منحنى السواء

تستخدم نظرية المستهلك منحنيات السواء وقيود الميزانية لتوليد منحنيات طلب المستهلك . بالنسبة لمستهلك واحد، تُعد هذه العملية بسيطة نسبيًا. أولًا، لنفترض أن إحدى السلعتين هي سوق نموذجي، كالجزر مثلًا، وأن الأخرى هي مزيج من جميع السلع الأخرى. تُعطي قيود الميزانية خطًا مستقيمًا على خريطة السواء يُظهر جميع التوزيعات الممكنة بين السلعتين؛ وتكون نقطة المنفعة القصوى هي النقطة التي يتقاطع عندها منحنى السواء مع خط الميزانية (كما هو موضح). وهذا منطقي: إذا قيّم السوق سلعة ما بأكثر من تقييم الأسرة لها، فستبيعها الأسرة؛ وإذا قيّم السوق سلعة ما بأقل من تقييم الأسرة لها، فستشتريها الأسرة. وتستمر العملية حتى تتساوى معدلات الإحلال الحدية للسوق والأسرة. ^{[ 11 ]} الآن، إذا تغير سعر الجزر، وبقي سعر جميع السلع الأخرى ثابتًا، فسيتغير ميل خط الميزانية أيضًا، مما يؤدي إلى نقطة تماس مختلفة وكمية طلب مختلفة. يمكن استخدام هذه التوليفات من السعر والكمية لاستنتاج منحنى الطلب الكامل. ^{[ 11 ]} وبتعبير أدق، تُستخدم مجموعة من منحنيات السواء التي تمثل نسب أسعار مختلفة بين سلعتين لإنشاء منحنى السعر-الاستهلاك في فضاء متجهات السلع ، وهو ما يُعادل منحنى الطلب في فضاء متجهات السلع-السعر. يُسمى الخط الذي يربط جميع نقاط التماس بين منحنى السواء وقيد الميزانية مع تغير قيد الميزانية بمسار التوسع ، ^{[ 12 ]} ويرتبط بتحولات الطلب. أما الخط الذي يربط جميع نقاط التماس بين منحنى السواء وقيد الميزانية مع تغير سعر أي من السلعتين فهو منحنى السعر-الاستهلاك، ويرتبط بالحركة على طول منحنى الطلب.

• 
  الشكل 1: مثال على خريطة السواء بثلاث منحنيات سواء ممثلة
• 
  الشكل 2: ثلاث منحنيات سواء حيث تكون السلعتان X و Y بديلتين مثاليتين. يشير الخط الرمادي العمودي على جميع المنحنيات إلى أن المنحنيات متوازية فيما بينها.
• 
  الشكل 3: منحنيات السواء للسلعتين المكملتين تمامًا X و Y. تقع نقاط انعطاف المنحنيات على خط مستقيم واحد . يوضح الخط الرمادي منحنى الدخل-الاستهلاك (المكافئ في نظرية المستهلك لمسار التوسع ) لسلسلة من منحنيات منفعة ليونتيف .

في الشكل 1، يُفضّل المستهلك أن يكون على _{المنحنى I3} بدلاً من I2 _، ويُفضّل أن يكون على I2 بدلاً من I1 ، لكنه لا يُبالي بموقعه على منحنى السواء. يُبيّن ميل منحنى السواء (بالقيمة المطلقة)، المعروف لدى الاقتصاديين باسم معدل الإحلال الحدي ، المعدل الذي يكون المستهلكون على استعداد للتخلي عنده عن سلعة مقابل الحصول على كمية أكبر من السلعة الأخرى. بالنسبة _لمعظم السلع ، لا يكون معدل الإحلال الحدي ثابتًا، لذا تكون منحنيات السواء الخاصة بها مُقوّسة. تكون هذه المنحنيات محدبة باتجاه نقطة الأصل، مما يُشير إلى أثر الإحلال السلبي . مع ارتفاع السعر عند دخل نقدي ثابت، يبحث المستهلك عن البديل الأقل تكلفة عند منحنى سواء أدنى. ويتعزز أثر الإحلال من خلال أثر الدخل الناتج عن انخفاض الدخل الحقيقي (بيتي-لافرانس). ومن الأمثلة على دوال المنفعة التي تُولّد منحنيات سواء من هذا النوع دالة كوب-دوغلاس.${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha },0\leq \alpha \leq 1}$يتضمن الميل السالب لمنحنى السواء استعداد المستهلك لإجراء المفاضلات. ^{[ 10 ]}

إذا كانت سلعتان بديلتين تمامًا ، فإن منحنيات السواء ستكون ذات ميل ثابت، لأن المستهلك سيكون على استعداد للتحول بينهما بنسبة ثابتة. وبالمثل، فإن المعدل الحدي للإحلال بين البدائل التامة يكون ثابتًا. ومن أمثلة دوال المنفعة المرتبطة بمنحنيات السواء هذه:${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$.

إذا كانت سلعتان متكاملتين تمامًا ، فإن منحنيات السواء ستكون على شكل حرف L. من أمثلة السلع المتكاملة تمامًا مقارنة الأحذية اليسرى بالأحذية اليمنى: لا يستفيد المستهلك من امتلاك عدة أحذية يمنى إذا كان لديه حذاء أيسر واحد فقط - فالأحذية اليمنى الإضافية لها منفعة هامشية صفرية بدون المزيد من الأحذية اليسرى، لذا فإن مجموعات السلع التي تختلف فقط في عدد الأحذية اليمنى التي تتضمنها - مهما كان عددها - تُفضل بنفس القدر. معدل الإحلال الهامشي إما صفر أو لانهائي. مثال على نوع دالة المنفعة التي لها خريطة سواء مثل المذكورة أعلاه هي دالة ليونتيف.${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\min\{\alpha x,\beta y\}}$.

تشير الأشكال المختلفة للمنحنيات إلى استجابات مختلفة لتغير السعر، كما يتضح من تحليل الطلب في نظرية المستهلك . وسيتم عرض النتائج هنا فقط. تغيير خط الميزانية السعرية الذي أبقى المستهلك في حالة توازن على منحنى السواء نفسه:

في الشكل 1، سيؤدي ذلك إلى تقليل الكمية المطلوبة من سلعة ما بسلاسة مع ارتفاع سعر تلك السلعة نسبيًا.

في الشكل 2، إما أن يكون له تأثير على الكمية المطلوبة من أي من السلعتين (عند أحد طرفي قيد الميزانية ) أو أنه سيغير الكمية المطلوبة من أحد طرفي قيد الميزانية إلى الطرف الآخر.

لن يكون للتغيرات الموضحة في الشكل 3 أي تأثير على كميات التوازن المطلوبة، لأن خط الميزانية سيدور حول زاوية منحنى السواء. ^{[ ملاحظة 2 ]}

يترك

${\displaystyle A\;}$أن تكون مجموعة من البدائل الحصرية المتبادلة التي يمكن للمستهلك الاختيار من بينها.

${\displaystyle a\;}$و${\displaystyle b\;}$أن تكون عناصر عامة من${\displaystyle A\;}$.

بلغة المثال أعلاه، المجموعة${\displaystyle A\;}$يتكون من مزيج من التفاح والموز. الرمز${\displaystyle a\;}$ومن هذه التركيبات، مثل تفاحة واحدة وأربع موزات و${\displaystyle b\;}$وهناك تركيبة أخرى مثل تفاحتين وموزتين.

علاقة تفضيلية، يُرمز لها بـ${\displaystyle \succeq }$، هي علاقة ثنائية معرفة على المجموعة${\displaystyle A\;}$.

البيان

${\displaystyle a\succeq b\;}$

يوصف بأنه '${\displaystyle a\;}$يفضل بشكل ضعيف على${\displaystyle b\;}$.' إنه،${\displaystyle a\;}$لا يقل جودة عن${\displaystyle b\;}$(في إرضاء التفضيلات).

البيان

${\displaystyle a\sim b\;}$

يوصف بأنه '${\displaystyle a\;}$يفضل بشكل ضعيف على${\displaystyle b\;}$، و${\displaystyle b\;}$يفضل بشكل ضعيف على${\displaystyle a\;}$أي أن المرء لا يبالي باختيار${\displaystyle a\;}$أو${\displaystyle b\;}$وهذا لا يعني أنها غير مرغوب فيها، بل أنها جيدة بنفس القدر في تلبية التفضيلات.

البيان

${\displaystyle a\succ b\;}$

يوصف بأنه '${\displaystyle a\;}$يفضل بشكل ضعيف على${\displaystyle b\;}$، لكن${\displaystyle b\;}$لا يُفضّل بشكل ضعيف على${\displaystyle a\;}$يقول أحدهم:${\displaystyle a\;}$يفضل بشدة أن${\displaystyle b\;}$.

علاقة التفضيل${\displaystyle \succeq }$تكتمل إذا كانت جميع الأزواج${\displaystyle a,b\;}$يمكن ترتيبها. العلاقة علاقة متعدية إذا كان كلما${\displaystyle a\succeq b\;}$و${\displaystyle b\succeq c,\;}$ثم${\displaystyle a\succeq c\;}$.

لأي عنصر${\displaystyle a\in A\;}$، منحنى السواء المقابل،${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}}$يتكون من جميع عناصر${\displaystyle A\;}$والتي لا تُبالي بـ${\displaystyle a}$رسميًا،

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}=\{b\in A:b\sim a\}}$.

في المثال أعلاه، عنصر${\displaystyle a\;}$من المجموعة${\displaystyle A\;}$يتكون من رقمين: عدد التفاحات، لنسميه${\displaystyle x,\;}$وعدد الموز، لنسميه${\displaystyle y.\;}$

في نظرية المنفعة ، دالة المنفعة للفاعل هي دالة ترتب جميع أزواج مجموعات الاستهلاك حسب ترتيب التفضيل ( الاكتمال ) بحيث تشكل أي مجموعة من ثلاث مجموعات أو أكثر علاقة متعدية . وهذا يعني أنه لكل مجموعة${\displaystyle \left(x,y\right)}$هناك علاقة فريدة،${\displaystyle U\left(x,y\right)}$، مما يمثل علاقة المنفعة (الرضا) المرتبطة بـ${\displaystyle \left(x,y\right)}$العلاقة${\displaystyle \left(x,y\right)\to U\left(x,y\right)}$تُسمى هذه الدالة دالة المنفعة . مدى الدالة هو مجموعة من الأعداد الحقيقية . لا أهمية للقيم الفعلية للدالة، بل يكمن جوهر النظرية في ترتيب تلك القيم. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle U(x,y)\geq U(x',y')}$ثم الحزمة${\displaystyle \left(x,y\right)}$يوصف بأنه جيد على الأقل مثل الحزمة${\displaystyle \left(x',y'\right)}$. لو${\displaystyle U\left(x,y\right)>U\left(x',y'\right)}$الحزمة${\displaystyle \left(x,y\right)}$يُوصف بأنه مفضل بشكل صارم على الحزمة${\displaystyle \left(x',y'\right)}$.

لنفترض حزمة معينة${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ثم اشتق كليًا لـ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$بخصوص هذه النقطة:

${\displaystyle dU\left(x_{0},y_{0}\right)=U_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)dx+U_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)dy}$

أو، دون الإخلال بعمومية الموضوع ،

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=U_{1}(x_{0},y_{0}).1+U_{2}(x_{0},y_{0}){\frac {dy}{dx}}}$(المعادلة 1)

أين${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)}$هي المشتقة الجزئية لـ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$فيما يتعلق بحجتها الأولى، التي تم تقييمها عند${\displaystyle \left(x,y\right)}$(وكذلك بالنسبة لـ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right).}$)

منحنى السواء يمر عبر${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$يجب أن يوفر كل حزمة على المنحنى نفس مستوى المنفعة مثل الحزمة${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$أي أنه عندما تُمثَّل التفضيلات بدالة منفعة، فإن منحنيات السواء هي منحنيات المستوى لدالة المنفعة. لذلك، إذا أراد المرء تغيير كمية${\displaystyle x\,}$بواسطة${\displaystyle dx\,}$دون الخروج عن منحنى السواء، يجب أيضًا تغيير كمية${\displaystyle y\,}$بمقدار${\displaystyle dy\,}$بحيث لا يحدث أي تغيير في U في النهاية :

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0}$أو، بالتعويض عن 0 في (المعادلة 1) أعلاه لحل dy/dx :

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0\Leftrightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {U_{1}(x_{0},y_{0})}{U_{2}(x_{0},y_{0})}}}$.

وبالتالي، فإن نسبة المنافع الحدية تعطي القيمة المطلقة لميل منحنى السواء عند النقطة${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$تُسمى هذه النسبة معدل الإحلال الحدي بين${\displaystyle x\,}$و${\displaystyle y\,}$.