التمثيل العشري

التمثيل العشري لعدد حقيقي غير سالب r هو تعبيره كسلسلة من الرموز تتكون من أرقام عشرية مكتوبة تقليديًا بفاصل واحد: $${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots }$$ هنا ، . هو الفاصل العشري ، و k عدد صحيح غير سالب ، و${\displaystyle b_{0},\cdots ,b_{k},a_{1},a_{2},\cdots }$الأرقام هي رموز تمثل الأعداد الصحيحة في النطاق من 0 إلى 9 .

عادة،${\displaystyle b_{k}\neq 0}$لو${\displaystyle k\geq 1.}$تسلسل${\displaystyle a_{i}}$—الأرقام التي تلي النقطة— تكون عادةً لانهائية . إذا كانت محدودة، يُفترض أن الأرقام المفقودة تساوي صفرًا. إذا كانت جميعها${\displaystyle a_{i}}$إذا كانت قيمة الفاصلة صفرًا ، فسيتم حذف الفاصل أيضًا، مما ينتج عنه تسلسل محدود من الأرقام، والذي يمثل عددًا طبيعيًا .

يمثل التمثيل العشري المجموع اللانهائي : $${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

لكل عدد حقيقي غير سالب تمثيل واحد على الأقل من هذا النوع؛ وله تمثيلان من هذا النوع (مع${\displaystyle b_{k}\neq 0}$لو${\displaystyle k>0}$يتحقق الشرط ) إذا وفقط إذا كان لأحدهما متتالية لانهائية لاحقة من 0 ، وللآخر متتالية لانهائية لاحقة من 9. ولتحقيق تناظر واحد لواحد بين الأعداد الحقيقية غير السالبة وتمثيلاتها العشرية، تُستثنى أحيانًا التمثيلات العشرية التي تنتهي بمتتالية لانهائية من 9. ^{[ 1 ]}

العدد الطبيعي${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$يُطلق على ، الجزء الصحيح من r ، ويُرمز إليه بالرقم ₀ في بقية هذه المقالة. تسلسل${\displaystyle a_{i}}$يمثل الرقم $${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$ والتي تنتمي إلى الفترة${\displaystyle [0,1),}$ويُطلق عليه الجزء الكسري من r (باستثناء عندما يكون كل${\displaystyle a_{i}}$يساوي 9 ).

يمكن تقريب أي عدد حقيقي إلى أي درجة مطلوبة من الدقة بواسطة الأعداد النسبية ذات التمثيلات العشرية المحدودة.

يفترض${\displaystyle x\geq 0}$ثم لكل عدد صحيح${\displaystyle n\geq 1}$يوجد عدد عشري محدود${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$بحيث:

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

البرهان : ليكن${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$، أين${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$. ثم${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$والنتيجة تترتب على قسمة جميع الأطراف على${\displaystyle 10^{n}}$(حقيقة أن${\displaystyle r_{n}}$(يمكن إثبات أن لها تمثيلاً عشرياً محدوداً بسهولة.)

بعض الأرقام الحقيقية${\displaystyle x}$للعدد تمثيلان عشريان لانهائيان. على سبيل المثال، يمكن تمثيل العدد 1 بنفس الطريقة باستخدام 1.000... أو 0.999... (حيث تُمثل التسلسلات اللانهائية من الأصفار أو التسعات اللاحقة، على التوالي، بـ "..."). جرت العادة على تفضيل التمثيل العشري بدون التسعات اللاحقة. علاوة على ذلك، في التمثيل العشري القياسي لـ${\displaystyle x}$، سلسلة لا نهائية من الأصفار اللاحقة التي تظهر بعد حذف الفاصلة العشرية ، بالإضافة إلى الفاصلة العشرية نفسها إذا${\displaystyle x}$هو عدد صحيح.

إجراءات معينة لإنشاء التمثيل العشري لـ${\displaystyle x}$سيؤدي ذلك إلى تجنب مشكلة الرقم 9 في نهاية العدد. على سبيل المثال، ستعطي الخوارزمية التالية التمثيل العشري القياسي: معطى${\displaystyle x\geq 0}$، نبدأ أولاً بتعريف${\displaystyle a_{0}}$( الجزء الصحيح من${\displaystyle x}$) ليكون أكبر عدد صحيح بحيث${\displaystyle a_{0}\leq x}$(أي،${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$). لو${\displaystyle x=a_{0}}$ينتهي الإجراء. وإلا، فـ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$بعد العثور عليها بالفعل، نحدد${\displaystyle a_{k}}$استقرائياً ليكون أكبر عدد صحيح بحيث:

$${\displaystyle a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\leq x.}$$

*

ينتهي الإجراء متى ما${\displaystyle a_{k}}$يُعثر على قيمة تحقق المساواة في ( * ) ؛ وإلا، فإنها تستمر إلى ما لا نهاية لتُعطي سلسلة لانهائية من الأرقام العشرية. ويمكن إثبات ذلك.${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$^{[ 2 ]} (يكتب عادةً على النحو التالي)${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$)، أين${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$والعدد الصحيح غير السالب${\displaystyle a_{0}}$يتم تمثيلها بالصيغة العشرية . يتم توسيع هذا البناء ليشمل${\displaystyle x<0}$بتطبيق الإجراء المذكور أعلاه على${\displaystyle -x>0}$ويرمز إلى التوسع العشري الناتج بـ${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$.

يمكن تحويل كل تمثيل عشري لعدد نسبي إلى كسر عن طريق تحويله إلى مجموع الأجزاء الصحيحة وغير المتكررة والمتكررة، ثم تحويل هذا المجموع إلى كسر واحد بمقام مشترك.

على سبيل المثال، لتحويل${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$إلى جزء صغير، نلاحظ اللمة: $${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}}$$

وبالتالي يتم التحويل على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

إذا لم تكن هناك أرقام متكررة، يُفترض وجود صفر متكرر إلى الأبد، على سبيل المثال${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$، على الرغم من أن ذلك يجعل الحد المتكرر صفرًا، فإن المجموع يتبسط إلى حدين وتحويل أبسط.

على سبيل المثال: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

• عشري
• المتسلسلات (الرياضيات)
• IEEE 754
• سايمون ستيفن

• أبوستول، توم (1974). التحليل الرياضي (  الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي .
• سافارد، جون جي جي (2018) [2006]. "التمثيلات العشرية" . كوادريبلوك . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16-07-2018 . تم الاسترجاع بتاريخ 16-07-2018 .