الاستقرار الهامشي

في نظرية الأنظمة الديناميكية ونظرية التحكم ، يُوصف النظام الخطي الثابت زمنيًا بأنه مستقر هامشيًا إذا لم يكن مستقرًا تقاربيًا ولا غير مستقر . بعبارة أخرى، يكون النظام مستقرًا إذا عاد دائمًا إلى حالة معينة (تُسمى الحالة المستقرة ) وبقي قريبًا منها، ويكون غير مستقر إذا ابتعد أكثر فأكثر عن أي حالة، دون حدود. أما النظام الهامشي، الذي يُشار إليه أحيانًا بالاستقرار المحايد، ^{[ 1 ]} فهو يقع بين هذين النوعين: فعند إزاحته، لا يعود إلى حالة مستقرة مشتركة تقريبًا، ولا يبتعد عن نقطة انطلاقه بلا حدود.

إن الاستقرار الهامشي، شأنه شأن عدم الاستقرار، سمة تسعى نظرية التحكم إلى تجنبها؛ فنحن نرغب في أن يعود النظام، عند تعرضه لقوة خارجية، إلى حالة مرغوبة. وهذا يستلزم استخدام خوارزميات تحكم مصممة بشكل مناسب.

في الاقتصاد القياسي ، يمكن أن يؤدي وجود جذر وحدة في السلاسل الزمنية المرصودة ، مما يجعلها مستقرة بشكل هامشي، إلى نتائج انحدار غير صالحة فيما يتعلق بتأثيرات المتغيرات المستقلة على المتغير التابع ، ما لم يتم استخدام تقنيات مناسبة لتحويل النظام إلى نظام مستقر.

يكون النظام الخطي المتجانس المستمر الثابت مع الزمن مستقرًا بشكل هامشي إذا وفقط إذا كان الجزء الحقيقي لكل قطب ( قيمة ذاتية ) في دالة نقل النظام غير موجب ، وكان لجزء حقيقي واحد أو أكثر من الأقطاب قيمة صفرية، وكانت جميع الأقطاب ذات الجزء الحقيقي الصفري جذورًا بسيطة (أي أن الأقطاب على المحور التخيلي متميزة عن بعضها البعض). في المقابل، إذا كانت جميع الأقطاب ذات أجزاء حقيقية سالبة تمامًا، فإن النظام يكون مستقرًا تقاربيًا. أما إذا لم يكن النظام مستقرًا ولا مستقرًا بشكل هامشي، فهو غير مستقر.

إذا كان النظام في تمثيل فضاء الحالة ، فيمكن تحليل الاستقرار الهامشي عن طريق اشتقاق الشكل الطبيعي لجوردان : ^{[ 2 ]} إذا وفقط إذا كانت كتل جوردان المقابلة للأقطاب ذات الجزء الحقيقي الصفري قياسية، فإن النظام مستقر بشكل هامشي.

يكون النظام الخطي المتجانس المتقطع زمنيًا والثابت زمنيًا مستقرًا بشكل هامشي إذا وفقط إذا كانت أكبر قيمة مطلقة لأي من أقطاب (قيم ذاتية) دالة التحويل تساوي 1، وكانت جميع الأقطاب ذات القيمة المطلقة تساوي 1 متميزة. أي أن نصف قطر الطيف لدالة التحويل يساوي 1. أما إذا كان نصف قطر الطيف أقل من 1، فإن النظام يكون مستقرًا تقاربيًا.

يتضمن مثال بسيط معادلة فرقية خطية من الدرجة الأولى : لنفترض أن متغير الحالة x يتطور وفقًا لـ

${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}$

مع قيمة المعامل a > 0. إذا تم تغيير قيمة النظام إلى قيمة معينة${\displaystyle x_{0},}$تسلسل القيم اللاحق هو${\displaystyle ax_{0},\,a^{2}x_{0},\,a^{3}x_{0},\,\dots .}$إذا كانت قيمة a أقل من 1، فإن هذه الأرقام تقترب أكثر فأكثر من الصفر بغض النظر عن القيمة الابتدائية.${\displaystyle x_{0},}$بينما إذا كانت قيمة a أكبر من 1، فإن الأعداد تتزايد بلا حدود. أما إذا كانت a تساوي 1، فإن الأعداد لا تفعل أيًا من ذلك: بل إن جميع قيم x المستقبلية تساوي القيمة${\displaystyle x_{0}.}$وبالتالي فإن الحالة a = 1 تُظهر استقرارًا هامشيًا.

النظام شبه المستقر هو نظام، إذا أُعطي نبضة ذات مقدار محدود كمدخل، فلن "ينفجر" ويُعطي خرجًا غير محدود، ولكنه لن يعود إلى الصفر أيضًا. سيستمر انحراف محدود أو تذبذبات في الخرج إلى أجل غير مسمى، وبالتالي لن يكون هناك عمومًا خرج نهائي مستقر. إذا أُعطي نظام مستمر مدخلًا بتردد يساوي تردد قطب ذي جزء حقيقي صفري، فسيزداد خرج النظام إلى أجل غير مسمى (وهذا ما يُعرف بالرنين النقي ^{[ 3 ]} ). وهذا يُفسر لماذا، لكي يكون النظام مستقرًا وفقًا لمعيار BIBO ، يجب أن تكون الأجزاء الحقيقية للأقطاب سالبة تمامًا (وليس فقط غير موجبة).

يُنتج النظام المستمر ذو الأقطاب التخيلية، أي الذي يكون الجزء الحقيقي فيه صفرًا، تذبذبات مستمرة في الخرج. على سبيل المثال، نظام من الدرجة الثانية غير مُخمّد، كنظام التعليق في السيارة ( نظام كتلة-نابض-مخمّد )، والذي أُزيل منه المخمد وأصبح النابض مثاليًا (أي لا يوجد احتكاك)، سيتذبذب نظريًا إلى الأبد عند تعرضه لأي اضطراب. مثال آخر هو البندول عديم الاحتكاك . النظام الذي له قطب عند نقطة الأصل يكون مستقرًا بشكل هامشي أيضًا، ولكن في هذه الحالة لن يكون هناك تذبذب في الاستجابة لأن الجزء التخيلي يساوي صفرًا أيضًا ( jw  =  0 يعني w  =  0  راديان/ثانية). مثال على هذا النظام هو كتلة على سطح ذي احتكاك. عند تطبيق دافع جانبي، ستتحرك الكتلة ولن تعود أبدًا إلى الصفر. ومع ذلك، ستتوقف الكتلة بسبب الاحتكاك، وستبقى الحركة الجانبية محدودة.

بما أن مواقع الأقطاب الهامشية يجب أن تكون بالضبط على المحور التخيلي أو دائرة الوحدة (لأنظمة الوقت المستمر وأنظمة الوقت المنفصل على التوالي) لكي يكون النظام مستقرًا بشكل هامشي، فمن غير المرجح أن يحدث هذا الوضع عمليًا إلا إذا كان الاستقرار الهامشي سمة نظرية متأصلة في النظام.

يُعدّ الاستقرار الهامشي مفهومًا مهمًا في سياق الديناميكيات العشوائية . على سبيل المثال، قد تتبع بعض العمليات مسارًا عشوائيًا ، يُعطى في الزمن المتقطع على النحو التالي:

${\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+e_{t},}$

أين${\displaystyle e_{t}}$يمثل حد خطأ مستقل ومتطابق التوزيع . تحتوي هذه المعادلة على جذر وحدة (قيمة 1 للقيمة الذاتية لمعادلتها المميزة )، وبالتالي تُظهر استقرارًا هامشيًا، لذا يجب استخدام تقنيات خاصة للسلاسل الزمنية في النمذجة التجريبية لنظام يحتوي على مثل هذه المعادلة.

عمليات ماركوف المستقرة بشكل هامشي هي تلك التي تمتلك فئات متكررة فارغة .

• استقرار ليابونوف
• الاستقرار الأسي