معدل الإحلال الهامشي

في علم الاقتصاد، يُعرف معدل الإحلال الحدي ( MRS ) بأنه المعدل الذي يستطيع المستهلك عنده التخلي عن كمية معينة من سلعة ما مقابل سلعة أخرى مع الحفاظ على نفس مستوى المنفعة . عند مستويات الاستهلاك التوازنية (بافتراض عدم وجود تأثيرات خارجية)، يتساوى معدل الإحلال الحدي. يُعد معدل الإحلال الحدي أحد العوامل الثلاثة المكونة للإنتاجية الحدية، والعاملان الآخران هما معدل التحويل الحدي والإنتاجية الحدية للعامل. ^{[ 1 ]}

بافتراض أن السلع والخدمات قابلة للقسمة بشكل مستمر في الاقتصاد الكلاسيكي الجديد ، فإن معدلات الإحلال الحدية ستكون متساوية بغض النظر عن اتجاه التبادل، وستتوافق مع ميل منحنى السواء (أو بالأحرى، مع الميل مضروبًا في -1) الذي يمر عبر سلة الاستهلاك المعنية عند تلك النقطة: رياضيًا، هو المشتق الضمني . معدل الإحلال الحدي للسلعة X مقابل السلعة Y هو مقدار Y الذي يمكن للمستهلك استبداله بوحدة واحدة من X محليًا. يختلف معدل الإحلال الحدي عند كل نقطة على طول منحنى السواء، لذا من المهم مراعاة موضع الاستبدال في التعريف. علاوة على ذلك، وبناءً على هذا الافتراض، أو بافتراض أن المنفعة مُقاسة ، فإن معدل الإحلال الحدي للسلعة أو الخدمة X بوحدات السلعة أو الخدمة Y المُتنازل عنها مقابل X (MRS _xy ) يُعادل أيضًا المنفعة الحدية لـ X مقسومة على المنفعة الحدية لـ Y. رسميًا،

${\displaystyle MRS_{xy}=-m_{\mathrm {indif} }=-(dy/dx)\,}$

${\displaystyle MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}\,}$

عند مقارنة مجموعات السلع X و Y التي تعطي منفعة ثابتة (نقاط على طول منحنى السواء )، يتم قياس المنفعة الحدية لـ X من حيث وحدات Y التي يتم التخلي عنها.

على سبيل المثال، إذا كانت نسبة الإحلال الحدي _xy  =  2، فسوف يتخلى المستهلك عن وحدتين من Y للحصول على وحدة إضافية واحدة من X.

كلما تحركنا لأسفل منحنى السواء (المحدب عادةً)، يتناقص معدل الإحلال الحدي (كما يُقاس بالقيمة المطلقة لميل منحنى السواء، الذي يتناقص). يُعرف هذا بقانون تناقص معدل الإحلال الحدي.

بما أن منحنى السواء محدب بالنسبة لنقطة الأصل، وقد عرّفنا معدل الإحلال الحدي بأنه الميل السالب لمنحنى السواء،

${\displaystyle \ MRS_{xy}\geq 0}$

لنفترض أن دالة منفعة المستهلك معرفة على النحو التالي${\displaystyle U(x,y)}$حيث U هي منفعة المستهلك، و x و y سلعتان. ويمكن حساب المعدل الحدي للإحلال عن طريق التفاضل الجزئي ، كما يلي.

لاحظ أيضًا ما يلي:

${\displaystyle \ MU_{x}=\partial U/\partial x}$

${\displaystyle \ MU_{y}=\partial U/\partial y}$

أين${\displaystyle \ MU_{x}}$هي المنفعة الحدية بالنسبة للسلعة س و${\displaystyle \ MU_{y}}$هي المنفعة الحدية بالنسبة للسلعة y .

بأخذ التفاضل الكلي لمعادلة دالة المنفعة، نحصل على النتائج التالية:

${\displaystyle \ dU=(\partial U/\partial x)dx+(\partial U/\partial y)dy}$أو بالاستبدال بما سبق،

${\displaystyle \ dU=MU_{x}dx+MU_{y}dy}$أو، دون فقدان للعمومية، المشتق الكلي لدالة المنفعة بالنسبة للسلعة س ،

${\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}{\frac {dx}{dx}}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$، إنه،

${\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$.

عند أي نقطة على منحنى السواء، يكون معدل تغير U بالنسبة لـ x مساوياً للصفر، لأن U  = c ، حيث c ثابت. ويترتب على المعادلة السابقة ما يلي: 

${\displaystyle 0=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$أو إعادة ترتيبها

${\displaystyle -{\frac {dy}{dx}}={\frac {MU_{x}}{MU_{y}}}}$

يُعرَّف معدل الإحلال الحدي بأنه القيمة المطلقة لميل منحنى السواء عند أي كمية من السلع ذات الأهمية. وهذا يساوي نسبة المنافع الحدية.

${\displaystyle \ MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}\,}$.

عندما يسعى المستهلكون إلى تعظيم المنفعة فيما يتعلق بقيد الميزانية، فإن منحنى السواء يكون مماساً لخط الميزانية ، وبالتالي، حيث يمثل m الميل:

${\displaystyle \ m_{\mathrm {indif} }=m_{\mathrm {budget} }}$

${\displaystyle \ -(MRS_{xy})=-(P_{x}/P_{y})}$

${\displaystyle \ MRS_{xy}=P_{x}/P_{y}}$

لذلك، عندما يختار المستهلك سلة السلع التي تحقق له أقصى فائدة على خط ميزانيته،

${\displaystyle \ MU_{x}/MU_{y}=P_{x}/P_{y}}$

${\displaystyle \ MU_{x}/P_{x}=MU_{y}/P_{y}}$

تُشير هذه النتيجة المهمة إلى أن المنفعة تُعظّم عندما تُخصّص ميزانية المستهلك بحيث تتساوى المنفعة الحدية لكل وحدة نقدية مُنفقة لكل سلعة. إذا لم تتحقق هذه المساواة، يُمكن للمستهلك زيادة منفعته عن طريق خفض الإنفاق على السلعة ذات المنفعة الحدية الأقل لكل وحدة نقدية وزيادة الإنفاق على السلعة الأخرى. ولتقليل معدل الإحلال الحدي، يجب على المستهلك شراء كمية أكبر من السلعة التي يرغب في انخفاض منفعتها الحدية (بسبب قانون تناقص المنفعة الحدية).

من المبادئ المهمة في النظرية الاقتصادية أن المعدل الحدي لإحلال السلعة X محل السلعة Y يتناقص كلما زاد استبدال السلعة X بالسلعة Y. بعبارة أخرى، كلما زادت كمية السلعة X التي يمتلكها المستهلك، قل استعداده للتخلي عن كمية أقل فأقل من السلعة Y.

هذا يعني أنه كلما زاد مخزون المستهلك من السلعة X وانخفض مخزونه من السلعة Y، قلّت رغبته في التخلي عن كمية أقل من Y مقابل زيادة معينة في X. بعبارة أخرى، ينخفض ​​معدل الإحلال الحدي للسلعة X مقابل Y كلما زاد مخزون المستهلك من X وقلّ مخزونه من Y. ويمكن أيضاً معرفة انخفاض معدل الإحلال الحدي للسلعة X مقابل Y من خلال رسم مماسات عند نقاط مختلفة على منحنى السواء.

عند تحليل دالة المنفعة للمستهلك لتحديد ما إذا كانت محدبة أم لا، يمكننا، في حالة سلعتين، تطبيق اختبار سريع للمشتقة (حساب مشتقة معدل الإحلال الحدي) لتحديد ما إذا كانت تفضيلات المستهلك محدبة. إذا كانت مشتقة معدل الإحلال الحدي سالبة، فسيكون منحنى المنفعة مقعرًا لأسفل، أي أنه يحتوي على قيمة عظمى ثم يتناقص على جانبيها. قد يشبه شكل هذا المنحنى حرف n صغير. أما إذا كانت مشتقة معدل الإحلال الحدي تساوي صفرًا، فسيكون منحنى المنفعة خطيًا، أي أن ميله ثابت. وإذا كانت مشتقة معدل الإحلال الحدي موجبة، فسيكون منحنى المنفعة محدبًا لأعلى، أي أنه يحتوي على قيمة صغرى ثم يتزايد على جانبيها. قد يشبه شكل هذا المنحنى حرف u. تُوضح هذه العبارات رياضيًا أدناه.

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}<0{\text{ Non Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}=0{\text{ Weak Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}>0{\text{ Strict Convexity of Utility Function}}}$

بالنسبة لأكثر من متغيرين، يلزم استخدام مصفوفة هيسيان.

• المفاهيم الهامشية
• معدل الإحلال التقني الحدي (نفس المفهوم في جانب الإنتاج)
• منحنيات السواء
• نظرية المستهلك
• تفضيلات محدبة
• التمايز الضمني
• اقتصاديات العمل

آدم هايز. (31 مارس 2021). داخل المعدل الحدي للإحلال. إنفستوبيديا. جيريلين، ر. (30 مايو 2017). تناقص المعدل الحدي للإحلال | منحنى السواء | الاقتصاد. مناقشة اقتصادية

• كروغمان، بول ؛ ويلز، روبن (2008). الاقتصاد الجزئي (  الطبعة الثانية). بالغراف. ISBN 978-0-7167-7159-3.
• بينديك، روبرت س.؛ روبينفيلد ، دانيال ل. (2005). الاقتصاد الجزئي (  الطبعة السادسة). بيرسون برنتيس هول. ISBN 0-13-008461-1.
• دورفمان، ر. (2008). "نظرية الإنتاجية الحدية". في: بالغراف ماكميلان (محرر). قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد . لندن: بالغراف ماكميلان. ص 1-5 . doi : 10.1057/978-1-349-95121-5_988-2 . ISBN  978-1-349-95121-5– عبر SpringerLink.