نصف القطر الطيفي

لتكن λ₁ _, ..., λₙ القيم الذاتية للمصفوفة A ∈ Cⁿ ^{× ⁿ} . يُعرَّف نصف القطر الطيفي للمصفوفة A ^{على النحو التالي} _:

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$

يمكن اعتبار نصف القطر الطيفي بمثابة الحد الأدنى لجميع معايير المصفوفة. في الواقع، من ناحية،${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$لكل معيار مصفوفة طبيعي${\displaystyle \|\cdot \|}$ومن جهة أخرى، تنص صيغة جيلفاند على أن${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$تظهر كلتا النتيجتين أدناه.

ومع ذلك، فإن نصف القطر الطيفي لا يفي بالضرورة بالغرض.${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$للمتجهات العشوائية${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$لمعرفة السبب، دعنا${\displaystyle r>1}$كن عشوائيًا وخذ المصفوفة في الاعتبار

${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$.

متعددة الحدود المميزة لـ${\displaystyle C_{r}}$يكون${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$لذا فإن قيمها الذاتية هي${\displaystyle \{-1,1\}}$وبالتالي${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$. لكن،${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$. نتيجة ل،

${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}$

كمثال توضيحي لصيغة جيلفاند، لاحظ أن${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$مثل${\displaystyle k\to \infty }$، منذ${\displaystyle C_{r}^{k}=I}$لو${\displaystyle k}$زوجي و${\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}$لو${\displaystyle k}$هذا غريب.

حالة خاصة يكون فيها${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$للجميع${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$هو عندما${\displaystyle A}$هي مصفوفة هيرميتية و${\displaystyle \|\cdot \|}$المعيار الإقليدي هو . وذلك لأن أي مصفوفة هيرميتية قابلة للتقطير بواسطة مصفوفة وحدوية ، والمصفوفات الوحدوية تحافظ على طول المتجه. ونتيجة لذلك،

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.}$

في سياق مؤثر خطي محدود A على فضاء باناخ ، يجب استبدال القيم الذاتية بعناصر طيف المؤثر ، أي القيم${\displaystyle \lambda }$والتي${\displaystyle A-\lambda I}$ليست دالة تقابلية. نرمز إلى الطيف بـ

${\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{ليست تقابلية}}\right\}}$

يُعرَّف نصف القطر الطيفي بأنه القيمة العليا لمقادير عناصر الطيف:

${\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |}$

تنطبق صيغة جيلفاند، المعروفة أيضًا باسم صيغة نصف القطر الطيفي، أيضًا على المؤثرات الخطية المحدودة: بوضع${\displaystyle \|\cdot \|}$إذا رمزنا لمعيار المؤثر ، فلدينا

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

يُطلق على المؤثر المحدود (على فضاء هيلبرت المركب) اسم مؤثر طيفي إذا تطابق نصف قطره الطيفي مع نصف قطره العددي . ومن أمثلة هذا النوع من المؤثرات المؤثر الطبيعي .

يُعرَّف نصف القطر الطيفي للرسم البياني المحدود بأنه نصف القطر الطيفي لمصفوفة التجاور الخاصة به .

يمتد هذا التعريف ليشمل حالة الرسوم البيانية اللانهائية ذات درجات الرؤوس المحدودة (أي يوجد عدد حقيقي C بحيث تكون درجة كل رأس من رؤوس الرسم البياني أصغر من C ). في هذه الحالة، بالنسبة للرسم البياني G ، نُعرّف ما يلي:

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \$ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}

ليكن γ عامل التجاور لـ G :

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma$ :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}

يُعرَّف نصف القطر الطيفي لـ G بأنه نصف القطر الطيفي للمؤثر الخطي المحدود γ .

يقدم الاقتراح التالي حدودًا عليا بسيطة ولكنها مفيدة لنصف القطر الطيفي للمصفوفة.

الفرضية. ليكن A ∈ C ^{n × n} بنصف قطر طيفي ρ ( A ) ومعيار مصفوفة شبه ضربي ||⋅|| . عندئذٍ لكل عدد صحيح${\displaystyle k\geqslant 1}$:

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

دليل

ليكن ( v , λ ) زوجًا من المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للمصفوفة A. من خلال خاصية الضرب الجزئي لمعيار المصفوفة، نحصل على:

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$

بما أن v ≠ 0 ، فإن

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$

وبالتالي

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

اختتاماً للبرهان.

توجد العديد من الحدود العليا لنصف قطر الطيف للرسم البياني بدلالة عدد رؤوسه (n) وعدد حوافه (m) . على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

أين${\displaystyle 3\leq k\leq n}$إذا كان عددًا صحيحًا، فإن ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$

لأي معيار مصفوفة ||⋅||، لدينا ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$.

علاوة على ذلك، في حالة معيار المصفوفة المتسق${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$الأساليب${\displaystyle \rho (A)}$من الأعلى (في الواقع، في تلك الحالة)${\displaystyle \rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$للجميع${\displaystyle k}$).

لأي قيمة ε > 0 ، دعونا نحدد المصفوفتين التاليتين:

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$

هكذا،

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$

نبدأ بتطبيق النظرية السابقة حول نهايات متتابعات القوى على A ₊ :

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$

هذا يدل على وجود N ₊ ∈ N بحيث أنه، لكل k ≥ N ₊ ،

${\displaystyle \left\|A_{+}^{k}\right\|<1.}$

لذلك،

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .}$

وبالمثل، تشير نظرية متتابعات القوى إلى أن${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$غير محدودة، ويوجد عدد N ₋ ∈ N بحيث يكون، لكل k ≥ N ₋ ،

${\displaystyle \left\|A_{-}^{k}\right\|>1.}$

لذلك،

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .}$

ليكن N = max{ N ₊ , N ₋ }. إذن،

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,}$

إنه،

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$

وبهذا ينتهي البرهان.

تُعطي صيغة جيلفاند حدًا أقصى لنصف قطر الطيف لناتج مصفوفات تبادلية: إذا${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$إذا كانت المصفوفات جميعها قابلة للتبديل،

${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$

ضع في اعتبارك المصفوفة

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$

والتي قيمها الذاتية هي 5، 10، 10 ؛ وبحسب التعريف، ρ ( A ) = 10. في الجدول التالي، قيم${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$تم إدراج المعايير الأربعة الأكثر استخدامًا مقابل عدة قيم متزايدة لـ k (لاحظ أنه نظرًا للشكل الخاص لهذه المصفوفة،${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$):