حالة السلسلة الصاعدة

في الرياضيات ، يُعد شرط السلسلة الصاعدة ( ACC ) وشرط السلسلة الهابطة ( DCC ) من خصائص التناهي التي تحققها بعض البنى الجبرية ، وأهمها المُثُل في حلقات تبديلية معينة . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وقد لعب هذان الشرطان دورًا هامًا في تطوير نظرية بنية الحلقات التبديلية في أعمال ديفيد هيلبرت ، وإيمي نوثر ، وإميل آرتين . ويمكن صياغة هذين الشرطين بصيغة مجردة، بحيث يكون لهما معنى لأي مجموعة مرتبة جزئيًا . وتُعد هذه النظرة مفيدة في نظرية الأبعاد الجبرية المجردة التي وضعها غابرييل ورينتشلر.

يُقال إن المجموعة المرتبة جزئيًا (poset) P تحقق شرط السلسلة التصاعدية (ACC) إذا لم يكن هناك تسلسل تصاعدي لانهائي

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }$

يوجد عدد من عناصر P. ^{[ 4 ]} وبصورة مكافئة، ^{[ أ ]} كل متتالية تصاعدية ضعيفة

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}$

تستقر عناصر المجموعة P في النهاية، مما يعني وجود عدد صحيح موجب n بحيث

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

وبالمثل، يُقال إن P تحقق شرط السلسلة التنازلية (DCC) إذا لم تكن هناك سلسلة تنازلية لانهائية من عناصر P. ^{[ 4 ]} وبصورة مكافئة، كل متتالية تنازلية ضعيفة

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

تستقر عناصر P في النهاية.

تأمل في الخاتم

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$

من الأعداد الصحيحة. كل مثالي من${\displaystyle \mathbb {Z} }$يتكون من جميع مضاعفات عدد ما${\displaystyle n}$على سبيل المثال، المثالي

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}$

يتكون من جميع مضاعفات${\displaystyle 6}$. يترك

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}$

كن المثال الذي يتكون من جميع مضاعفات${\displaystyle 2}$المثالي${\displaystyle I}$يحتوي على داخل المثالي${\displaystyle J}$لأن كل مضاعف لـ${\displaystyle 6}$وهو أيضًا من مضاعفات${\displaystyle 2}$وبالتالي، فإن الوضع المثالي${\displaystyle J}$يحتوي على المثالي${\displaystyle \mathbb {Z} }$لأن كل مضاعف لـ${\displaystyle 2}$هو مضاعف لـ${\displaystyle 1}$ومع ذلك، لا يوجد في هذه المرحلة مثال أعلى؛ لقد وصلنا إلى أقصى ما يمكننا تحقيقه.${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

بشكل عام، إذا${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$هي مُثُل${\displaystyle \mathbb {Z} }$بحيث${\displaystyle I_{1}}$يحتوي على${\displaystyle I_{2}}$،${\displaystyle I_{2}}$يحتوي على${\displaystyle I_{3}}$وهكذا دواليك، ثم هناك بعض${\displaystyle n}$والتي من أجلها كل${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots }$أي أنه بعد نقطة معينة، تتساوى جميع المُثُل فيما بينها. لذلك، فإن مُثُل${\displaystyle \mathbb {Z} }$تحقق شرط السلسلة التصاعدية، حيث يتم ترتيب المُثُل حسب احتواء المجموعة. ومن ثم${\displaystyle \mathbb {Z} }$هو حلقة نوثرية .

• أرتينيان
• شرط السلسلة التصاعدية للمُثُل الرئيسية
• بُعد كرول
• الشرط الأقصى على التطابقات
• النوثيرية

• "هل تكافؤ شرط السلسلة التصاعدية وشرط الحد الأقصى يعادل بديهية الاختيار التابع؟ "