البنية الجبرية

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يتكون الهيكل الجبري أو النظام الجبري [ 1 ] من مجموعة غير فارغة A (تسمى المجموعة الأساسية أو مجموعة الحامل أو المجال )، ومجموعة من العمليات على A (عادة العمليات الثنائية مثل الجمع والضرب)، ومجموعة محدودة من المتطابقات (المعروفة باسم البديهيات ) التي يجب أن تحققها هذه العمليات.

قد يستند البناء الجبري إلى بناءات جبرية أخرى تتضمن عمليات وبديهيات تشمل عدة بناءات. على سبيل المثال، يتضمن الفضاء المتجهي بناءً ثانياً يُسمى الحقل ، وعملية تُسمى الضرب القياسي بين عناصر الحقل (التي تُسمى الكميات القياسية ) وعناصر الفضاء المتجهي (التي تُسمى المتجهات ).

يُطلق مصطلح الجبر المجرد عادةً على دراسة البنى الجبرية. وقد تمّت صياغة النظرية العامة للبنى الجبرية في الجبر الشامل . وتُعدّ نظرية الفئات صياغةً أخرى تتضمن بنى رياضية أخرى ووظائف بين بنى من النوع نفسه ( التشاكلات ).

في الجبر الشامل، يُطلق على البنية الجبرية اسم الجبر ؛ [ 2 ] قد يكون هذا المصطلح غامضًا، لأنه في سياقات أخرى، يكون الجبر عبارة عن بنية جبرية تمثل فضاء متجه فوق حقل أو وحدة نمطية فوق حلقة تبديلية .

تُسمى مجموعة جميع البنى من نوع معين (نفس العمليات ونفس القوانين) بالتنوع في الجبر الشامل؛ ويُستخدم هذا المصطلح أيضًا بمعنى مختلف تمامًا في الهندسة الجبرية ، كاختصار للتنوع الجبري . في نظرية الفئات، تُشكل مجموعة جميع البنى من نوع معين والتشاكلات بينها فئة ملموسة .

مقدمة

الجمع والضرب مثالان نموذجيان للعمليات التي تجمع عنصرين من مجموعة ما لإنتاج عنصر ثالث من المجموعة نفسها. تخضع هذه العمليات لعدة قوانين جبرية. على سبيل المثال، a + ( b + c ) = ( a + b ) + c و a ( bc ) = ( ab ) c هما قانونان تجميعيان ، و a + b = b + a و ab = ba هما قانونان تبديليان . العديد من الأنظمة التي يدرسها علماء الرياضيات تحتوي على عمليات تخضع لبعض قوانين الحساب العادي، ولكن ليس بالضرورة جميعها. على سبيل المثال، يمكن دمج الحركات الممكنة لجسم ما في الفضاء ثلاثي الأبعاد عن طريق تحريك الجسم أولاً، ثم تحريكه مرة أخرى من موقعه الجديد. هذه الحركات، التي تُسمى رسميًا بالحركات الصلبة ، تخضع للقانون التجميعي، ولكنها لا تخضع للقانون التبديلي.

تُسمى المجموعات التي تحتوي على عملية واحدة أو أكثر تخضع لقوانين محددة بالبنى الجبرية . عندما تتضمن مسألة جديدة نفس قوانين هذه البنية الجبرية، يمكن تطبيق جميع النتائج التي تم إثباتها باستخدام قوانين تلك البنية فقط مباشرةً على المسألة الجديدة.

بشكل عام، قد تتضمن البنى الجبرية مجموعة متنوعة من العمليات، بما في ذلك العمليات التي تجمع أكثر من عنصرين ( عمليات ذات عدد معاملات أعلى ) والعمليات التي تأخذ وسيطًا واحدًا فقط ( عمليات أحادية ) أو حتى لا تأخذ أي وسيط ( عمليات صفرية ). الأمثلة المذكورة أدناه ليست قائمة شاملة بأي حال من الأحوال، ولكنها تتضمن أكثر البنى شيوعًا التي تُدرّس في المقررات الجامعية.

البديهيات الشائعة

البديهيات المعادلة

غالباً ما تأخذ بديهية البنية الجبرية شكل متطابقة ، أي معادلة يكون طرفاها عبارة عن تعبيرات تتضمن عمليات على البنية الجبرية ومتغيرات . إذا استُبدلت المتغيرات في المتطابقة بعناصر عشوائية من البنية الجبرية، فستبقى المساواة صحيحة. إليك بعض الأمثلة الشائعة.

التبادلية
عملية*{\displaystyle *}تكون عملية التبديل إذاx*y=y*x{\displaystyle x*y=y*x}لكل x و y في البنية الجبرية.
الترابط
عملية*{\displaystyle *}تكون تجميعية إذا(x*y)*z=x*(y*z){\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}لكل x و y و z في البنية الجبرية.
التوزيعية اليسرى
عملية*{\displaystyle *}تكون عملية التوزيع من اليسار بالنسبة لعملية أخرى+{\displaystyle +}لوx*(y+z)=(x*y)+(x*z){\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}لكل x و y و z في البنية الجبرية (يشار إلى العملية الثانية هنا بـ+{\displaystyle +}(لأن العملية الثانية هي الجمع في العديد من الأمثلة الشائعة).
التوزيع الأيمن
عملية*{\displaystyle *}تكون توزيعية يمينية بالنسبة لعملية أخرى+{\displaystyle +}لو(y+z)*x=(y*x)+(z*x){\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}لكل x و y و z في البنية الجبرية.
التوزيعية
عملية*{\displaystyle *}وهي توزيعية بالنسبة لعملية أخرى+{\displaystyle +}إذا كانت العملية توزيعية من اليسار ومن اليمين.*{\displaystyle *}خاصية التبادل، وخاصية التوزيع من اليسار واليمين كلاهما مكافئ لخاصية التوزيع.

البديهيات الوجودية

تحتوي بعض البديهيات الشائعة على عبارة وجودية . وبشكل عام، يمكن تجنب هذه العبارة بإضافة عمليات أخرى، واستبدال العبارة الوجودية بهوية تتضمن العملية الجديدة. بتعبير أدق، لنفترض بديهية على الصورة التالية: "لكل X يوجد y بحيث أنو(X،y)=ز(X،y){\displaystyle f(X,y)=g(X,y)}حيث X عبارة عن مجموعة من المتغيرات . اختيار قيمة محددة لـ y لكل قيمة من قيم X يُعرّف دالةφ:X↦y،{\displaystyle \varphi :X\mapsto y,}والتي يمكن اعتبارها عملية من الرتبة k ، ويصبح البديهي هويةو(X،φ(X))=ز(X،φ(X)).{\displaystyle f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).}

يُؤدي إدخال هذه العملية المساعدة إلى تعقيد صياغة البديهية بعض الشيء، ولكنه يحمل بعض المزايا. ففي بنية جبرية محددة، يتألف برهان تحقق بديهية وجودية عمومًا من تعريف الدالة المساعدة، مُستكملًا بتحققات مباشرة. كذلك، عند إجراء العمليات الحسابية في بنية جبرية، تُستخدم العمليات المساعدة بشكل صريح. على سبيل المثال، في حالة الأعداد ، يُعطى المعكوس الجمعي بواسطة عملية الطرح الأحادية.x↦-x.{\displaystyle x\mapsto -x.}

كذلك، في الجبر الشامل ، تُعرَّف المتنوعات بأنها فئة من البنى الجبرية التي تشترك في العمليات نفسها، وفي البديهيات نفسها، بشرط أن تكون جميع البديهيات متطابقة. ويُبين ما سبق أن البديهيات الوجودية من الشكل المذكور أعلاه مقبولة في تعريف المتنوعات.

فيما يلي بعض من أكثر البديهيات الوجودية شيوعاً.

عنصر الهوية
عملية ثنائية*{\displaystyle *}يحتوي على عنصر محايد إذا كان هناك عنصر e بحيثx*هـ=xوهـ*x=x{\displaystyle x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x}لكل x في البنية. هنا، العملية المساعدة هي عملية ذات رتبة صفرية يكون نتيجتها e .
العنصر العكسي
بالنظر إلى عملية ثنائية*{\displaystyle *}إذا كان للعنصر x عنصر محايد e ، فإن العنصر x يكون قابلاً للعكس إذا كان له عنصر معكوس، أي إذا كان هناك عنصرالاستثمار⁡(x){\displaystyle \operatorname {inv} (x)}بحيثالاستثمار⁡(x)*x=هـوx*الاستثمار⁡(x)=هـ.{\displaystyle \operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.}على سبيل المثال، المجموعة هي بنية جبرية ذات عملية ثنائية تجميعية، ولها عنصر محايد، وجميع عناصرها قابلة للعكس.

البديهيات غير المتساوية

يمكن أن تكون بديهيات البنية الجبرية أي صيغة من الدرجة الأولى ، أي صيغة تتضمن روابط منطقية (مثل "و" ، "أو"، و "ليس" )، ومحددات كمية منطقية (∀،∃{\displaystyle \forall ,\exists }) التي تنطبق على العناصر (وليس على المجموعات الفرعية) من البنية.

من البديهيات النموذجية في هذا السياق، خاصية الانعكاس في الحقول . لا يمكن اختزال هذه البديهية إلى بديهيات من الأنواع السابقة. (يترتب على ذلك أن الحقول لا تُشكل تنوعًا بالمعنى المقصود في الجبر الشامل ). يمكن التعبير عنها كما يلي: "كل عنصر غير صفري في حقل ما قابل للانعكاس ؛" أو بصورة مكافئة: يحتوي هذا الحقل على عملية أحادية inv بحيث

∀x،x=0أوx⋅الاستثمار⁡(x)=1.{\displaystyle \forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.}

يمكن النظر إلى العملية inv إما كعملية جزئية غير معرفة لـ x = 0 ؛ أو كدالة عادية تكون قيمتها عند 0 عشوائية ويجب عدم استخدامها.

الهياكل الجبرية المشتركة

مجموعة واحدة مع عمليات

هياكل بسيطة : لا توجد عمليات ثنائية :

  • المجموعة : بنية جبرية متدهورة S لا تحتوي على عمليات.

البنى الشبيهة بالمجموعات : عملية ثنائية واحدة . يمكن الإشارة إلى العملية الثنائية بأي رمز، أو بدون رمز (تجاور) كما هو الحال في الضرب العادي للأعداد الحقيقية.

الهياكل الشبيهة بالحلقات أو الحلقات : عمليتان ثنائيتان، غالباً ما تسمى الجمع والضرب ، حيث يتم توزيع الضرب على الجمع.

الهياكل الشبكية : عمليتان ثنائيتان أو أكثر، بما في ذلك العمليات التي تسمى الالتقاء والربط ، متصلة بقانون الامتصاص . [ 3 ]

مجموعتان مع عمليات

  • الوحدة : زمرة تبديلية M وحلقة R تعملان كمؤثرات على M. تُسمى عناصر R أحيانًا بالأعداد القياسية ، وعملية الضرب القياسي الثنائية هي دالة R  × M → M ، والتي تحقق عدة بديهيات. وبحساب عمليات الحلقة، تحتوي هذه الأنظمة على ثلاث عمليات على الأقل. 
  • الفضاء المتجهي : وحدة نمطية حيث تكون الحلقة R حقلاً أو، في بعض السياقات، حلقة قسمة .

الهياكل الهجينة

يمكن أن تتعايش البنى الجبرية مع بنى إضافية ذات طبيعة غير جبرية، مثل الترتيب الجزئي أو الطوبولوجيا . ويجب أن تكون البنية الإضافية متوافقة، بمعنى ما، مع البنية الجبرية.

الجبر الشامل

تُعرَّف البنى الجبرية من خلال تكوينات مختلفة من البديهيات . يدرس الجبر الشامل هذه الكائنات بشكل تجريدي. يتمثل أحد الانقسامات الرئيسية بين البنى التي تُؤَسَّس بالكامل بواسطة المتطابقات والبنى التي لا تُؤَسَّس كذلك. إذا كانت جميع البديهيات التي تُعرِّف فئة من الجبر هي متطابقات، فإن هذه الفئة تُعتبر تنوعًا (لا ينبغي الخلط بينها وبين التنوعات الجبرية للهندسة الجبرية ).

المتطابقات هي معادلات تُصاغ باستخدام العمليات التي يسمح بها الهيكل فقط، ومتغيرات مُكمّمة ضمنيًا على الكون ذي الصلة . لا تحتوي المتطابقات على روابط ، أو متغيرات مُكمّمة وجوديًا ، أو علاقات من أي نوع آخر غير العمليات المسموح بها. يُعدّ دراسة المتنوعات جزءًا مهمًا من الجبر الشامل . يمكن فهم البنية الجبرية في المتنوع على أنها جبر القسمة لجبر الحدود (يُسمى أيضًا " الجبر الحر المطلق ") مقسومًا على علاقات التكافؤ الناتجة عن مجموعة من المتطابقات. لذا، فإن مجموعة من الدوال ذات التوقيعات المُعطاة تُولّد جبرًا حرًا، وهو جبر الحدود T. بالنظر إلى مجموعة من المتطابقات المُعادلة (البديهيات)، يمكن اعتبار إغلاقها المتناظر والمتعدي E. جبر القسمة T / E هو حينها البنية الجبرية أو المتنوع. وهكذا، على سبيل المثال، تحتوي المجموعات على توقيع يتضمن عاملين: عامل الضرب m ، الذي يأخذ وسيطين، وعامل المعكوس i ، الذي يأخذ وسيطًا واحدًا، وعنصر المحايد e ، وهو ثابت، والذي يمكن اعتباره عاملًا لا يأخذ أي وسيط. وبالنظر إلى مجموعة (قابلة للعد) من المتغيرات x ، y ، z ، إلخ، فإن مصطلح الجبر هو مجموعة جميع الحدود الممكنة التي تتضمن m ، i ، e والمتغيرات؛ فعلى سبيل المثال، m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) سيكون عنصرًا من مصطلح الجبر. إحدى البديهيات التي تُعرّف المجموعة هي عنصر المحايد m ( x , i ( x )) = e ؛ وأخرى هي m ( x , e ) = x . يمكن تمثيل البديهيات على شكل أشجار . تُنتج هذه المعادلات فئات تكافؤ على الجبر الحر؛ وبالتالي، فإن جبر القسمة له البنية الجبرية للمجموعة.

بعض الهياكل لا تشكل أنواعًا مختلفة، وذلك إما بسبب:

  1. من الضروري أن يكون 0  ≠  1، حيث أن 0 هو العنصر المحايد الجمعي و1 هو العنصر المحايد الضربي، ولكن هذا ليس عنصرًا محايدًا؛
  2. تحتوي البنى مثل الحقول على بعض البديهيات التي تنطبق فقط على الأعضاء غير الصفرية في S. ولكي تكون البنية الجبرية متنوعة، يجب تعريف عملياتها لجميع أعضاء S ؛ لا يمكن أن تكون هناك عمليات جزئية.

تُعدّ البنى التي تتضمن بديهياتها حتمًا عناصر غير محايدة من بين أهم البنى في الرياضيات، مثل الحقول وحلقات القسمة . وتُشكّل البنى التي تحتوي على عناصر غير محايدة تحديات لا تُطرح في المتنوعات. فعلى سبيل المثال، ليس حاصل الضرب المباشر لحقلين حقلاً ، لأن(1،0)⋅(0،1)=(0،0){\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}لكن الحقول لا تحتوي على قواسم صفرية .

نظرية الفئات

تُعدّ نظرية الفئات أداةً أخرى لدراسة البنى الجبرية (انظر، على سبيل المثال، ماك لين 1998). الفئة هي مجموعة من الكائنات المرتبطة بتشاكلات. لكل بنية جبرية مفهومها الخاص للتشاكل ، أي أي دالة متوافقة مع العملية (أو العمليات) التي تُعرّف البنية. وبهذه الطريقة، تُنتج كل بنية جبرية فئةً . على سبيل المثال، تحتوي فئة الزمر على جميع الزمر ككائنات وجميع تشاكلات الزمر كتشاكلات. يمكن اعتبار هذه الفئة الملموسة فئةً للمجموعات ذات بنية إضافية من نظرية الفئات. وبالمثل، فإن فئة الزمر الطوبولوجية (التي تشاكلاتها هي تشاكلات الزمر المستمرة) هي فئة للفضاءات الطوبولوجية ذات بنية إضافية. الدالة النسيانية بين فئات البنى الجبرية "تنسى" جزءًا من البنية.

توجد مفاهيم متنوعة في نظرية الفئات تحاول استيعاب الطابع الجبري للسياق، على سبيل المثال

معانٍ مختلفة لكلمة "بنية"

في إساءة طفيفة لاستخدام الرموز ، يمكن أن تشير كلمة "بنية" أيضًا إلى العمليات التي تُجرى على البنية نفسها، بدلاً من المجموعة الأساسية ذاتها. على سبيل المثال، الجملة: "لقد عرّفنا بنية حلقية على المجموعةأ{\displaystyle A}يعني هذا أننا قد عرّفنا عمليات الحلقة على المجموعةأ{\displaystyle A}على سبيل المثال، المجموعة(Z،+){\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}يمكن اعتبارها مجموعةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }التي تحتوي على بنية جبرية، وهي العملية+{\displaystyle +}.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ ف.-ف. كولمان (المنشئ). "بناء" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 1402006098.
  2. ↑ PM Cohn . (1981) الجبر الشامل ، سبرينغر، ص 41.
  3. يمكن التمييز بوضوح بين الحلقات والشبكات على الرغم من وجود عمليتين ثنائيتين أساسيتين لكليهما. في حالة الحلقات، ترتبط العمليتان بقانون التوزيع ؛ أما في حالة الشبكات، فترتبطان بقانون الامتصاص . كما تميل الحلقات إلى امتلاك نماذج عددية ، بينما تميل الشبكات إلى امتلاك نماذج نظرية المجموعات .

مراجع

نظرية الفئات