كثيرات حدود موت

في الرياضيات، تعد كثيرات حدود موت s _n ( x ) كثيرات حدود معطاة بواسطة الدالة المولدة الأسية :

${\displaystyle e^{x({\sqrt {1-t^{2}}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!.}$

تم تقديمها بواسطة نيفيل فرانسيس موت الذي طبقها على مشكلة في نظرية الإلكترونات. ^{[ 1 ]}

لأن العامل في الدالة الأسية له متسلسلة قوى

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {1-t^{2}}}-1}{t}}=-\sum _{k\geq 0}C_{k}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

من حيث الأرقام الكاتالونية${\displaystyle C_{k}}$، المعامل الموجود أمام${\displaystyle x^{k}}$يمكن كتابة جزء من متعددة الحدود على النحو التالي

${\displaystyle [x^{k}]s_{n}(x)=(-1)^{k}{\frac {n!}{k!2^{n}}}\sum _{n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}C_{(l_{1}-1)/2}C_{(l_{2}-1)/2}\cdots C_{(l_{k}-1)/2}}$، وفقًا للصيغة العامة لكثيرات حدود أبيل المعممة ، حيث يكون المجموع على جميع التركيبات${\displaystyle n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}$ل${\displaystyle n}$داخل${\displaystyle k}$الأعداد الصحيحة الفردية الموجبة. يظهر ناتج الضرب الفارغ لـ${\displaystyle k=n=0}$يساوي 1. القيم الخاصة، حيث تساوي جميع الأرقام الكاتالونية المساهمة 1، هي

${\displaystyle [x^{n}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}.}$

${\displaystyle [x^{n-2}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}n(n-1)(n-2)}{2^{n}}}.}$

وبإجراء التفاضل، تصبح العلاقة التكرارية للمشتقة الأولى

${\displaystyle s'(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}}C_{k}s_{n-1-2k}(x).}$

أولها هي (التسلسل A137378 في OEIS )

${\displaystyle s_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;}$

${\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};}$

${\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};}$

${\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};}$

${\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};}$

${\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};}$

تشكل كثيرات الحدود s _n ( x ) متتالية شيفر المرتبطة بـ –2 t /(1–t ² ) ^{[ 2 ]}

تعبير صريح عنها بدلالة الدالة الهندسية الفائقة المعممة ₃ F ₀ : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}})}$