الحد الأدنى والأعلى

في الرياضيات، الحد الأدنى (يُختصر inf ؛ جمع : infima ) لمجموعة جزئية من مجموعة مرتبة جزئيًا هو العنصر الأكبر في الذي يكون أقل من أو يساوي كل عنصر في إذا كان هذا العنصر موجودًا. ^[1] إذا كان الحد الأدنى لـ موجودًا، فهو فريد، وإذا كان b هو الحد الأدنى لـ ، فإن b يكون أقل من أو يساوي الحد الأدنى لـ . وبالتالي، فإن مصطلح الحد الأدنى الأعظم (يُختصر GLB ) يُستخدم أيضًا بشكل شائع. ^[1] الحد الأعلى (يُختصر sup ؛ جمع : suprema ) لمجموعة جزئية من مجموعة مرتبة جزئيًا هو العنصر الأصغر في الذي يكون أكبر من أو يساوي كل عنصر في إذا كان هذا العنصر موجودًا. ^[1] إذا كان الحد الأعلى لـ موجودًا، فهو فريد، وإذا كان b هو الحد الأعلى لـ ، فإن الحد الأعلى لـ يكون أقل من أو يساوي b . وبالتالي، يُشار إلى الحد الأعلى أيضًا باسم الحد الأعلى الأدنى (أو LUB ). ^[1]${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

الحد الأدنى هو، بالمعنى الدقيق للكلمة، ثنائي لمفهوم الحد الأعلى. الحد الأدنى والحد الأعلى للأعداد الحقيقية هما حالتان خاصتان شائعتان مهمتان في التحليل ، وخاصة في تكامل ليبيج . ومع ذلك، تظل التعريفات العامة صالحة في الإطار الأكثر تجريدًا لنظرية الترتيب حيث يتم النظر في مجموعات مرتبة جزئيًا تعسفيًا.

مفهوما الحد الأدنى والحد الأقصى قريبان من الحد الأدنى والحد الأقصى ، ولكنهما أكثر فائدة في التحليل لأنهما يصفان بشكل أفضل المجموعات الخاصة التي قد لا يكون لها حد أدنى أو أقصى . على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة (باستثناء ) ليس لها حد أدنى، لأن أي عنصر معين من يمكن ببساطة تقسيمه إلى نصفين مما ينتج عنه رقم أصغر لا يزال في ومع ذلك، يوجد حد أدنى واحد بالضبط للأعداد الحقيقية الموجبة بالنسبة للأعداد الحقيقية: وهو أصغر من جميع الأعداد الحقيقية الموجبة وأكبر من أي رقم حقيقي آخر يمكن استخدامه كحد أدنى. يتم تعريف الحد الأدنى للمجموعة دائمًا وفقط بالنسبة لمجموعة فرعية من المجموعة المعنية. على سبيل المثال، لا يوجد حد أدنى للأعداد الحقيقية الموجبة داخل الأعداد الحقيقية الموجبة (كمجموعة فرعية خاصة بها)، ولا أي حد أدنى للأعداد الحقيقية الموجبة داخل الأعداد المركبة ذات الجزء الحقيقي الموجب. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$${\displaystyle 0,}$

الحد الأدنى لمجموعة فرعية من مجموعة مرتبة جزئيًا هو عنصر بحيث${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle y\leq x}$للجميع${\displaystyle x\in S.}$

يُطلق على الحد الأدنى لـ اسم الحد الأدنى (أو الحد الأدنى الأعظم ، أو الالتقاء ) لـ إذا ${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• لجميع الحدود الدنيا لـ ( أكبر من أي حد أدنى آخر) .${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$${\displaystyle a}$

على نحو مماثل، فإن الحد الأعلى لمجموعة فرعية من مجموعة مرتبة جزئيًا هو عنصر بحيث${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle z}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle z\geq x}$للجميع${\displaystyle x\in S.}$

يُطلق على الحد الأعلى لـ الحد الأعلى (أو الحد الأدنى أو الانضمام ) لـ إذا ${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• لجميع الحدود العليا لـ ( أقل من أي حد أعلى آخر) .${\displaystyle z}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$${\displaystyle b}$

لا يوجد بالضرورة حد أدنى وأعلى. قد يفشل وجود حد أدنى لمجموعة فرعية من إذا لم يكن لها حد أدنى على الإطلاق، أو إذا كانت مجموعة الحدود الدنيا لا تحتوي على عنصر أعظم. (مثال على ذلك المجموعة الفرعية من . لها حدود عليا، مثل 1.5، ولكن لا يوجد حد أقصى في .) ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

وبالتالي، تصبح المجموعات المرتبة جزئيًا والتي من المعروف وجود بعض الحدود غير الفارغة مثيرة للاهتمام بشكل خاص. على سبيل المثال، الشبكة هي مجموعة مرتبة جزئيًا حيث تحتوي جميع المجموعات الفرعية غير الفارغة المحدودة على حد أعلى وحدود غير دنيا، والشبكة الكاملة هي مجموعة مرتبة جزئيًا حيث تحتوي جميع المجموعات الفرعية على حد أعلى وحدود غير دنيا. يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول الفئات المختلفة للمجموعات المرتبة جزئيًا والتي تنشأ عن مثل هذه الاعتبارات في المقالة حول خصائص الاكتمال .

إذا كان العنصر الأعلى لمجموعة جزئية موجودًا، فهو فريد. وإذا كان يحتوي على عنصر أعظم، فإن هذا العنصر هو العنصر الأعلى؛ وإلا فإن العنصر الأعلى لا ينتمي إلى (أو لا يوجد). وعلى نحو مماثل، إذا كان العنصر الأدنى موجودًا، فهو فريد. وإذا كان يحتوي على عنصر أصغر، فإن هذا العنصر هو العنصر الأدنى؛ وإلا فإن العنصر الأدنى لا ينتمي إلى (أو لا يوجد). ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

الحد الأدنى لمجموعة جزئية من مجموعة مرتبة جزئيًا بافتراض وجودها، لا ينتمي بالضرورة إلى. وإذا كان الأمر كذلك، فهو الحد الأدنى أو العنصر الأقل في. وبالمثل، إذا كان الحد الأعلى لـ ينتمي إليها، فهو الحد الأقصى أو العنصر الأعظم في.${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S.}$

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة (باستثناء الصفر). لا تحتوي هذه المجموعة على عنصر أعظم، لأنه لكل عنصر من عناصر المجموعة، يوجد عنصر آخر أكبر. على سبيل المثال، لأي عدد حقيقي سالب يوجد عدد حقيقي سالب آخر أكبر. من ناحية أخرى، فإن كل عدد حقيقي أكبر من أو يساوي الصفر هو بالتأكيد حد أعلى لهذه المجموعة. وبالتالي، هو الحد الأعلى الأصغر للأعداد الحقيقية السالبة، لذا فإن الحد الأعلى هو 0. تحتوي هذه المجموعة على حد أعلى ولكن ليس لها عنصر أعظم. ${\displaystyle x,}$${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$${\displaystyle 0}$

ومع ذلك، فإن تعريف العناصر القصوى والدنيا أكثر عمومية. على وجه الخصوص، يمكن أن تحتوي المجموعة على العديد من العناصر القصوى والدنيا، في حين أن العناصر infima وsuprema فريدة.

في حين أن القيم القصوى والدنيا يجب أن تكون أعضاء في المجموعة الفرعية التي قيد الدراسة، فإن الحد الأدنى والحد الأقصى لمجموعة فرعية لا يلزم أن يكونا عضوين في هذه المجموعة الفرعية نفسها.

أخيرًا، قد تحتوي المجموعة المرتبة جزئيًا على العديد من الحدود العليا الدنيا دون وجود حد أعلى أدنى. والحدود العليا الدنيا هي تلك الحدود العليا التي لا يوجد لها عنصر أصغر تمامًا يكون أيضًا حدًا أعلى. وهذا لا يعني أن كل حد أعلى أدنى أصغر من جميع الحدود العليا الأخرى، بل إنه ببساطة ليس أكبر. والتمييز بين "الحد الأدنى" و"الأقل" ممكن فقط عندما لا يكون الترتيب المعطى ترتيبًا كليًا . وفي المجموعة المرتبة تمامًا، مثل الأعداد الحقيقية، تكون المفاهيم هي نفسها.

على سبيل المثال، لنفترض أن مجموعة كل المجموعات الجزئية المحدودة من الأعداد الطبيعية واعتبار المجموعة المرتبة جزئيًا التي تم الحصول عليها عن طريق أخذ كل المجموعات من مع مجموعة الأعداد الصحيحة ومجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة المرتبة حسب تضمين المجموعة الجزئية كما هو موضح أعلاه. إذن من الواضح أن كلاً من و أكبر من كل المجموعات الجزئية المحدودة من الأعداد الطبيعية. ومع ذلك، لا يكون أي منهما أصغر من ولا والعكس صحيح: كلتا المجموعتين هما الحد الأعلى الأدنى ولكن لا يوجد حد أعلى. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

خاصية الحد الأدنى العلوي هي مثال على خصائص الاكتمال المذكورة أعلاه والتي تعتبر نموذجية لمجموعة الأعداد الحقيقية. تسمى هذه الخاصية أحيانًا اكتمال ديديكيند .

إذا كانت المجموعة المرتبة لها الخاصية التي مفادها أن كل مجموعة فرعية غير فارغة من لها حد أعلى لها أيضًا حد أعلى أصغر، فيقال إنها تمتلك خاصية الحد الأعلى الأصغر. وكما هو مذكور أعلاه، فإن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية لها خاصية الحد الأعلى الأصغر. وبالمثل، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة لها خاصية الحد الأعلى الأصغر؛ إذا كانت مجموعة فرعية غير فارغة من وكان هناك عدد ما بحيث يكون كل عنصر من عناصره أقل من أو يساوي، فيكون هناك حد أعلى أصغر لعدد صحيح له حد أعلى ويكون أقل من أو يساوي كل حد أعلى آخر لـ. كما تمتلك المجموعة المرتبة جيدًا خاصية الحد الأعلى الأصغر، كما تمتلك المجموعة الفرعية الفارغة أيضًا حدًا أعلى أصغر: الحد الأدنى للمجموعة بأكملها. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

مثال على مجموعة تفتقر إلى خاصية الحد الأدنى العلوي هي مجموعة الأعداد النسبية. دع تكون مجموعة جميع الأعداد النسبية بحيث يكون لها حد أعلى ( على سبيل المثال، أو ) ولكن ليس لها حد أعلى أصغر في : إذا افترضنا أن يكون الحد الأدنى العلوي، يتم استنتاج تناقض على الفور لأنه بين أي عددين حقيقيين و (بما في ذلك و ) يوجد عدد نسبي يجب أن يكون هو الحد الأدنى العلوي (إذا ) أو عضوًا في أكبر من (إذا ). مثال آخر هو الأعداد الحقيقية الفائقة ؛ لا يوجد حد أعلى أصغر لمجموعة اللانهائيات الموجبة في الصغر. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{2}<2.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1000,}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$

توجد خاصية الحد الأدنى الأعظم المقابلة ؛ تمتلك المجموعة المرتبة خاصية الحد الأدنى الأعظم إذا وفقط إذا كانت تمتلك أيضًا خاصية الحد الأعلى الأصغر؛ الحد الأعلى الأصغر لمجموعة الحدود الدنيا لمجموعة هو الحد الأدنى الأعظم، والحد الأدنى الأكبر لمجموعة الحدود العليا لمجموعة هو الحد الأعلى الأصغر للمجموعة.

إذا كان لكل مجموعة جزئية محدودة في مجموعة مرتبة جزئيًا حد أعلى، فإن هذا ينطبق أيضًا على أي مجموعة في فضاء الدالة التي تحتوي على جميع الدوال من إلى حيث إذا وفقط إذا بالنسبة لجميع على سبيل المثال، ينطبق هذا على الدوال الحقيقية، وبما أنه يمكن اعتبار هذه حالات خاصة من الدوال، بالنسبة للمجموعات الحقيقية ومتتاليات الأعداد الحقيقية. ${\displaystyle P}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle n}$

الخاصية ذات الحد الأدنى الأعلى هي مؤشر على التفوق.

في التحليل ، تعتبر الحدود الدنيا والعليا للمجموعات الجزئية للأعداد الحقيقية مهمة بشكل خاص. على سبيل المثال، لا تحتوي الأعداد الحقيقية السالبة على عنصر أعظم، وأعلى عنصر لها هو (وهو ليس عددًا حقيقيًا سالبًا). ^[1] يشير اكتمال الأعداد الحقيقية إلى (ويعادل) أن أي مجموعة جزئية محدودة غير فارغة من الأعداد الحقيقية لها حد أدنى وأعلى. إذا لم يكن محدودًا أدناه، فغالبًا ما نكتب رسميًا إذا كان فارغًا ، نكتب${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

إذا كانت أي مجموعة من الأعداد الحقيقية، فإذا وفقط إذا وخلاف ذلك ^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle A\neq \varnothing }$${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$

إذا كانت مجموعات من الأعداد الحقيقية فإن (ما لم يكن ) و${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$${\displaystyle A=\varnothing \neq B}$${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

تحديد infima و suprema

إذا كان الحد الأدنى لـ موجودًا (أي أنه عدد حقيقي) وإذا كان أي عدد حقيقي، فإن إذا وفقط إذا يكون حدًا أدنى، ولكل يوجد مع وبالمثل، إذا كان عدد حقيقي وإذا كان أي عدد حقيقي ، فإن إذا وفقط إذا يكون حدًا أعلى، وإذا لكل يوجد مع${\displaystyle A}$${\displaystyle \inf A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=\inf A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=\sup A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

العلاقة مع حدود التسلسلات

إذا كانت هناك أي مجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية، فإنه يوجد دائمًا تسلسل غير متناقص بحيث يكون على نحو مماثل، سيكون هناك تسلسل غير متزايد (ربما مختلف) بحيث يكون على نحو مماثل.${\displaystyle S\neq \varnothing }$${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$

إن التعبير عن الحد الأدنى والحد الأقصى كحد لمثل هذه المتوالية يسمح بتطبيق نظريات من فروع مختلفة من الرياضيات. ضع في اعتبارك على سبيل المثال الحقيقة المعروفة من الطوبولوجيا وهي أن إذا كانت دالة مستمرة وكانت متوالية من النقاط في مجالها تتقارب إلى نقطة فإنها تتقارب بالضرورة إلى وهذا يعني أن إذا كانت عددًا حقيقيًا (حيث تكون جميعها في ) وإذا كانت دالة مستمرة يحتوي مجالها على و ثم أي (على سبيل المثال) يضمن ^{[ملاحظة 1]} أن تكون نقطة ملتصقة بالمجموعة إذا كانت الدالة المستمرة بالإضافة إلى ما تم افتراضه أيضًا دالة متزايدة أو غير متناقصة ، فمن الممكن حتى أن نستنتج أن يمكن تطبيق هذا، على سبيل المثال، لاستنتاج أنه كلما كانت دالة ذات قيمة حقيقية (أو معقدة ) ذات مجال يكون معيارها الأعلى منتهيًا، فعندئذٍ لكل عدد حقيقي غير سلبي نظرًا لأن الخريطة المحددة بواسطة هي دالة مستمرة غير متناقصة يحتوي مجالها دائمًا على و${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$${\displaystyle p,}$${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$${\displaystyle f(p).}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup S,}$$${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$${\displaystyle f(\sup S)}$${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$ ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$${\displaystyle q,}$ $${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=x^{q}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

على الرغم من أن هذه المناقشة ركزت على استنتاجات مماثلة يمكن الوصول إليها من خلال التغييرات المناسبة (مثل اشتراط أن تكون غير متزايدة بدلاً من أن تكون غير متناقصة). تشمل المعايير الأخرى المحددة من حيث أو معايير الفضاء الضعيفة (لـ )، والمعيار على فضاء ليبيج ومعايير المشغل . يمكن أيضًا استخدام التسلسلات الرتيبة في التي تتقارب إلى (أو إلى ) للمساعدة في إثبات العديد من الصيغة الواردة أدناه، نظرًا لأن جمع وضرب الأعداد الحقيقية عمليات مستمرة. ${\displaystyle \sup ,}$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle L^{p,w}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup S}$${\displaystyle \inf S}$

تعتمد الصيغ التالية على تدوين يعمل على تعميم العمليات الحسابية على المجموعات بشكل ملائم. في كل مكان، توجد مجموعات من الأعداد الحقيقية. ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$

مجموع المجموعات

مجموع مينكوفسكي لمجموعتين ومجموعات من الأعداد الحقيقية هو المجموعة التي تتكون من كل المجاميع الحسابية الممكنة لأزواج الأعداد، واحد من كل مجموعة. الحد الأدنى والحد الأقصى لمجموع مينكوفسكي يرضيان ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$$${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

منتج من مجموعات

يتم تعريف عملية ضرب مجموعتين وأرقام حقيقية على نحو مماثل لمجموع مينكوفسكي الخاص بها: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

إذا كانت و مجموعات غير فارغة من الأعداد الحقيقية الموجبة فإن و على نحو مماثل بالنسبة للسوبريما ^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$

حاصل ضرب قياسي لمجموعة

حاصل ضرب عدد حقيقي ومجموعة من الأعداد الحقيقية هو المجموعة ${\displaystyle r}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

إذا فحينئذٍ إذا فحينئذٍ باستخدام الترميز يتبع ذلك ${\displaystyle r\geq 0}$$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$${\displaystyle r\leq 0}$$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$${\displaystyle r=-1}$${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$$${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

المعكوس الضربي للمجموعة

لأي مجموعة لا تحتوي على let ${\displaystyle S}$${\displaystyle 0,}$$${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

إذا لم يكن فارغًا، فعندئذٍ تكون هذه المعادلة صحيحة أيضًا عند استخدام التعريف . ^{[ملاحظة 2]} يمكن كتابة هذه المساواة بشكل بديل على النحو التالي: علاوة على ذلك، إذا وفقط إذا حيث إذا ^{[ملاحظة 2]} ، فعندئذٍ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$$${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$${\displaystyle \inf _{}S=0}$${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

إذا تم الإشارة إلى المجموعة المرتبة جزئيًا بعلاقة الترتيب المعاكسة ؛ أي لجميع التصريحات: فإن الحد الأدنى لمجموعة فرعية في يساوي الحد الأعلى في والعكس صحيح. ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$$${\displaystyle x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

بالنسبة للمجموعات الفرعية من الأعداد الحقيقية، هناك نوع آخر من الثنائية: حيث${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

• الحد الأدنى لمجموعة الأرقام هو الرقم هو الحد الأدنى، ولكن ليس الحد الأدنى الأعظم، وبالتالي ليس الحد الأدنى.${\displaystyle \{2,3,4\}}$${\displaystyle 2.}$${\displaystyle 1}$
• بشكل عام، إذا كانت المجموعة تحتوي على أصغر عنصر، فإن أصغر عنصر هو الحد الأدنى للمجموعة. في هذه الحالة، يُطلق عليه أيضًا الحد الأدنى للمجموعة.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• إذا كانت متتالية متناقصة ذات حد، فإن${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

• الحد الأعلى لمجموعة الأرقام هو الرقم هو الحد الأعلى، ولكنه ليس الحد الأعلى الأصغر، وبالتالي فهو ليس الحد الأعلى.${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle 3.}$${\displaystyle 4}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

في المثال الأخير، الحد الأعلى لمجموعة من الأعداد النسبية هو غير نسبي ، مما يعني أن الأعداد النسبية غير كاملة .

إحدى الخصائص الأساسية للأعلى هي لأي وظائف و$${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$

الحد الأعلى لمجموعة فرعية من حيث يشير إلى " يقسم "، هو المضاعف المشترك الأصغر لعناصر${\displaystyle S}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$${\displaystyle \,\mid \,}$${\displaystyle S.}$

الحد الأعلى لمجموعة تحتوي على مجموعات جزئية لمجموعة ما هو اتحاد المجموعات الجزئية عند النظر إلى المجموعة المرتبة جزئيًا ، حيث هي مجموعة القوى لـ و هي مجموعة جزئية . ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$

• الأساسية العليا والأساسية infimum  – Infimum وsupremum في كل مكان تقريباPages displaying short descriptions of redirect targets
• أعظم عنصر وأصغر عنصر  - العنصر ≥ (أو ≤) كل عنصر آخر
• العناصر القصوى والدنيا  - العنصر الذي لا يساوي ≤ (أو ≥) أي عنصر آخر
• الحد الأعلى والحد الأدنى  – حدود المتتالية Pages displaying short descriptions of redirect targets(الحد الأدنى)
• الحدود العليا والسفلى  – الحدود الرئيسية والحدود الفرعية في الرياضيات

• روكافيلر, ر. تيريل ; ويتس، روجر J.-B. (26 يونيو 2009). التحليل المتغير . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 317. برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري . رقم ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.

• "الحدود العليا والسفلى"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• بريتينباخ، جيروم ر. وويشتاين، إريك دبليو. "الصغير والكبير". MathWorld .