نظرية ميدي

في الرياضيات ، تُعرف نظرية ميدي ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي إي. ميدي، ^{[ 1 ]} بأنها بيانٌ حول التمثيل العشري للكسور a / p، حيث p عدد أولي ، ويكون لـ a / p تمثيل عشري دوري ذو دورة زوجية (المتتالية A028416 في OEIS ) . إذا كانت دورة التمثيل العشري لـ a / p هي 2n ، فإن

$${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}}$$

إذن، الأرقام في النصف الثاني من الفترة العشرية الدورية هي المتمم التساعي للأرقام المقابلة لها في النصف الأول. بعبارة أخرى،

$${\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9}$$$${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}$$

على سبيل المثال،

$${\displaystyle {\frac {1}{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ و }}076+923=999.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ و }}05882352+94117647=99999999.}$$

إذا كان k أي قاسم للعدد h ( حيث h هو عدد أرقام دورة التمثيل العشري للعدد a / p (حيث p عدد أولي))، فيمكن تعميم نظرية ميدي كما يلي. تنص نظرية ميدي الموسعة ^{[ 2 ]} على أنه إذا قُسِّم الجزء الدوري من التمثيل العشري للعدد a / p إلى أعداد مكونة من k رقم، فإن مجموعها يكون من مضاعفات 10k ^- 1 .  

على سبيل المثال، $${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}}$$ له دورة مقدارها 18. بتقسيم الجزء المتكرر إلى أعداد مكونة من 6 أرقام وجمعها نحصل على $${\displaystyle 052631+578947+368421=999999.}$$ وبالمثل، فإن تقسيم الجزء المتكرر إلى أرقام مكونة من 3 أرقام وجمعها يعطي $${\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.}$$

لا تعتمد نظرية ميدي وامتدادها على خصائص خاصة للتوسع العشري، ولكنها تعمل بشكل جيد بنفس القدر في أي أساس b ، بشرط أن نستبدل 10 ^k − 1 بـ b ^k − 1 ونجري عملية الجمع في الأساس b .    

على سبيل المثال، في النظام الثماني

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}\\[8pt]&032_{8}+745_{8}=777_{8}\\[8pt]&03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.\end{aligned}}}$$

في النظام الاثني عشري (باستخدام الرقمين اثنين وثلاثة معكوسين للدلالة على عشرة وأحد عشر على التوالي)

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {076{\mathcal {E}}45}}_{12}\\[8pt]&076_{12}+{\mathcal {E}}45_{12}={\mathcal {EEE}}_{12}\\[8pt]&07_{12}+6{\mathcal {E}}_{12}+45_{12}={\mathcal {EE}}_{12}\end{aligned}}}$

يمكن تقديم براهين مختصرة لنظرية ميدي باستخدام نتائج من نظرية الزمر . ومع ذلك، من الممكن أيضًا إثبات نظرية ميدي باستخدام الجبر الابتدائي والحساب النمطي .

ليكن p عددًا أوليًا، وليكن a / p كسرًا بين 0 و1. لنفترض أن توسيع a / p في الأساس b له دورة مقدارها ℓ ، لذا

$$\begin{aligned} \frac{a}{p} = [0.\overline{a_{1}a_{2}\dots a_{\ell}}] b \rightarrow \frac{a}{p} b^{\ell} = [a_{1}a_{2}\dots a_{\ell} .\overline{a_{1}a_{2}\dots a_{\ell}}] b \rightarrow \frac{a}{p} b^{\ell} = N + [0.\overline{a_{1}a_{2}\dots a_{\ell}}] b = N + \frac{a}{p} \rightarrow \frac{a}{p} = \frac{a}{p} {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}}$$

حيث N هو العدد الصحيح الذي يكون تمثيله في الأساس b هو السلسلة a ₁ a ₂ ... a _ℓ .

لاحظ أن b ^ℓ − 1 هو مضاعف لـ p لأن ( b ^ℓ − 1) a / p عدد صحيح. كذلك، فإن b ⁿ − 1 ليس مضاعفًا لـ p لأي قيمة لـ n أقل من ℓ ، لأنه لو كان الأمر كذلك، لكانت الفترة المتكررة لـ a / p في النظام العددي ذي الأساس b أقل من ℓ .      

لنفترض الآن أن ^ℓ =  hk . إذن ، ^bℓ - 1 هو مضاعف لـ bk - 1. (لإثبات ذلك، استبدل x بـ bk ^؛ عندها bℓ ⁼ xh و x - 1 هو عامل لـ xh ^- 1 ). لنفترض أن bℓ ^- 1 = m ( bk ^- 1)، ^إذن                  

$${\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}$$

لكن b ^ℓ − 1 هو مضاعف لـ p ؛ و b ^k − 1 ليس مضاعفًا لـ p (لأن k أصغر من ℓ )؛ و p عدد أولي؛ لذا يجب أن يكون m مضاعفًا لـ p .      

$${\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}}$$

هو عدد صحيح. بعبارة أخرى،

$${\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.}$$

_{الآن ،} قسّم السلسلة a1 a2 ... aℓ إلى h أجزاء متساوية طول كل منها _{k ،} ولتكن هذه الأجزاء تمثل الأعداد الصحيحة N0 ... Nh _{- 1} في النظام العددي ذي _{الأساس b} ، بحيث  

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}}$$

لإثبات نظرية ميدي الموسعة في الأساس b، _يجب أن نبين أن مجموع الأعداد الصحيحة h Ni هو مضاعف لـ b ^k − 1.  

بما أن b ^k يطابق 1 بتردد b ^k − 1، فإن أي قوة لـ b ^k ستكون أيضًا مطابقة لـ 1 بتردد b ^k − 1.    

$${\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}}$$$${\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}}$$$${\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}}$$

مما يثبت نظرية ميدي الموسعة في الأساس b .

لإثبات نظرية ميدي الأصلية، نأخذ الحالة الخاصة حيث h = 2. لاحظ أن N0 و N1 يُمثَّلان بسلاسل من k خانة في النظام _العددي ذي الأساس b، _لذا فإن كليهما يحققان

$${\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}$$

لا يمكن أن تساوي كل من N0 و N1 _الصفر (وإلا فإن a / p = 0) _، ولا يمكن أن تساوي كل منهما bk ⁻ 1 (وإلا فإن a / p = 1)، لذلك  

$${\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}$$

وبما أن N ₀  + N ₁ هو مضاعف لـ b ^k − 1، فإنه يترتب على ذلك أن   

$${\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}$$

مما سبق، $${\displaystyle {\frac {am}{p}}}$$هو عدد صحيح

هكذا${\displaystyle m\equiv 0{\pmod {p}}}$

وهكذا لـ${\displaystyle k={\frac {\ell }{2}}}$

$${\displaystyle b^{\ell /2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$$

ل${\displaystyle k={\frac {\ell }{3}}}$وهو عدد صحيح

$${\displaystyle b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$$

وهكذا دواليك.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية ميدي" . عالم الرياضيات .