دالة توزيع ويغنر المعدلة

ملاحظة: تم اختصار دالة توزيع ويغنر هنا إلى WD بدلاً من WDF كما هو مستخدم في دالة توزيع ويغنر

دالة توزيع ويغنر المعدلة هي شكل مختلف من دالة توزيع ويغنر (WD) مع تقليل أو إزالة الحدود المتقاطعة.

طُرح توزيع ويغنر (WD) لأول مرة عام 1932 لتصحيح الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية على يد يوجين ويغنر . ويُستخدم توزيع ويغنر ، أو توزيع ويغنر - فيل (WVD) للإشارات التحليلية، في تحليل التردد الزمني. ويُوفر توزيع ويغنر تحديدًا أفضل للحدود الذاتية مقارنةً بالمخطط الطيفي المُمدد (SP). إلا أنه عند تطبيقه على إشارة ذات مكونات متعددة الترددات، تظهر حدود متقاطعة نتيجةً لطبيعته التربيعية. وقد طُرحت عدة طرق لتقليل هذه الحدود المتقاطعة. فعلى سبيل المثال، اقترح ليوبيشا ستانكوفيتش عام 1994 تقنية جديدة، تُعرف الآن باسم طريقة S، تُؤدي إلى تقليل أو إزالة الحدود المتقاطعة. وتقوم فكرة طريقة S على دمج المخطط الطيفي مع توزيع ويغنر الزائف (PWD)، وهو النسخة المُعدّلة من توزيع ويغنر.

ينتمي كل من مخطط WD الأصلي، والمخطط الطيفي، ومخططات WD المعدلة إلى فئة كوهين للتمثيلات الثنائية الخطية للتردد الزمني  :

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu \quad =[W_{x}\,\ast \,\Pi ](t,f)}$

أين${\displaystyle \Pi \left(t,f\right)}$هي دالة نواة كوهين ، والتي غالباً ما تكون دالة تمرير منخفض، وتعمل عادةً على إخفاء التداخل في تمثيل ويغنر الأصلي.

• توزيع ويغنر

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

دالة نواة كوهين  :${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{(0,0)}(t,f)}$

• مخطط الطيف

${\displaystyle SP_{x}(t,f)=|ST_{x}(t,f)|^{2}=ST_{x}(t,f)\,ST_{x}^{*}(t,f)}$

أين${\displaystyle ST_{x}}$هو تحويل فورييه قصير المدى لـ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle ST_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )w^{*}(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

دالة نواة كوهين  :${\displaystyle \Pi (t,f)=W_{h}(t,f)}$وهو توزيع ويغنر لدالة النافذة نفسها. ويمكن التحقق من ذلك بتطبيق خاصية الالتفاف لدالة توزيع ويغنر .

لا يمكن أن ينتج مخطط الطيف تداخلاً لأنه توزيع تربيعي ذو قيمة موجبة.

• النموذج المعدل الأول

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\tau )x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

لا يمكن حل مشكلة الحدود المتقاطعة، ولكن يمكن حل مشكلة الفرق الزمني بين مكونين أكبر من حجم النافذة B.

• النموذج المعدل الثاني

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\eta )X(f+\eta /2)X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\,d\eta }$

• الشكل المعدل الثالث (توزيع لوغنر الزائف)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(t+\tau /(2L)){\overline {x^{*L}(t-\tau /(2L))}}e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

حيث L هو أي عدد صحيح أكبر من 0

زيادة قيمة L يمكن أن تقلل من تأثير الحدود المتداخلة (لكنها لا تستطيع القضاء عليها تمامًا).

على سبيل المثال، بالنسبة لـ L=2، يتم تقسيم الحد الثالث المهيمن على 4 (وهو ما يعادل 12 ديسيبل).

وهذا يُحقق تحسناً كبيراً مقارنةً بتوزيع ويغنر.

خصائص توزيع L-Wigner:

1. توزيع L-Wigner حقيقي دائمًا.
2. إذا تم تأخير الإشارة زمنيًا${\displaystyle x(t-t0)}$ثم يتم تغيير وقت عرضها الزمني أيضًا.${\displaystyle LWD:W_{x}(t-t0,f)}$
3. LWD لإشارة معدلة${\displaystyle x(t)\exp(j\omega _{0}t)}$يتغير التردد${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f-f0)}$
4. هل الإشارة${\displaystyle x(t)}$هو محدود المدة، أي${\displaystyle x(t)=0}$${\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T,}$عندئذٍ يكون توزيع L-Wigner محدودًا زمنيًا،${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)=0}$${\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T}$
5. إذا كانت الإشارة${\displaystyle x(t)}$نطاق التردد محدود بـ${\displaystyle f_{m}}$(${\displaystyle F(f)=0}$${\displaystyle for\left\vert f\right\vert >f_{m}}$)، ثم${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$محدود في مجال التردد بواسطة${\displaystyle f_{m}}$أيضًا.
6. إن تكامل توزيع L-Wigner على التردد يساوي قدرة الإشارة المعممة:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)df=\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}}$
7. تكامل${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$بمرور الوقت، يكون التردد مساوياً لـ${\displaystyle 2L^{th}}$قوة${\displaystyle 2L^{th}}$معيار الإشارة${\displaystyle x(t)}$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dtdf=\int _{-\infty }^{\infty }\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}dt=\lVert x(t)\rVert _{2L}^{2L}}$

1. التكامل مع مرور الوقت هو:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dt=\left\vert F_{L}(f)\right\vert ^{2}=\left\vert \underbrace {F(L_{f})*F(L_{f})*\cdots *F(L_{f})} _{Ltimes}\right\vert ^{2}}$

1. لقيمة كبيرة من${\displaystyle L(L\rightarrow \infty )}$قد نتجاهل جميع قيم${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$، بمقارنتها بالنقطة الموجودة${\displaystyle (t_{m},f_{m})}$، حيث يصل التوزيع إلى ذروته الأساسية :

${\displaystyle \lim _{L\to \infty }(W_{x}(t,f)/W_{x}(t_{m},f_{m}))={\begin{cases}0,&{\text{if }}f\neq f_{m}{\text{ or }}t\neq t_{m}{\text{ }}\\1,&{\text{if }}f=f_{m}{\text{ and }}t=t_{m}\end{cases}}}$

• الصيغة المعدلة الرابعة (دالة توزيع ويغنر متعددة الحدود)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}[\textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

متى${\displaystyle q=2}$و${\displaystyle d_{l}=d_{-l}=0.5}$، فتصبح دالة توزيع ويغنر الأصلية.

يمكن تجنب الحد المختلط عندما لا تتجاوز رتبة طور الدالة الأسية قيمة معينة.${\displaystyle q/2+1}$

لكن لا يمكن إزالة الحد المختلط بين مكونين.

${\displaystyle d_{l}}$ينبغي اختيارها بشكل صحيح بحيث

${\displaystyle \textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\big (}j2\pi \textstyle \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau \displaystyle {\big )}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl (}-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1})\tau {\Bigr )}d\tau }$

${\displaystyle \cong \delta {\bigl (}f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}{\bigr )}}$

لو${\displaystyle x(t)=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}a_{n}t^{n}{\bigr )}}$

متى${\displaystyle q=2}$، ${\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau {\bigr )}}$

${\displaystyle a_{2}(t+d_{l}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{l}\tau )-a_{2}(t-d_{-l}\tau )^{2}-a_{1}(t-d_{-l}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau }$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}+d_{-l}=1,d_{l}-d_{-l}=0}$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}=d_{-l}=1/2}$

• توزيع ويغنر الزائف

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }$

دالة نواة كوهين  :${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{0}(t)\,W_{h}(t,f)}$والتي تتركز على محور التردد.

لاحظ أن دالة ويغنر الزائفة يمكن كتابتها أيضًا على أنها تحويل فورييه لـ "الارتباط الطيفي" لتحويل فورييه قصير المدى

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }$

• توزيع ويغنر الزائف المُعدَّل  :

في توزيع ويغنر الزائف، تعمل نافذة الزمن على تنعيم اتجاه التردد. وبالتالي، فهي تكبح مكونات التداخل في توزيع ويغنر التي تتذبذب في اتجاه التردد. ويمكن تطبيق تنعيم اتجاه الزمن عن طريق الالتفاف الزمني لتوزيع ويغنر الزائف مع دالة تمرير منخفض.${\displaystyle q}$ :

${\displaystyle SPW_{x}(t,f)=[q\,\ast \,PW_{x}(.,f)](t)=\int _{-\infty }^{\infty }q(t-u)\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(u+\tau /2)x^{*}(u-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau \,du}$

دالة نواة كوهين  :${\displaystyle \Pi (t,f)=q(t)\,W(f)}$أين${\displaystyle W}$هو تحويل فورييه للنافذة${\displaystyle w}$.

وبالتالي، فإن النواة المقابلة لتوزيع ويغنر الزائف المُنعّم لها شكل قابل للفصل. تجدر الإشارة إلى أنه حتى لو كان كل من SPWD وطريقة S يُنعّمان توزيع ويغنر في المجال الزمني ، فإنهما ليسا متكافئين بشكل عام.

• طريقة S

${\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)G(\nu )e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }$

دالة نواة كوهين  :${\displaystyle \Pi (t,f)=g(t)\,W_{h}(t,f)}$

تحدد طريقة S نطاق تكامل PWD باستخدام دالة تمرير منخفض.${\displaystyle g(t)}$تحويل فورييه${\displaystyle G(f)}$ينتج عن ذلك إزالة الحدود المتداخلة، دون التأثير على الحدود الذاتية المتمركزة جيدًا على طول محور التردد. تحقق طريقة S توازنًا في التنعيم بين توزيع ويغنر الزائف${\displaystyle PW_{x}}$[${\displaystyle g(t)=1}$ومخطط الطيف الترددي${\displaystyle SP_{x}}$[${\displaystyle g(t)=\delta _{0}(t)}$].

تجدر الإشارة إلى أنه في الورقة البحثية الأصلية لعام 1994، عرّف ستانكوفيتش طريقة S باستخدام نسخة معدلة من تحويل فورييه قصير المدى  :

${\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {ST}}_{x}(t,f+\nu ){\tilde {ST}}_{x}^{*}(t,f-\nu )P(\nu )\,d\nu }$

أين

${\displaystyle {\tilde {ST}}_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )w^{*}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau \quad =ST_{x}(t,f)\,e^{j2\pi ft}}$

حتى في هذه الحالة لا يزال لدينا

${\displaystyle \Pi (t,f)=p(2t)\,W_{h}(t,f)}$

• تمثيل التردد الزمني
• دالة توزيع ويغنر
• التوزيع الزمني الترددي الثنائي الخطي
• تحويل فورييه قصير المدى
• تحويل غابور

• ب. غونسالفيس و ر. بارانيوك، "توزيعات ويغنر شبه الأفينية  : التعريف وصياغة النواة"، معاملات IEEE في معالجة الإشارات، المجلد 46، العدد 6، يونيو 1998
• ل. ستانكوفيتش، "طريقة لتحليل التردد الزمني"، معاملات IEEE في معالجة الإشارات، المجلد 42، العدد 1، يناير 1994
• إل جيه ستانكوفيتش، إس ستانكوفيتش، وإي فاكولتيت، "تحليل تمثيل التردد اللحظي باستخدام توزيعات التردد الزمني - توزيع ويغنر المعمم"، معاملات IEEE في معالجة الإشارات، الصفحات 549-552، المجلد 43، العدد 2، فبراير 1995