الأصفار والأقطاب

في التحليل المركب (فرع من فروع الرياضيات)، القطب هو نوع معين من التفردات لدالة ذات قيم مركبة لمتغير مركب . وهو أبسط أنواع التفردات غير القابلة للإزالة لهذه الدالة (انظر التفرد الأساسي ). من الناحية الفنية، تُعتبر النقطة z₀ قطبًا للدالة f إذا كانت صفرًا للدالة 1/ f _، وكانت 1/ f دالة تحليلية (أي قابلة للتفاضل المركب ) في جوار ما للنقطة z₀ _.

تكون الدالة f ميرومورفية في مجموعة مفتوحة U إذا كان لكل نقطة z من U يوجد جوار لـ z يكون فيه واحد على الأقل من f و 1/ f هولومورفي.

إذا كانت الدالة f ميرومورفية في U ، فإن صفرًا للدالة f هو قطب للدالة 1/ f ، وقطبًا للدالة f هو صفر للدالة 1 / f . وهذا يُنشئ ازدواجية بين الأصفار والأقطاب ، وهي ازدواجية أساسية لدراسة الدوال الميرومورفية. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة ميرومورفية على كامل المستوى العقدي بالإضافة إلى النقطة عند اللانهاية ، فإن مجموع تعدد أقطابها يساوي مجموع تعدد أصفارها.

تكون الدالة ذات المتغير المركب z تامة الشكل في مجال مفتوح U إذا كانت قابلة للتفاضل بالنسبة إلى z عند كل نقطة من U. وبصورة مكافئة، تكون تامة الشكل إذا كانت تحليلية ، أي إذا كانت متسلسلة تايلور الخاصة بها موجودة عند كل نقطة من U ، وتتقارب إلى الدالة في جوار ما لتلك النقطة. وتكون الدالة ميرومورفية في U إذا كان لكل نقطة من U جوار بحيث تكون إحدى الدالتين f أو 1/ f تامة الشكل فيه على الأقل.

الصفر للدالة الميرومورفية f هو عدد مركب z بحيث يكون f ( z ) = 0. قطب f هو صفر لـ 1/ f .

إذا كانت f دالة ميرومورفية في جوار نقطة${\displaystyle z_{0}}$إذا كان لدينا عدد صحيح n في المستوى المركب ، فإنه يوجد عدد صحيح n بحيث

${\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)}$

دالة تحليلية وغير صفرية في جوار${\displaystyle z_{0}}$(هذه نتيجة للخاصية التحليلية). إذا كان n > 0 ، فإن${\displaystyle z_{0}}$هو قطب من الرتبة (أو التعددية) n للدالة f . إذا كان n < 0 ، فإن${\displaystyle z_{0}}$هو صفر من الرتبة${\displaystyle |n|}$من f . الصفر البسيط والقطب البسيط مصطلحان يستخدمان للإشارة إلى أصفار وأقطاب من الرتبة${\displaystyle |n|=1.}$تُستخدم كلمة "درجة" أحيانًا كمرادف لكلمة "ترتيب".

هذا التوصيف للأصفار والأقطاب يعني أن الأصفار والأقطاب معزولة ، أي أن لكل صفر أو قطب جوار لا يحتوي على أي صفر أو قطب آخر.

نظرًا لأن رتبة الأصفار والأقطاب تُعرَّف بعدد غير سالب n، ولأن هناك تناظرًا بينهما، فمن المفيد غالبًا اعتبار القطب من الرتبة n بمثابة صفر من الرتبة -n ، والصفر من الرتبة n بمثابة قطب من الرتبة -n . في هذه الحالة، تُعتبر النقطة التي ليست قطبًا ولا صفرًا قطبًا (أو صفرًا) من الرتبة 0.

قد تمتلك الدالة الميرومورفية عددًا لا نهائيًا من الأصفار والأقطاب. هذا هو الحال بالنسبة لدالة غاما (انظر الصورة في مربع المعلومات)، وهي ميرومورفية في كامل المستوى العقدي، ولها قطب بسيط عند كل عدد صحيح غير موجب. دالة زيتا لريمان هي أيضًا ميرومورفية في كامل المستوى العقدي، ولها قطب واحد من الرتبة 1 عند z = 1. أصفارها في النصف الأيسر من المستوى هي جميع الأعداد الزوجية السالبة، وفرضية ريمان هي التخمين بأن جميع الأصفار الأخرى تقع على طول Re( z ) = 1/2 .

في جوار نقطة${\displaystyle z_{0},}$الدالة الميرومورفية غير الصفرية f هي مجموع متسلسلة لوران ذات جزء رئيسي محدود على الأكثر (الحدود ذات قيم الدليل السالبة):

${\displaystyle f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},}$

حيث n عدد صحيح، و${\displaystyle a_{-n}\neq 0.}$ومرة أخرى، إذا كان n > 0 (يبدأ المجموع بـ${\displaystyle a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}}$(إذا كان الجزء الرئيسي يحتوي على n حدًا)، فسيكون لدينا قطب من الرتبة n ، وإذا كان n ≤ 0 (يبدأ المجموع بـ${\displaystyle a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}}$(لا يوجد جزء رئيسي)، يكون لدينا صفر من الرتبة${\displaystyle |n|}$.

وظيفة${\displaystyle z\mapsto f(z)}$تكون الدالة ميرومورفية عند اللانهاية إذا كانت ميرومورفية في جوار ما لللانهاية (أي خارج قرص ما )، ويوجد عدد صحيح n بحيث

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}}$

موجود وهو عدد مركب غير صفري.

في هذه الحالة، تكون النقطة عند اللانهاية قطبًا من الرتبة n إذا كان n > 0 ، وصفرًا من الرتبة${\displaystyle |n|}$إذا كان n < 0 .

على سبيل المثال، كثير الحدود من الدرجة n له قطب من الدرجة n عند اللانهاية.

يُطلق على المستوى المركب الممتد بنقطة عند اللانهاية اسم كرة ريمان .

إذا كانت f دالة ميرومورفية على كامل كرة ريمان، فإن لها عددًا محدودًا من الأصفار والأقطاب، ومجموع رتب أقطابها يساوي مجموع رتب أصفارها.

كل دالة كسرية تكون ميرومورفية على كامل كرة ريمان، وفي هذه الحالة، يكون مجموع رتب الأصفار أو الأقطاب هو الحد الأقصى لدرجات البسط والمقام.

• الوظيفة

${\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}$

تكون ميرومورفية على كامل كرة ريمان. ولها قطب من الرتبة 1 أو قطب بسيط عند${\displaystyle z=0,}$وصفر بسيط عند اللانهاية.

• الوظيفة

${\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}$

هي ميرومورفية على كامل كرة ريمان. ولها قطب من الرتبة 2 عند${\displaystyle z=5,}$وعمود من الدرجة الثالثة في${\displaystyle z=-7}$لها صفر بسيط عند${\displaystyle z=-2,}$وأربعة أصفار عند اللانهاية.

• الوظيفة

${\displaystyle f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}}$

هي ميرومورفية في المستوى المركب بأكمله، ولكن ليس عند اللانهاية. ولها أقطاب من الرتبة 1 عند${\displaystyle z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z} }$ويمكن ملاحظة ذلك من خلال صيغة أويلر .

• الوظيفة

${\displaystyle f(z)=z}$

له قطب واحد عند اللانهاية من الرتبة 1، وصفر واحد عند نقطة الأصل.

جميع الأمثلة المذكورة أعلاه، باستثناء المثال الثالث، هي دوال كسرية . للاطلاع على مناقشة عامة حول أصفار وأقطاب هذه الدوال، انظر قسم "مخطط الأقطاب والأصفار" في قسم "  أنظمة الزمن المستمر" .

يمتد مفهوم الأصفار والأقطاب بشكل طبيعي إلى الدوال على المنحنى المركب ، أي الفضاء التحليلي المركب ذي البعد الواحد (على الأعداد المركبة). أبسط الأمثلة على هذه المنحنيات هي المستوى المركب وسطح ريمان . ويتم هذا الامتداد بنقل البنى والخصائص عبر المخططات ، وهي عبارة عن تماثلات تحليلية .

بتعبير أدق، لتكن f دالة من منحنى عقدي M إلى الأعداد العقدية. تكون هذه الدالة تامة الشكل (أو ميرومورفية الشكل) في جوار نقطة z من M إذا كان هناك مخطط${\displaystyle \phi }$بحيث${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}}$يكون شكليًا (أو شكليًا جزئيًا) في جوار من${\displaystyle \phi (z).}$إذن، يكون z قطبًا أو صفرًا من الرتبة n إذا كان الأمر نفسه ينطبق على${\displaystyle \phi (z).}$

إذا كان المنحنى مضغوطًا ، وكانت الدالة f ميرومورفية على كامل المنحنى، فإن عدد الأصفار والأقطاب يكون محدودًا، ومجموع رتب الأقطاب يساوي مجموع رتب الأصفار. هذه إحدى الحقائق الأساسية التي تتضمنها نظرية ريمان-روخ .

• مبدأ الحجة
• نظرية التحكم §  الاستقرار
• تصميم الفلتر
• مرشح (معالجة الإشارات)
• نظرية جاوس-لوكاس
• نظرية هورويتز (التحليل المركب)
• نظرية ماردن
• معيار استقرار نايكويست
• مخطط الأقطاب والأصفار
• البقايا (التحليل المعقد)
• نظرية روشيه
• تخمين سيندوف

• كونواي، جون ب. (1986). دوال المتغير المركب الواحد 1. سبرينغر. ISBN 0-387-90328-3.
• كونواي، جون ب. (1995). دوال المتغير المركب الواحد II . سبرينغر. ISBN 0-387-94460-5.
• هنريسي، بيتر (1974). التحليل المعقد التطبيقي والحسابي 1. جون وايلي وأولاده .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "القطب" . عالم الرياضيات .