عدم اليقين في القياس

في علم القياس ، يُعد عدم اليقين في القياس تعبيراً عن التشتت الإحصائي للقيم المنسوبة إلى كمية تم قياسها على مقياس فاصل أو مقياس نسبي .

تخضع جميع القياسات لعدم اليقين، ولا تُعتبر نتيجة القياس كاملة إلا إذا كانت مصحوبة ببيان لعدم اليقين المرتبط بها، مثل الانحراف المعياري . وبموجب اتفاق دولي، فإن عدم اليقين هذا له أساس احتمالي ويعكس عدم اكتمال المعرفة بقيمة الكمية. وهو مُعامل غير سالب. ^{[ 1 ]}

غالبًا ما يُعرَّف عدم اليقين في القياس بأنه الانحراف المعياري لتوزيع احتمالية حالة المعرفة على القيم الممكنة التي يمكن نسبتها إلى كمية مُقاسة. أما عدم اليقين النسبي فهو عدم اليقين في القياس بالنسبة إلى قيمة اختيار مُحدد للكمية المُقاسة، عندما تكون هذه القيمة غير صفرية. يُطلق على هذا الاختيار المُحدد عادةً اسم القيمة المُقاسة، والتي قد تكون مثالية بمعنى مُحدد (مثل المتوسط ، أو الوسيط ، أو المنوال ). وبالتالي، فإن عدم اليقين النسبي في القياس هو عدم اليقين في القياس مقسومًا على القيمة المطلقة للقيمة المُقاسة، عندما لا تكون القيمة المُقاسة صفرًا.

الغرض من القياس هو توفير معلومات حول كمية معينة ذات أهمية  - وهي الكمية المقاسة . تشمل الكميات المقاسة على مقاييس النسبة أو الفاصل الزمني حجم جسم أسطواني، وحجم وعاء، وفرق الجهد بين قطبي بطارية، أو تركيز كتلة الرصاص في قارورة ماء.

لا يوجد قياس دقيق تمامًا. فعند قياس أي كمية، تعتمد النتيجة على نظام القياس، وإجراءات القياس، ومهارة القائم بالقياس، والبيئة المحيطة، وعوامل أخرى. ^{[ 2 ]} حتى لو تم قياس الكمية عدة مرات، بنفس الطريقة وفي نفس الظروف، فسيتم الحصول على قيمة قياس مختلفة في كل مرة، بافتراض أن نظام القياس يتمتع بدقة كافية للتمييز بين القيم.

يرتبط تشتت القيم المقاسة بمدى دقة القياس. فإذا تم القياس على مقياس نسبي أو فئوي، فإن متوسطها يُعطي تقديرًا للقيمة الحقيقية للكمية، وهو عادةً أكثر موثوقية من القيمة المقاسة الفردية. يوفر التشتت وعدد القيم المقاسة معلومات تتعلق بالمتوسط ​​كتقدير للقيمة الحقيقية. مع ذلك، لا تكون هذه المعلومات كافية في الغالب.

قد يُقدّم نظام القياس قيمًا مُقاسة لا تتشتت حول القيمة الحقيقية، بل حول قيمة مُنحرفة عنها. لنأخذ ميزان حمام منزلي كمثال. لنفترض أنه غير مُعدّ لعرض الصفر عندما لا يكون هناك شخص عليه، بل لعرض قيمة مُنحرفة عن الصفر. عندئذٍ، مهما تكرر قياس وزن الشخص، سيظل تأثير هذا الانحراف موجودًا في متوسط ​​القيم.

يُعدّ دليل التعبير عن عدم اليقين في القياس ^{[ 3 ]} (المعروف اختصارًا بـ GUM) الوثيقة المرجعية في هذا الموضوع . وقد اعتمدته جميع المعاهد الوطنية الرئيسية للقياس، بالإضافة إلى معايير الاعتماد المختبري الدولية، مثل معيار ISO/IEC 17025 "المتطلبات العامة لكفاءة مختبرات الاختبار والمعايرة" ، وهو معيارٌ مطلوبٌ للاعتماد المختبري الدولي . كما يُستخدم هذا الدليل في معظم المعايير الوثائقية الوطنية والدولية الحديثة المتعلقة بأساليب وتقنيات القياس. انظر اللجنة المشتركة للأدلة في علم القياس .

يُعدّ عدم اليقين في القياس ذا أهمية اقتصادية بالغة في أنشطة المعايرة والقياس. ففي تقارير المعايرة، يُعتبر مقدار عدم اليقين مؤشرًا على جودة المختبر، وعادةً ما تكون قيم عدم اليقين الأصغر ذات قيمة أعلى وتكلفة أكبر. وقد أصدرت الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين (ASME) مجموعة من المعايير التي تتناول جوانب مختلفة من عدم اليقين في القياس. فعلى سبيل المثال، تُستخدم معايير ASME لتحديد دور عدم اليقين في القياس عند قبول المنتجات أو رفضها بناءً على نتيجة القياس ومواصفات المنتج، ^{[ 4 ]} ولتوفير منهج مبسط (مقارنةً بدليل عدم اليقين في القياس العام) لتقييم عدم اليقين في قياس الأبعاد، ^{[ 5 ]} ولحل الخلافات حول مقدار بيان عدم اليقين في القياس، ^{[ 6 ]} ولتقديم إرشادات حول المخاطر المصاحبة لأي قرار بقبول المنتج أو رفضه. ^{[ 7 ]}

يتناول النقاش أعلاه القياس المباشر للكمية، وهو أمر نادر الحدوث. على سبيل المثال، قد يحوّل ميزان الحمام امتداد زنبركي إلى تقدير للكمية المقاسة، أي كتلة الشخص الموجود على الميزان. وتُحدد العلاقة بين الامتداد والكتلة من خلال معايرة الميزان. يقوم نموذج القياس بتحويل قيمة الكمية إلى القيمة المقابلة لها من الكمية المقاسة.

تتعدد أنواع القياسات في الممارسة العملية، وبالتالي تتعدد نماذجها. قد يكون نموذج قياس بسيط (كالموازين، حيث تتناسب الكتلة طرديًا مع امتداد الزنبرك) كافيًا للاستخدام المنزلي اليومي. في المقابل، يُمكن لنموذج وزن أكثر تعقيدًا، يأخذ في الحسبان تأثيرات إضافية كقوة الطفو ، أن يُحقق نتائج أفضل للأغراض الصناعية أو العلمية. عمومًا، غالبًا ما تُساهم عدة كميات مختلفة، كدرجة الحرارة والرطوبة والإزاحة ، في تحديد الكمية المراد قياسها، والتي يجب قياسها.

يجب تضمين معاملات تصحيح في نموذج القياس عندما لا تتطابق شروط القياس تمامًا مع الشروط المحددة. تُقابل هذه المعاملات الأخطاء المنهجية . عند وجود تقدير لمعامل التصحيح، يجب تصحيح الكمية ذات الصلة وفقًا لهذا التقدير. سيكون هناك قدر من عدم اليقين مرتبط بالتقدير، حتى لو كان التقدير صفرًا، كما هو الحال غالبًا. تظهر حالات الأخطاء المنهجية في قياس الارتفاع، عندما لا يكون محاذاة جهاز القياس عموديًا تمامًا، وتختلف درجة الحرارة المحيطة عن الدرجة المحددة. لا يتم تحديد محاذاة الجهاز أو درجة الحرارة المحيطة بدقة، ولكن تتوفر معلومات تتعلق بهذه التأثيرات، على سبيل المثال، يكون عدم المحاذاة بحد أقصى 0.001 درجة، وتختلف درجة الحرارة المحيطة وقت القياس عن الدرجة المحددة بحد أقصى 2  درجة مئوية.

إلى جانب البيانات الأولية التي تمثل القيم المقاسة، يوجد نوع آخر من البيانات يُستخدم بكثرة في نماذج القياس. تتعلق بعض هذه البيانات بكميات تمثل ثوابت فيزيائية ، كل منها غير معروف بدقة تامة. ومن الأمثلة على ذلك ثوابت المواد مثل معامل المرونة والحرارة النوعية . غالبًا ما توجد بيانات أخرى ذات صلة في المراجع وشهادات المعايرة وغيرها، تُعتبر بمثابة تقديرات لكميات إضافية.

تُعرف العناصر التي يتطلبها نموذج القياس لتحديد الكمية المقاسة باسم كميات الإدخال في نموذج القياس. ويُشار إلى النموذج غالبًا باسم العلاقة الوظيفية. أما كمية الإخراج في نموذج القياس فهي الكمية المقاسة.

بصورة رسمية، كمية الإنتاج، ويرمز لها بـ${\displaystyle Y}$غالباً ما ترتبط المعلومات المطلوبة بكميات المدخلات، والتي يُرمز إليها بـ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$، والتي تتوفر عنها معلومات، من خلال نموذج قياس على شكل

${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N}),}$

أين${\displaystyle f}$تُعرف هذه الدالة بدالة القياس. والصيغة العامة لنموذج القياس هي:

${\displaystyle h(Y,}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N})=0.}$

يفترض وجود إجراء لحساب${\displaystyle Y}$منح${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$وذلك${\displaystyle Y}$يتم تحديدها بشكل فريد من خلال هذه المعادلة.

القيم الحقيقية لكميات الإدخال${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$غير معروفة. في نهج GUM،${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$تتميز هذه المتغيرات بتوزيعات احتمالية وتُعامل رياضياً كمتغيرات عشوائية . تصف هذه التوزيعات الاحتمالات النسبية لقيمها الحقيقية التي تقع في فترات مختلفة، ويتم تحديدها بناءً على المعرفة المتاحة بشأنها.${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$أحيانًا، بعض أو كل${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$وهي مترابطة، والتوزيعات ذات الصلة، والمعروفة باسم التوزيعات المشتركة ، تنطبق على هذه الكميات مجتمعة.

ضع في اعتبارك التقديرات${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$، على التوالي، من كميات المدخلات${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$، المستمدة من الشهادات والتقارير، ومواصفات الشركات المصنعة، وتحليل بيانات القياس، وما إلى ذلك. توزيعات الاحتمالات التي تميز${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$يتم اختيارها بحيث تكون التقديرات${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$على التوالي، هي التوقعات ^{[ 8 ]} لـ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$علاوة على ذلك، بالنسبة لـ${\displaystyle i}$بالنسبة لكمية الإدخال رقم 1، ضع في اعتبارك ما يسمى بعدم اليقين القياسي ، والذي يُعطى بالرمز${\displaystyle u(x_{i})}$، ويُعرَّف بأنه الانحراف المعياري ^{[ 8 ]} لكمية المدخلات${\displaystyle X_{i}}$يُقال إن هذا الانحراف المعياري مرتبط بالتقدير (المقابل).${\displaystyle x_{i}}$.

ينطبق استخدام المعرفة المتاحة لتحديد توزيع احتمالي لوصف كل كمية ذات أهمية على${\displaystyle X_{i}}$وكذلك لـ${\displaystyle Y}$في الحالة الأخيرة، يكون التوزيع الاحتمالي المميز لـ${\displaystyle Y}$يتم تحديد ذلك من خلال نموذج القياس بالإضافة إلى التوزيعات الاحتمالية لـ${\displaystyle X_{i}}$تحديد التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle Y}$تُعرف هذه المعلومات باسم انتشار التوزيعات . ^{[ 8 ]}

يوضح الشكل أدناه نموذج قياس${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$في الحالة التي${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$تتميز كل منها بتوزيع احتمالي مستطيل (مختلف) أو منتظم . ${\displaystyle Y}$في هذه الحالة، يكون التوزيع الاحتمالي شبه منحرف متماثل.

بمجرد تحديد كميات الإدخال${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$وقد تم تحديد خصائصها بتوزيعات احتمالية مناسبة، وتم تطوير نموذج القياس، وتوزيع الاحتمالية للكمية المقاسة${\displaystyle Y}$يتم تحديد ذلك بشكل كامل من خلال هذه المعلومات. وعلى وجه الخصوص، فإن التوقع هو${\displaystyle Y}$يُستخدم كتقدير لـ${\displaystyle Y}$، والانحراف المعياري لـ${\displaystyle Y}$باعتبارها عدم اليقين المعياري المرتبط بهذا التقدير.

غالباً ما تحتوي الفترة على${\displaystyle Y}$يلزم وجود احتمال محدد. ويمكن استنتاج هذه الفترة، وهي فترة التغطية، من توزيع الاحتمالات لـ${\displaystyle Y}$يُعرف الاحتمال المحدد باحتمال التغطية . لكل احتمال تغطية معين، توجد أكثر من فترة تغطية واحدة. فترة التغطية المتناظرة احتماليًا هي فترة تتساوى فيها احتمالات القيم على يسارها ويمينها (مجموعها يساوي واحدًا ناقص احتمال التغطية). أقصر فترة تغطية هي الفترة التي يكون طولها أقل ما يمكن مقارنةً بجميع فترات التغطية التي لها نفس احتمال التغطية.

المعرفة المسبقة بالقيمة الحقيقية لكمية الناتج${\displaystyle Y}$يمكن أيضًا أخذ ذلك في الاعتبار. بالنسبة لميزان الحمام المنزلي، فإن حقيقة أن كتلة الشخص موجبة، وأن ما يتم قياسه هو كتلة شخص وليس كتلة سيارة، تشكلان معرفة مسبقة حول القيم المحتملة للكمية المقاسة في هذا المثال. يمكن استخدام هذه المعلومات الإضافية لتوفير توزيع احتمالي لـ${\displaystyle Y}$وهذا يمكن أن يعطي انحرافًا معياريًا أصغر لـ${\displaystyle Y}$وبالتالي، انخفاض عدم اليقين المعياري المرتبط بتقدير${\displaystyle Y}$[ ^{9 ] [ 10 ] [ 11 ]​}

معرفة كمية المدخلات${\displaystyle X_{i}}$يتم استنتاجها من القيم المقاسة المتكررة ("تقييم عدم اليقين من النوع أ")، أو الحكم العلمي أو معلومات أخرى تتعلق بالقيم المحتملة للكمية ("تقييم عدم اليقين من النوع ب").

في تقييمات النوع أ لعدم اليقين في القياس، يُفترض غالبًا أن التوزيع الذي يصف كمية الإدخال على أفضل وجه هو${\displaystyle X}$بالنظر إلى القيم المقاسة المتكررة لها (التي تم الحصول عليها بشكل مستقل) فإنها تتبع التوزيع الغاوسي . ${\displaystyle X}$عندئذٍ، يكون التوقع مساويًا لمتوسط ​​القيمة المقاسة، والانحراف المعياري مساويًا للانحراف المعياري للمتوسط. عندما يُقيّم عدم اليقين من عدد قليل من القيم المقاسة (التي تُعتبر حالات لكمية تتميز بتوزيع غاوسي)، يمكن اعتبار التوزيع المقابل توزيعًا من نوع t . [ ^{12 ] تُطبق} اعتبارات أخرى عندما لا تُحصل القيم المقاسة بشكل مستقل.

لتقييم عدم اليقين من النوع "ب"، غالباً ما تكون المعلومات المتاحة الوحيدة هي أن${\displaystyle X}$يقع ضمن نطاق زمني محدد [${\displaystyle a,b}$في مثل هذه الحالة، يمكن وصف معرفة الكمية بتوزيع احتمالي مستطيل ^{[ 12 ]} ذي حدود .${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$إذا توفرت معلومات مختلفة، فسيتم استخدام توزيع احتمالي يتوافق مع تلك المعلومات. ^{[ 13 ]}

معاملات الحساسية${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{N}}$صف كيف يتم التقدير${\displaystyle y}$ل${\displaystyle Y}$ستتأثر بالتغيرات الطفيفة في التقديرات${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$من كميات المدخلات${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$بالنسبة لنموذج القياس${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$معامل الحساسية${\displaystyle c_{i}}$يساوي المشتق الجزئي من الرتبة الأولى لـ${\displaystyle f}$بالنسبة إلى${\displaystyle X_{i}}$تم تقييمها في${\displaystyle X_{1}=x_{1}}$،${\displaystyle X_{2}=x_{2}}$إلخ. بالنسبة لنموذج القياس الخطي

${\displaystyle Y=c_{1}X_{1}+\cdots +c_{N}X_{N},}$

مع${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$مستقل، تغيير في${\displaystyle x_{i}}$يساوي${\displaystyle u(x_{i})}$سيمنح ذلك فرصة${\displaystyle c_{i}u(x_{i})}$في${\displaystyle y.}$ هذا البيان سيكون تقريبيًا بشكل عام بالنسبة لنماذج القياس${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$. المقادير النسبية للمصطلحات${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$تُعد هذه المعلومات مفيدة في تقييم المساهمات النسبية من كميات الإدخال في عدم اليقين القياسي${\displaystyle u(y)}$مرتبط بـ${\displaystyle y}$عدم اليقين المعياري${\displaystyle u(y)}$مرتبط بالتقدير${\displaystyle y}$من كمية الإنتاج${\displaystyle Y}$لا يُعطى بمجموع${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$، ولكن هذه الحدود مجتمعة في تربيع، ^{[ 1 ]} أي بتعبير يكون تقريبيًا بشكل عام لنماذج القياس${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$:

${\displaystyle u^{2}(y)=c_{1}^{2}u^{2}(x_{1})+\cdots +c_{N}^{2}u^{2}(x_{N}),}$

وهو ما يُعرف بقانون انتشار عدم اليقين.

عندما تكون كميات الإدخال${\displaystyle X_{i}}$في حالة وجود تبعيات، يتم توسيع الصيغة أعلاه بحدود تحتوي على تباينات مشتركة ، ^{[ 1 ]} والتي قد تزيد أو تنقص${\displaystyle u(y)}$.

تتألف المراحل الرئيسية لتقييم عدم اليقين من الصياغة والحساب، ويتضمن الأخير النشر والتلخيص. أما مرحلة الصياغة فتشمل

1. تحديد كمية الإنتاج${\displaystyle Y}$(الكمية المقاسة)،
2. تحديد كميات المدخلات التي يتم على أساسها${\displaystyle Y}$يعتمد على،
3. تطوير نموذج قياس يتعلق${\displaystyle Y}$بالنسبة لكميات الإدخال، و
4. على أساس المعرفة المتاحة، يتم تعيين توزيعات احتمالية - غاوسية، مستطيلة، إلخ - لكميات الإدخال (أو توزيع احتمالي مشترك لكميات الإدخال غير المستقلة).

تتألف مرحلة الحساب من نشر توزيعات الاحتمالات لكميات الإدخال من خلال نموذج القياس للحصول على توزيع الاحتمالات لكمية الإخراج${\displaystyle Y}$وتلخيص ذلك باستخدام هذا التوزيع للحصول على

1. توقعات${\displaystyle Y}$، على سبيل التقدير${\displaystyle y}$ل${\displaystyle Y}$،
2. الانحراف المعياري لـ${\displaystyle Y}$، مأخوذة كعدم اليقين القياسي${\displaystyle u(y)}$مرتبط بـ${\displaystyle y}$، و
3. فترة تغطية تحتوي على${\displaystyle Y}$باحتمالية تغطية محددة.

تُعرف مرحلة انتشار عدم اليقين في التقييم باسم انتشار التوزيعات، وتتوفر لها مناهج مختلفة، بما في ذلك

1. إطار عدم اليقين GUM، الذي يشكل تطبيق قانون انتشار عدم اليقين، وتوصيف كمية المخرجات${\displaystyle Y}$بواسطة توزيع غاوسي أو${\displaystyle t}$-توزيع،
2. الأساليب التحليلية، التي يُستخدم فيها التحليل الرياضي لاستنتاج شكل جبري لتوزيع الاحتمالات لـ${\displaystyle Y}$، و
3. طريقة مونت كارلو ، ^{[ 8 ]} حيث يتم تقريب دالة التوزيع لـ${\displaystyle Y}$يتم تحديدها عدديًا عن طريق إجراء عمليات سحب عشوائية من التوزيعات الاحتمالية لكميات الإدخال، وتقييم النموذج عند القيم الناتجة.

بالنسبة لأي مشكلة تقييم عدم اليقين معينة، يتم استخدام النهج 1 أو 2 أو 3 (أو نهج آخر)، حيث يكون 1 تقريبيًا بشكل عام، و2 دقيقًا، و3 يوفر حلاً بدقة عددية يمكن التحكم فيها.

تعتمد النظرة الأكثر شيوعًا لعدم اليقين في القياس على المتغيرات العشوائية كنماذج رياضية للكميات غير المؤكدة، وتُعتبر التوزيعات الاحتمالية البسيطة كافية لتمثيل حالات عدم اليقين في القياس. مع ذلك، في بعض الحالات، قد يكون استخدام فاصل زمني رياضي نموذجًا أفضل لعدم اليقين من التوزيع الاحتمالي. قد يشمل ذلك حالات القياسات الدورية، أو قيم البيانات المصنفة ، أو الرقابة ، أو حدود الكشف ، أو نطاقات القياسات الموجبة والسالبة، حيث لا يبدو أي توزيع احتمالي محدد مبررًا، أو حيث لا يمكن افتراض أن الأخطاء بين القياسات الفردية مستقلة تمامًا.

يمكن صياغة تمثيل أكثر دقة لعدم اليقين في القياس في مثل هذه الحالات باستخدام الفترات. ^{[ 15 ] [ 16 ]} تختلف الفترة [ a , b ] عن التوزيع الاحتمالي المستطيل أو المنتظم على نفس النطاق، حيث يشير الأخير إلى أن القيمة الحقيقية تقع داخل النصف الأيمن من النطاق [( a + b )/2, b ] باحتمال يساوي النصف، وداخل أي فترة فرعية من [ a , b ] باحتمال يساوي عرض الفترة الفرعية مقسومًا على b − a . لا تدّعي الفترة أي شيء من هذا القبيل، باستثناء أن القياس يقع في مكان ما داخلها. يمكن تلخيص توزيعات فترات القياس هذه على شكل مربعات احتمالية وهياكل دمبستر-شافر على الأعداد الحقيقية، والتي تتضمن عدم اليقين العشوائي والمعرفي .       

• Bich, W., Cox, MG, and Harris, PM Evolution of the "Guide to the Expression of Unicune in Measurement". Metrologia, 43(4):S161–S166, 2006.
• كوكس، إم جي، وهاريس، بي إم . دليل أفضل الممارسات رقم 6 لمنهجية SSfM، تقييم عدم اليقين. التقرير الفني DEM-ES-011 ، المختبر الفيزيائي الوطني، 2006.
• إليسون إس إل آر، ويليامز أ. (محرران). دليل يوراكيم/سيتاك: قياس عدم اليقين في القياس التحليلي، الطبعة الثالثة، (2012) ISBN 978-0-948926-30-3. متوفر على الموقع www.eurachem.org .
• جرابي، م. حساب الخطأ الغاوسي المعمم ، سبرينغر
• جرابي، م. الحقيقة وإمكانية التتبع في الفيزياء وعلم القياس،، IOP 2018
• EA. التعبير عن عدم اليقين في القياس في المعايرة. التقرير الفني EA-4/02، التعاون الأوروبي للاعتماد، 1999.
• فيرسون، إس.؛ كرينوفيتش، في.؛ هاجاجوس، ج.؛ أوبركامبف، دبليو.؛ جينزبورغ، إل. (2007). "تقدير عدم اليقين التجريبي والإحصاءات للبيانات ذات عدم اليقين الفاصل" (PDF) .
• ليرا، آي. تقييم عدم اليقين في القياس. الأساسيات والإرشادات العملية. معهد الفيزياء، بريستول، المملكة المتحدة، 2002.
• ماجسن ن.، تايلور ب. (محرران)، أمثلة عملية حول التتبع، وعدم اليقين في القياس، والتحقق في الكيمياء، المجلد 1، 2010؛ ISBN 978-92-79-12021-3.
• Possolo A and Iyer HK 2017 Concepts and tools for the evaluation of measurement unlimited Rev. Sci. Instrum.,88 011301 (2017).
• UKAS M3003 التعبير عن عدم اليقين والثقة في القياس (الإصدار 3، نوفمبر 2012) UKAS
• روود، م. (2013)، انتشار الشكوك في القياس التجريبي (PDF) (  طبعة مختصرة).
• دا سيلفا، آر بي . بولسكا، إي. جودليوسكا-زيلكيويتز، ب.؛ هيدريش، م. ماجن، ن.؛ ماجنوسون، ب. مارينسيك، س. باباداكيس، أنا. باترياركا، م.؛ فاسيليفا، إي. تايلور، ب. (2012). القياس التحليلي: عدم اليقين في القياس والإحصائيات . رقم ISBN 978-92-79-23070-7.

• NPLUnc
• تقدير درجة الحرارة وعدم اليقين فيها في الأنظمة الصغيرة، 2011.
• مقدمة لتقييم عدم اليقين في القياس
• JCGM 200:2008. المصطلحات الدولية في علم القياس - المفاهيم الأساسية والعامة والمصطلحات المرتبطة بها ، الطبعة الثالثة. اللجنة المشتركة للأدلة في علم القياس.
• ISO 3534-1:2006. الإحصاء - المصطلحات والرموز - الجزء 1: المصطلحات الإحصائية العامة والمصطلحات المستخدمة في الاحتمالات. ISO
• JCGM 106:2012. تقييم بيانات القياس - دور عدم اليقين في القياس في تقييم المطابقة. اللجنة المشتركة للأدلة في علم القياس.
• المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST). عدم اليقين في نتائج القياس.

الصفحة الرئيسية لمايكل جرابي: http://www.uncertainty.de