ثماني

أنظمة الأرقام والبتات والرمز الرمادي

عرافة	ديسمبر	أكتوبر	3	2	1	0	خطوة
0 سداسي	00 ديسمبر	00 أكتوبر	0	0	0	0	ج0
1 سداسي	01 ديسمبر	01 أكتوبر	0	0	0	1	ح1
2 سداسي	02 ديسمبر	02 أكتوبر	0	0	1	0	ج3
3 سداسي	03 ديسمبر	03 أكتوبر	0	0	1	1	أنا2
4 سداسي	04 ديسمبر	04 أكتوبر	0	1	0	0	ن7
5 سداسي	05 ديسمبر	05 أكتوبر	0	1	0	1	م6
6 سداسي	06 ديسمبر	06 أكتوبر	0	1	1	0	ك4
7 سداسي	07 ديسمبر	07 أكتوبر	0	1	1	1	ل5
8 سداسي	08 ديسمبر	10 أكتوبر	1	0	0	0	فف
9 سداسي	09 ديسمبر	11 أكتوبر	1	0	0	1	انتهـ
سداسي​	10 ديسمبر	12 أكتوبر	1	0	1	0	سج
ب سداسي	11 ديسمبر	13 أكتوبر	1	0	1	1	تد
سداسى C	12 ديسمبر	14 أكتوبر	1	1	0	0	اوه8
د سداسي	13 ديسمبر	15 أكتوبر	1	1	0	1	ص9
هـ سداسي	14 ديسمبر	16 أكتوبر	1	1	1	0	رب
F سداسي	15 ديسمبر	17 أكتوبر	1	1	1	1	سأ

جزء من سلسلة عن
أنظمة الأرقام
تدوين القيمة المكانية الأرقام الهندية العربية العربية الغربية العربية الشرقية البنغالية ديفاناجاري الغوجاراتية جورموكي أوديا السنهالية التاميلية المالايالامية التيلجو كانادا دزونغا التبتية بالينيزي البورمية الجاوية الخميرية لاو المنغولية اللغة السوندانية تايلاندي أنظمة شرق آسيا معاصر الصينية سوتشو هوكين اليابانية كوري الفيتنامية تاريخي قضبان العد تانغوت أنظمة أخرى تاريخ عتيق البابلي ما بعد الكلاسيكية سيسترسيان المايا مويسكا خماسي كويبو جلال الدين الرومي معاصر شيروكي كاكتوفيك (إينوبياك) حسب الجذر/القاعدة الجذور/القواعد المشتركة 2 3 4 5 6 8 10 12 16 20 60 الجذور/القواعد غير القياسية ثنائي الاتجاه  ( 1 ) رقم موقّع  ( ثلاثي متوازن ) مختلط  ( عاملي ) سلبي مجمع  ( 2 )​ عدد غير صحيح  ( φ ) غير متماثل
تدوين القيمة والعلامة غير أبجدي بحر ايجه علية أزتيك براهمي تشوفاش مصري إتروسكان خاروستي العد ما قبل التاريخ الكتابة المسمارية البدائية روماني علامات العد أبجدي أبجد الأرمنية أبجدي مقطعي أكساراباللي أريابهاتا كاتابايادي قبطية السيريلية الجعزية جورجي غلاغوليتيك اليونانية العبرية
قائمة الأنظمة العددية
ف ت هـ

النظام الثماني ( القاعدة 8 ) هو نظام عددي قاعدته ثمانية .

في النظام العشري، كل خانة هي قوة للعدد عشرة . على سبيل المثال:

${\displaystyle \mathbf {74} _{10}=\mathbf {7} \times 10^{1}+\mathbf {4} \times 10^{0}}$

في النظام الثماني، كل خانة هي قوة للرقم ثمانية. على سبيل المثال:

${\displaystyle \mathbf {112} _{8}=\mathbf {1} \times 8^{2}+\mathbf {1} \times 8^{1}+\mathbf {2} \times 8^{0}}$

من خلال إجراء الحساب أعلاه بالنظام العشري المألوف، نرى لماذا 112 في النظام الثماني يساوي في النظام العشري. ${\displaystyle 64+8+2=74}$

يمكن تحويل الأرقام الثمانية بسهولة من التمثيلات الثنائية (على غرار نظام الأرقام الرباعية ) عن طريق تجميع الأرقام الثنائية المتتالية في مجموعات من ثلاثة (بدءًا من اليمين، للأعداد الصحيحة). على سبيل المثال، التمثيل الثنائي للعدد العشري 74 هو 1001010. يمكن إضافة صفرين على اليسار: (00)1 001 010 ، المقابلة للأرقام الثمانية 1 1 2 ، مما ينتج عنه التمثيل الثماني 112.

جدول الضرب الثماني

×	1	2	3	4	5	6	7	10
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	4	6	10	12	14	16	20
3	3	6	11	14	17	22	25	30
4	4	10	14	20	24	30	34	40
5	5	12	17	24	31	36	43	50
6	6	14	22	30	36	44	52	60
7	7	16	25	34	43	52	61	70
10	10	20	30	40	50	60	70	100

تتوافق الباجوا الثمانية أو الثلاثيات الثمانية في كتاب التغييرات مع الأرقام الثمانية:

• 0 = ☷، 1 = ☳، 2 = ☵، 3 = ☱،
• 4 = ☶، 5 = ☲، 6 = ☴، 7 = ☰.

قام جوتفريد فيلهلم لايبنتز بإجراء الربط بين الثلاثيات والسداسيات والأعداد الثنائية في عام 1703. ^[1]

• اللغة اليوكي في كاليفورنيا لديها نظام ثماني لأن المتحدثين بها يقومون بالعد باستخدام المسافات بين أصابعهم وليس الأصابع نفسها. ^[2]
• اللغات البامية في المكسيك لها أيضًا نظام ثماني، لأن المتحدثين بها يعتمدون على مفاصل القبضة المغلقة. ^[3]

• وقد اقترح البعض أن الكلمة الهندو أوروبية البدائية المعاد بناؤها والتي تعني "تسعة" قد تكون مرتبطة بالكلمة الهندو أوروبية البدائية والتي تعني "جديد". وبناءً على ذلك، تكهن البعض بأن الهندو أوروبية البدائية استخدمت نظامًا رقميًا ثمانيًا، على الرغم من أن الأدلة التي تدعم هذا ضئيلة. ^[4]
• في عام 1668، اقترح جون ويلكنز في مقال نحو شخصية حقيقية ولغة فلسفية استخدام القاعدة 8 بدلاً من 10 "لأن طريقة التقسيم الثنائي أو التقسيم الثنائي هي النوع الأكثر طبيعية وسهولة من التقسيم، فإن هذا العدد قادر على تقليص هذا إلى وحدة". ^[5]
• في عام 1716، طلب الملك تشارلز الثاني عشر ملك السويد من إيمانويل سويدنبورج وضع نظام عددي يعتمد على 64 بدلاً من 10. ومع ذلك، جادل سويدنبورج بأن مثل هذه القاعدة الكبيرة ستكون صعبة للغاية بالنسبة للأشخاص الذين لديهم ذكاء أقل من الملك واقترح بدلاً من ذلك 8 كقاعدة. في عام 1718، كتب سويدنبورج (ولكن لم ينشر) مخطوطة: " En ny rekenkonst som om vexlas wid Thalet 8 i stelle then wanliga wid Thalet 10 " ("حساب جديد (أو فن العد) يتغير عند الرقم 8 بدلاً من المعتاد عند الرقم 10"). يتم الإشارة إلى الأرقام من 1 إلى 7 هناك بالحروف الساكنة l و s و n و m و t و f و u (v) والصفر بحرف العلة o. وبالتالي 8 = "lo"، 16 = "so"، 24 = "no"، 64 = "loo"، 512 = "looo" وهكذا. يتم نطق الأرقام التي تحتوي على حروف ساكنة متتالية بأصوات حروف العلة بينها وفقًا لقاعدة خاصة. ^[6]
• في مقال كتبه تحت الاسم المستعار "Hirossa Ap-Iccim" في مجلة The Gentleman's Magazine (لندن) في يوليو 1745، اقترح هيو جونز نظامًا ثمانيًا للعملات المعدنية والأوزان والمقاييس البريطانية. "إن العقل والملاءمة يشيران إلينا إلى معيار موحد لجميع الكميات؛ والذي سأطلق عليه المعيار الجورجي ؛ وهو تقسيم كل عدد صحيح في كل نوع إلى ثمانية أجزاء متساوية، وكل جزء مرة أخرى إلى ثمانية جسيمات حقيقية أو وهمية، بقدر ما هو ضروري. فبالرغم من أن جميع الأمم تحسب عالميًا بالعشرات ( والتي نشأت في الأصل بسبب عدد الأرقام في كلتا اليدين)، إلا أن الرقم 8 هو رقم أكثر اكتمالًا وراحة؛ لأنه قابل للقسمة إلى أنصاف وأرباع وأنصاف أرباع (أو وحدات) دون كسر، حيث لا يمكن تقسيم العشرة إلى كسر..." وفي أطروحة لاحقة عن حساب الأوكتاف (1753) استنتج جونز: "يبدو الحساب بالثمانيات أكثر قبولًا لطبيعة الأشياء، وبالتالي يمكن تسميته بالحساب الطبيعي في مقابل الحساب المستخدم الآن، بالعقود؛ والذي يمكن اعتباره حسابًا اصطناعيًا." ^[7]
• في عام 1801، انتقد جيمس أندرسون الفرنسيين لتأسيسهم النظام المتري على الحساب العشري. واقترح القاعدة 8، والتي صاغ لها مصطلح الثماني . كان عمله يهدف إلى الرياضيات الترفيهية، لكنه اقترح نظامًا ثمانيًا بحتًا للأوزان والمقاييس ولاحظ أن النظام الإنجليزي الحالي للوحدات كان بالفعل، إلى حد كبير، نظامًا ثمانيًا. ^[8]
• في منتصف القرن التاسع عشر، خلص ألفريد ب. تايلور إلى أن " نظامنا الأساسي الثماني [القاعدة 8] هو، بالتالي، بلا أي مقارنة، " أفضل نظام ممكن " لنظام حسابي". وتضمن الاقتراح تدوينًا بيانيًا للأرقام وأسماء جديدة للأعداد، مما يشير إلى أنه يجب علينا حساب " un ، du ، the ، fo ، pa ، se ، ki ، unty ، unty-un ، unty-du " وما إلى ذلك، مع مضاعفات متتالية من ثمانية تسمى " unty ، duty ، thety ، foty ، paty ، sety ، kity و under ". على سبيل المثال، سيتم نطق الرقم 65 (101 في النظام الثماني) في النظام الثماني على أنه under-un . ^{[9] [10]} أعاد تايلور أيضًا نشر بعض أعمال سويدنبورج حول النظام الثماني كملحق للمنشورات المذكورة أعلاه.

أصبح نظام الثماني مستخدمًا على نطاق واسع في الحوسبة عندما استخدمت أنظمة مثل UNIVAC 1050 و PDP-8 و ICL 1900 وأجهزة الكمبيوتر المركزية من IBM كلمات ذات 6 بتات أو 12 بتًا أو 24 بتًا أو 36 بتًا . كان نظام الثماني اختصارًا مثاليًا للثنائي لهذه الآلات لأن حجم كلماتها قابل للقسمة على ثلاثة (يمثل كل رقم ثماني ثلاثة أرقام ثنائية). لذا يمكن لرقمين أو أربعة أو ثمانية أو اثني عشر رقمًا عرض كلمة آلة كاملة بإيجاز . كما خفض التكاليف من خلال السماح باستخدام أنابيب نيكسي وشاشات ذات سبعة أجزاء وآلات حاسبة لوحدات تحكم المشغل، حيث كانت الشاشات الثنائية معقدة للغاية بحيث لا يمكن استخدامها، وكانت الشاشات العشرية تحتاج إلى أجهزة معقدة لتحويل الجذور، وكانت الشاشات السداسية عشرية بحاجة إلى عرض المزيد من الأرقام.

ومع ذلك، تستخدم جميع منصات الحوسبة الحديثة كلمات مكونة من 16 أو 32 أو 64 بتًا، مقسمة بدورها إلى بايتات مكونة من ثمانية بتات . وفي مثل هذه الأنظمة، يلزم وجود ثلاثة أرقام ثماني لكل بايت، حيث يمثل الرقم الثماني الأكثر أهمية رقمين ثنائيين (بالإضافة إلى بت واحد من البايت المهم التالي، إن وجد). يتطلب التمثيل الثماني لكلمة مكونة من 16 بتًا 6 أرقام، لكن الرقم الثماني الأكثر أهمية يمثل (بطريقة غير أنيقة تمامًا) بتًا واحدًا فقط (0 أو 1). لا يوفر هذا التمثيل أي طريقة لقراءة البايت الأكثر أهمية بسهولة، لأنه ملطخ بأربعة أرقام ثماني. لذلك، يتم استخدام النظام السداسي عشر بشكل أكثر شيوعًا في لغات البرمجة اليوم، حيث يحدد رقمان سداسي عشريان بايتًا واحدًا بالضبط. لا تزال بعض المنصات ذات حجم الكلمة بقوة اثنين تحتوي على كلمات فرعية للتعليمات يسهل فهمها إذا تم عرضها بالثماني؛ ويشمل ذلك عائلة PDP-11 و Motorola 68000 . تنتمي بنية x86 الحديثة الشائعة إلى هذه الفئة أيضًا، ولكن نادرًا ما يتم استخدام نظام الثماني على هذه المنصة، على الرغم من أن بعض خصائص الترميز الثنائي للرموز التشغيلية تصبح أكثر وضوحًا عند عرضها بالنظام الثماني، على سبيل المثال بايت ModRM، والذي ينقسم إلى حقول من 2 و3 و3 بتات، لذلك يمكن أن يكون النظام الثماني مفيدًا في وصف هذه الترميزات. قبل توفر المجمعات ، كان بعض المبرمجين يقومون بترميز البرامج يدويًا بالنظام الثماني؛ على سبيل المثال، كتب ديك ويبل وجون أرنولد برنامج Tiny BASIC Extended مباشرةً في التعليمات البرمجية الآلية، باستخدام النظام الثماني. ^[11]

يُستخدم النظام الثماني أحيانًا في الحوسبة بدلًا من النظام السداسي عشر، وربما يكون هذا هو الحال في العصر الحديث بالتزامن مع أذونات الملفات في أنظمة يونكس (انظر chmod ). ويتميز بعدم الحاجة إلى أي رموز إضافية كأرقام (النظام السداسي عشر هو أساس 16 وبالتالي يحتاج إلى ستة رموز إضافية تتجاوز 0-9).

في لغات البرمجة، يتم التعرف على الأحرف الثمانية عادةً بمجموعة متنوعة من البادئات ، بما في ذلك الرقم 0أو الحروف oأو qأو تركيبة الرقم والحرف 0oأو الرمز &^[12] أو $. في اتفاقية موتورولا ، يتم وضع البادئة للأرقام الثمانية ، بينما تتم إضافة حرف @صغير (أو كبير ^[13] ) o^[13] أو q^[13] كلاحقة وفقًا لاتفاقية إنتل . ^{[14] [15]} في Concurrent DOS و Multiuser DOS و REAL/32 وكذلك في DOS Plus و DR-DOS، تدعم متغيرات البيئة المختلفة مثل $CLS و $ON و $OFF و $HEADER أو $FOOTER\nnn تدوين الأرقام الثمانية، ^{[16] [17] [18]} ويستخدم DR-DOS DEBUG\ لوضع بادئة للأرقام الثمانية أيضًا.

على سبيل المثال، قد يتم تمثيل الرقم 73 الحرفي (القاعدة 8) على هيئة 073، o73، q73، ، 0o73، \73، @73، &73، $73أو 73oفي لغات مختلفة.

تخلت اللغات الأحدث عن البادئة ، حيث غالبًا ما يتم تمثيل الأرقام العشرية بأصفار بادئة. تم تقديم 0البادئة لتجنب الخلط بين البادئة والصفر، بينما تم تقديم البادئة لتجنب بدء حرف رقمي بحرف أبجدي (مثل أو )، لأن هذا قد يتسبب في الخلط بين الحرف واسم المتغير. تتبع البادئة أيضًا النموذج الذي حددته البادئة المستخدمة للأحرف السداسية عشرية في لغة C ؛ يتم دعمه بواسطة Haskell ، ^{[19] و} OCaml ، ^{[20] و} Python اعتبارًا من الإصدار 3.0، ^{[21] و} Raku ، ^{[22] و} Ruby ، ^{[23] و} Tcl اعتبارًا من الإصدار 9، ^[24] وPHP اعتبارًا من الإصدار 8.1، ^{[25] و} Rust ^[26] و ECMAScript اعتبارًا من ECMAScript 6 ^[27] (كانت البادئة في الأصل تعني القاعدة 8 في JavaScript ولكنها قد تسبب ارتباكًا، ^[28] لذلك تم تثبيطها في ECMAScript 3 وتم إسقاطها في ECMAScript 5 ^[29] ). qo0ooq0o0x 0

الأرقام الثمانية المستخدمة في بعض لغات البرمجة (C، Perl ، PostScript ...) للتمثيلات النصية/الرسومية لسلاسل البايتات عندما يتعين الإفلات من بعض قيم البايتات (غير الممثلة في صفحة التعليمات البرمجية، أو غير الرسومية، أو ذات المعنى الخاص في السياق الحالي أو غير المرغوب فيها) مثل . \nnnقد يكون التمثيل الثماني مفيدًا بشكل خاص مع بايتات UTF-8 غير ASCII ، والتي تشفر مجموعات من 6 بتات، وحيث يكون لأي بايت بداية قيمة ثماني \3nnوأي بايت استمرار قيمة ثماني \2nn.

تم استخدام Octal أيضًا للنقطة العائمة في أجهزة الكمبيوتر Ferranti Atlas (1962)، و Burroughs B5500 (1964)، وBurroughs B5700 (1971)، و Burroughs B6700 (1971)، و Burroughs B7700 (1972).

ترسل أجهزة الإرسال والاستقبال في الطائرات رمز "الصرخة" ، والذي يتم التعبير عنه برقم مكون من أربعة أرقام ثمانية، عندما يتم استجوابه بواسطة الرادار الأرضي. ويستخدم هذا الرمز للتمييز بين الطائرات المختلفة على شاشة الرادار.

لتحويل الأعداد العشرية الصحيحة إلى ثماني، اقسم الرقم الأصلي على أكبر قوة ممكنة للرقم 8 واقسم الباقي على قوى أصغر على التوالي للرقم 8 حتى يصبح الأس 1. يتكون التمثيل الثماني من الحصص المكتوبة بالترتيب الذي تم إنشاؤه بواسطة الخوارزمية. على سبيل المثال، لتحويل 125 ₁₀ إلى ثماني:

125 = 8 ² × 1 + 61

61 = 8 ¹ × 7 + 5

5 = 8 ⁰ × 5 + 0

وبالتالي، 125 ₁₀ = 175 ₈ .

مثال آخر:

900 = 8 ³ × 1 + 388

388 = 8 ² × 6 + 4

4 = 8 ¹ × 0 + 4

4 = 8 ⁰ × 4 + 0

وبالتالي، 900 ₁₀ = 1604 ₈ .

لتحويل كسر عشري إلى ثماني، اضرب في 8؛ الجزء الصحيح من النتيجة هو الرقم الأول من الكسر الثماني. كرر العملية مع الجزء الكسري من النتيجة، حتى يصبح فارغًا أو ضمن حدود الخطأ المقبولة.

مثال: تحويل 0.1640625 إلى ثماني:

0.1640625 × 8 = 1.3125 = 1 + 0.3125

0.3125 × 8 = 2.5 = 2 + 0.5

0.5 × 8 = 4.0 = 4 + 0

لذلك، 0.1640625 · ₁₀ = 0.124 · ₈ .

يمكن دمج هاتين الطريقتين للتعامل مع الأعداد العشرية ذات الأجزاء الصحيحة والكسرية، باستخدام الطريقة الأولى على الجزء الصحيح والثانية على الجزء الكسري.

لتحويل الأعداد العشرية الصحيحة إلى ثماني، ضع البادئة "0" للرقم. نفّذ الخطوات التالية طالما بقيت الأرقام على الجانب الأيمن من الأساس: ضاعف القيمة إلى الجانب الأيسر من الأساس، باستخدام قواعد الثمانية ، وحرك نقطة الأساس رقمًا واحدًا إلى اليمين، ثم ضع القيمة المضاعفة أسفل القيمة الحالية بحيث تتماشى نقاط الأساس. إذا عبرت نقطة الأساس المنقولة عن رقم 8 أو 9، فحوّله إلى 0 أو 1 وأضف الحمل إلى الرقم الأيسر التالي للقيمة الحالية. أضف ثمانيًا تلك الأرقام إلى يسار الأساس وأسقط تلك الأرقام ببساطة إلى اليمين، دون تعديل.

مثال:

0.4 9 1 8 قيمة عشرية
  +0
 ---------
   4.9 1 8
  +1 0
  --------
   6 1.1 8
  +1 4 2
  --------
   7 5 3.8
  +1 7 2 6
  --------
 1 1 4 6 6. القيمة الثماني

لتحويل عدد k إلى عدد عشري، استخدم الصيغة التي تحدد تمثيله بقاعدة 8:

${\displaystyle k=\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}\times 8^{i}\right)}$

في هذه الصيغة، i هو رقم ثماني فردي يتم تحويله، حيث i هو موضع الرقم (يبدأ العد من 0 للرقم الموجود في أقصى اليمين) _.

مثال: تحويل 764 ₈ إلى عدد عشري:

764 ₈ = 7 × 8 ² + 6 × 8 ¹ + 4 × 8 ⁰ = 448 + 48 + 4 = 500 ₁₀

بالنسبة للأعداد الثمانية المكونة من رقمين، فإن هذه الطريقة تتلخص في ضرب الرقم الأول في 8 وإضافة الرقم الثاني للحصول على الإجمالي.

مثال: 65 ₈ = 6 × 8 + 5 = 53 ₁₀

لتحويل الأعداد الثمانية إلى أعداد عشرية، ضع البادئة "0" قبل الرقم. قم بتنفيذ الخطوات التالية طالما بقيت الأرقام على الجانب الأيمن من الأساس: ضاعف القيمة إلى الجانب الأيسر من الأساس، باستخدام قواعد الأعداد العشرية ، وحرك نقطة الأساس رقمًا واحدًا إلى اليمين، ثم ضع القيمة المضاعفة أسفل القيمة الحالية بحيث تتماشى نقاط الأساس. اطرح الأرقام الموجودة على يسار الأساس عشريًا ثم انزل تلك الأرقام إلى اليمين ببساطة، دون تعديل.

مثال:

0.1 1 4 6 6 قيمة ثمانيّة
  -0
 -----------
   1.1 4 6 6
  - 2
  ----------
     9.4 6 6
  - 1 8
  ----------
     7 6.6 6
  - 1 5 2
  ----------
     6 1 4.6
  - 1 2 2 8
  ----------
     4 9 1 8. القيمة العشرية

لتحويل العدد الثماني إلى ثنائي، استبدل كل رقم ثماني بالتمثيل الثنائي الخاص به.

مثال: تحويل 51 ₈ إلى ثنائي:

5 ₈ = 101 ₂

1 ₈ = 001 ₂

وبالتالي، 51 ₈ = 101 001 ₂ .

العملية هي عكس الخوارزمية السابقة. يتم تجميع الأرقام الثنائية حسب ثلاثة، بدءًا من البت الأقل أهمية والانتقال إلى اليسار واليمين. أضف أصفارًا أولية (أو أصفارًا لاحقة إلى يمين الفاصلة العشرية) لملء المجموعة الأخيرة من الثلاثة إذا لزم الأمر. ثم استبدل كل ثلاثية بالرقم الثماني المكافئ.

على سبيل المثال، قم بتحويل الثنائي 1010111100 إلى ثماني:

001	010	111	100
1	2	7	4

وبالتالي، 1010111100 ₂ = 1274 ₈ .

تحويل الثنائي 11100.01001 إلى ثماني:

011	100	.	010	010
3	4	.	2	2

لذلك، 11100.01001 ₂ = 34.22 ₈ .

يتم التحويل على خطوتين باستخدام النظام الثنائي كقاعدة وسيطة. يتم تحويل النظام الثماني إلى ثنائي ثم إلى سداسي عشر، مع تجميع الأرقام على شكل أربعة، كل منها يتوافق مع رقم سداسي عشري.

على سبيل المثال، قم بتحويل الرقم الثماني 1057 إلى النظام السداسي عشر:

إلى الثنائي:

1	0	5	7
001	000	101	111

ثم إلى النظام السداسي عشر:

0010	0010	1111
2	2	ف

لذلك، 1057 ₈ = 22F ₁₆ .

يتم تحويل النظام السداسي عشري إلى النظام الثماني عن طريق تحويل الأرقام السداسية عشرية أولاً إلى قيم ثنائية مكونة من 4 بتات، ثم إعادة تجميع البتات الثنائية إلى أرقام ثماني مكونة من 3 بتات.

على سبيل المثال، لتحويل 3FA5 ₁₆ :

إلى الثنائي:

3	ف	أ	5
0011	1111	1010	0101

ثم إلى ثماني:

0	011	111	110	100	101
0	3	7	6	4	5

لذلك، 3FA5 ₁₆ = 37645 ₈ .

نظرًا لوجود عوامل اثنين فقط، فإن العديد من الكسور الثمانية تحتوي على أرقام متكررة، على الرغم من أنها تميل إلى أن تكون بسيطة إلى حد ما:

الأساس العشري العوامل الأولية للأساس: 2 ، 5 العوامل الأولية للأساس الواحد أسفل الأساس: 3 العوامل الأولية للأساس الواحد أعلى الأساس: 11 العوامل الأولية الأخرى: 7 13 17 19 23 29 31			قاعدة ثماني العوامل الأولية للقاعدة: 2 العوامل الأولية للعدد الأول أسفل القاعدة: 7 العوامل الأولية للعدد الأول أعلى القاعدة: 3 عوامل أولية أخرى: 5 13 15 21 23 27 35 37
جزء	العوامل الأولية للمقام	التمثيل الموضعي	التمثيل الموضعي	العوامل الأولية للمقام	جزء
1/2	2	0.5	0.4	2	1/2
1/3	3	0. 3333... = 0. 3	0. 2525... = 0. 25	3	1/3
1/4	2	0.25	0.2	2	1/4
1/5	5	0.2	0. 1463	5	1/5
1/6	2 ، 3	0.1 6	0.1 25	2 ، 3	1/6
1/7	7	0. 142857	0.1​	7	1/7
1/8	2	0.125	0.1	2	1/10
1/9	3	0.1​	0.07​	3	1/11
1/10	2 ، 5	0.1	0.0 6314	2 ، 5	1/12
1/11	11	0.09​	0. 0564272135	13	1/13
1/12	2 ، 3	0.08 3	0.0 52	2 ، 3	1/14
1/13	13	0.076923​	0.0473​	15	1/15
1/14	2 ، 7	0.0 714285	0.0 4	2 ، 7	1/16
1/15	3 ، 5	0.0 6	0.0421​	3 ، 5	1/17
1/16	2	0.0625	0.04	2	1/20
1/17	17	0. 0588235294117647	0. 03607417	21	1/21
1/18	2 ، 3	0.0 5	0.0 34	2 ، 3	1/22
1/19	19	0. 052631578947368421	0.032745​	23	1/23
1/20	2 ، 5	0.05	0.0 3146	2 ، 5	1/24
1/21	3 ، 7	0.047619​	0.03​	3 ، 7	1/25
1/22	2 ، 11	0.0 45	0.0 2721350564	2 ، 13	1/26
1/23	23	0. 0434782608695652173913	0. 02620544131	27	1/27
1/24	2 ، 3	0.041 6	0.0 25	2 ، 3	1/30
1/25	5	0.04	0. 02436560507534121727	5	1/31
1/26	2 ، 13	0.0 384615	0.0 2354	2 ، 15	1/32
1/27	3	0.037​	0.022755​	3	1/33
1/28	2 ، 7	0.03 571428	0.0 2	2 ، 7	1/34
1/29	29	0. 0344827586206896551724137931	0. 0215173454106475626043236713	35	1/35
1/30	2 ، 3 ، 5	0.0 3	0.0 2104	2 ، 3 ، 5	1/36
1/31	31	0. 032258064516129	0.02041​	37	1/37
1/32	2	0.03125	0.02	2	1/40

يوضح الجدول أدناه التوسعات لبعض الأعداد غير النسبية الشائعة في النظام العشري والثماني.

رقم	التمثيل الموضعي
	عشري	ثماني
√ 2 (طول قطر المربع الوحدوي )	1.414 213 562 373 095 048 ...	1.3240 4746 3177 1674...
√ 3 (طول قطر المكعب الوحدوي )	1.732 050 807 568 877 293 ...	1.5666 3656 4130 2312...
√ 5 (طول قطر المستطيل 1 ×2 )	2.236 067 977 499 789 696 ...	2.1706 7363 3457 7224...
φ (فاي، النسبة الذهبية = (1+ √ 5 )/2 )	1.618 033 988 749 894 848 ...	1.4743 3571 5627 7512...
π (باي، نسبة محيط الدائرة إلى قطرها )	3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 ...	3.1103 7552 4210 2643...
e (قاعدة اللوغاريتم الطبيعي )	2.718 281 828 459 045 235 ...	2.5576 0521 3050 5355...

• تنسيق الأرقام في الكمبيوتر  – التمثيل الداخلي للقيم الرقمية في الكمبيوتر الرقمي
• الألعاب الثماني ، نظام ترقيم الألعاب المستخدم في نظرية الألعاب التوليفية
• تقسيم الثماني ، وهو تدوين ثماني مكون من 16 بتًا يستخدمه Heath Company وDEC وغيرهما
• كود Squawk ، تمثيل ثماني مكون من 12 بتًا لكود Gillham
• ثماني مقاطع ، تمثيل ثماني لمقاطع مكونة من 8 بتات تستخدمها الآلات الكهربائية الإنجليزية

• Octomatics هو نظام رقمي يسمح بإجراء حساب بصري بسيط في النظام الثماني.
• يقوم المحول الثماني بإجراء تحويلات ثنائية الاتجاه بين النظام الثماني والعشري.