توحيد X وY ... يتم توحيد X وY عن طريق طرح المتوسطات الخاصة بكل مجموعة من الملاحظات وقسمتها على الانحرافات المعيارية الخاصة بكل مجموعة ... في الانحدار المتعدد، حيث يتم استخدام العديد من متغيرات X، تحدد معاملات الانحدار الموحد المساهمة النسبية لكل متغير X."

ومع ذلك، يقدم كوتنر وآخرون ^[13] (ص 278) التحذير التالي: "... يجب أن يكون المرء حذرًا بشأن تفسير أي معاملات انحدار، سواء كانت موحدة أم لا. والسبب هو أنه عندما ترتبط المتغيرات التنبؤية فيما بينها، ... تتأثر معاملات الانحدار بالمتغيرات التنبؤية الأخرى في النموذج ... تتأثر أحجام معاملات الانحدار الموحدة ليس فقط بوجود ارتباطات بين المتغيرات التنبؤية ولكن أيضًا بمسافات الملاحظات على كل من هذه المتغيرات. في بعض الأحيان قد تكون هذه المسافات تعسفية تمامًا. وبالتالي، فليس من الحكمة عادةً تفسير أحجام معاملات الانحدار الموحدة على أنها تعكس الأهمية النسبية للمتغيرات التنبؤية."

التوحيد القياسي في الإحصاء الرياضي

في الإحصاء الرياضي ، يتم توحيد المتغير العشوائي X عن طريق طرح قيمته المتوقعة وقسمة الفرق على انحرافه المعياري $\operatorname {E} [X]$ $\sigma (X)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}:$

Z={X-\operatorname {E} [X] \over \sigma (X)}

إذا كان المتغير العشوائي قيد النظر هو متوسط العينة العشوائية لـ X : $\X_{1},\dots ,X_{n}$

{\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}

ثم النسخة القياسية هي

Z={\frac {{\bar {X}}-\operatorname {E} [{\bar {X}}]}{\sigma (X)/{\sqrt {n}}}}

حيث تم حساب متوسط تباين العينة القياسية على النحو التالي:

{\begin{array}{l}\operatorname {Var} \left(\sum x_{i}\right)=\sum \operatorname {Var} (x_{i})=n\operatorname {Var} (x_{i})=n\sigma ^{2}\\\operatorname {Var} ({\overline {X}})=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum x_{i}\right)={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\end{array}}

النتيجة T

في التقييم التعليمي، تعتبر الدرجة T درجة قياسية تم تحويلها بواسطة Z وقياسها بحيث يكون متوسطها 50 وانحرافها المعياري 10. ^[14]^[15]^[16] وتُعرف أيضًا باسم hensachi باللغة اليابانية، حيث يُعرف المفهوم على نطاق واسع ويُستخدم في سياق القبول في المدارس الثانوية والجامعات.

في قياسات كثافة العظام، تكون الدرجة T هي الدرجة القياسية للقياس مقارنة بمجموعة من البالغين الأصحاء الذين يبلغون من العمر 30 عامًا، ومتوسطها المعتاد هو 0 والانحراف المعياري هو 1. ^[17]

انظر أيضا

مراجع

^ مولدرز، مارتين؛ زاندريجي، جوليا، محرران (2017). 2015 المدرسة الأوروبية لفيزياء الطاقة العالية: بانسكو، بلغاريا 02 - 15 سبتمبر 2015. تقارير سيرن الصفراء: وقائع المدرسة. جنيف: سيرن. ISBN 978-92-9083-472-4.
^ جروس، إيلام (2017-11-06). "الإحصاءات العملية لفيزياء الطاقة العالية". تقارير سيرن الصفراء: وقائع المدرسة . 4/2017: 165-186. doi :10.23730/CYRSP-2017-004.165.
^ E. Kreyszig (1979). Advanced Engineering Mathematics (الطبعة الرابعة). Wiley. ص 880، المعادلة 5. ISBN 0-471-02140-7.
^ Spiegel, Murray R.; Stephens, Larry J (2008), Schaum's Outlines Statistics (الطبعة الرابعة)، McGraw Hill، ISBN 978-0-07-148584-5
^ مندنهال، ويليام؛ سينسيتش، تيري (2007)، إحصائيات الهندسة والعلوم (الطبعة الخامسة)، بيرسون / برنتيس هول، رقم ISBN 978-0131877061
^ جلانتز، ستانتون أ.؛ سلينكر، برايان ك.؛ نيلاندز، تورستن ب. (2016)، كتاب تمهيدي عن الانحدار التطبيقي وتحليل التباين (الطبعة الثالثة)، ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0071824118
^ أهو، كين أ. (2014)، الإحصاءات الأساسية والتطبيقية لعلماء الأحياء (الطبعة الأولى)، تشابمان وهول / سي آر سي برس، رقم ISBN 978-1439873380
^ E. Kreyszig (1979). Advanced Engineering Mathematics (الطبعة الرابعة). Wiley. ص 880، المعادلة 6. ISBN 0-471-02140-7.
^ دييز، ديفيد؛ بار، كريستوفر؛ تشيتينكايا-روندل، ماين (2012)، إحصائيات OpenIntro (الطبعة الثانية)، openintro.org
^ إيفرت، بريان؛ هوثورن، تورستن جيه (2011)، مقدمة إلى التحليل المتعدد المتغيرات التطبيقي باستخدام R ، سبرينغر، ISBN 978-1441996497
^ جونسون، ريتشارد؛ ويتشرن، ويتشرن (2007)، التحليل الإحصائي المتعدد المتغيرات التطبيقي ، بيرسون / برنتيس هول
^ عفيفي، عبد المنعم؛ ماي، سوزان ك؛ كلارك، فيرجينيا أ. (2012)، التحليل العملي المتعدد المتغيرات (الطبعة الخامسة)، تشابمان وهول/سي آر سي، رقم ISBN 978-1439816806
^ كوتنر، مايكل؛ ناختسهايم، كريستوفر؛ نيتير، جون (204)، نماذج الانحدار الخطي التطبيقية (الطبعة الرابعة)، ماكجرو هيل، ISBN 978-0073014661
^ جون سالفيا؛ جيمس يسلدايك؛ سارة ويتمر (29 يناير 2009). التقييم: في التعليم الخاص والشامل. سينجاج ليرنينج. ص 43-. ISBN 978-0-547-13437-6.
^ إدوارد س. نيوكروج؛ ر. تشارلز فوسيت (1 يناير 2014). أساسيات الاختبار والتقييم: دليل عملي للمستشارين والعاملين الاجتماعيين وعلماء النفس. سينجيج ليرنينج. ص 133-. ISBN 978-1-305-16183-2.
^ راندي دبليو. كامبهاوس (16 أغسطس 2005). التقييم السريري لذكاء الطفل والمراهق. سبرينغر. ص 123-. ISBN 978-0-387-26299-4.
^ "قياس كتلة العظام: ماذا تعني الأرقام". المركز الوطني للموارد حول هشاشة العظام وأمراض العظام ذات الصلة التابع للمعهد الوطني للصحة. المعهد الوطني للصحة . تم الاسترجاع في 5 أغسطس 2017 .

قراءة إضافية

كارول، سوزان روفيزي؛ كارول، ديفيد جيه. (2002). الإحصاءات المبسطة لقادة المدارس (طبعة مصورة). رومان وليتل فيلد. رقم ISBN 978-0-8108-4322-6تم الاسترجاع بتاريخ 7 يونيو 2009 .
لارسن، ريتشارد جيه؛ ماركس، موريس إل. (2000). مقدمة في الإحصاء الرياضي وتطبيقاته (الطبعة الثالثة). ص 282. رقم ISBN 0-13-922303-7.