منتج فارغ

📅 آخر تحديث: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف الضرب الفارغ ، أو الضرب الصفري ، أو الضرب الخالي ، بأنه ناتج ضرب عددين دون جمع أي عددين. وهو يُساوي، اصطلاحًا، العنصر المحايد للضرب (بافتراض وجود عنصر محايد لعملية الضرب المعنية؛ أما عند وجود أعداد ضمنيًا، فيُصبح واحدًا )، تمامًا كما يُساوي المجموع الفارغ - ناتج جمع عددين دون جمع أي عددين - العنصر المحايد للجمع ( صفر ). [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

يُستخدم مصطلح " الضرب الفارغ" في أغلب الأحيان بالمعنى المذكور أعلاه عند مناقشة العمليات الحسابية . ومع ذلك، يُستخدم المصطلح أحيانًا عند مناقشة التقاطعات في نظرية المجموعات ، والضرب الفئوي، والضرب في برمجة الحاسوب .

حاصل الضرب الحسابي الصفري

تعريف

ليكن a1 ، a2 ، a3 ، ... سلسلة من الأرقام ، وليكن

Pم=∏أنا=1مأأنا=أ1⋯أم{\displaystyle P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}}

ليكن حاصل ضرب أول m عنصر من المتتالية. إذن

Pم=Pم-1أم{\displaystyle P_{m}=P_{m-1}a_{m}}

لجميع قيم m = 1، 2، ... بشرط استخدام الاصطلاحP0=1{\displaystyle P_{0}=1}بمعنى آخر، فإن "الناتج" الذي لا يحتوي على أي عوامل يساوي 1. إن السماح بـ"ناتج" بدون عوامل يقلل من عدد الحالات التي يجب مراعاتها في العديد من الصيغ الرياضية . يُعد هذا "الناتج" نقطة انطلاق طبيعية في براهين الاستقراء ، وكذلك في الخوارزميات . لهذه الأسباب، يُعدّ اصطلاح "الناتج الفارغ يساوي 1" ممارسة شائعة في الرياضيات وبرمجة الحاسوب.

أهمية تعريف المنتجات الفارغة

إن مفهوم المنتج الفارغ مفيد لنفس السبب الذي يجعل العدد صفر والمجموعة الفارغة مفيدين: فبينما يبدو أنهما يمثلان مفاهيم غير مثيرة للاهتمام، فإن وجودهما يسمح بعرض رياضي أقصر بكثير للعديد من المواضيع.

على سبيل المثال، تُختصر عملية الضرب الفارغة 0!  =  1 ( مضروب الصفر) و x₀ = 1 ترميز متسلسلة تايلور (انظر صفر مرفوعًا للأس صفر لمناقشة الحالة عندما x = 0). وبالمثل، إذا كانت M  مصفوفة من الرتبة n × n ، فإن M₀ هي مصفوفة الوحدة من الرتبة n × n ، مما يعكس حقيقة أن تطبيق تحويل خطي صفر مرة له نفس تأثير تطبيق تحويل الوحدة .       

كمثال آخر، تنص النظرية الأساسية في الحساب على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1 يمكن كتابته بشكل فريد كحاصل ضرب أعداد أولية. مع ذلك، إذا لم نسمح بحساب حاصل الضرب الذي يحتوي على عوامل 0 أو 1 فقط، فإن النظرية (وبرهانها) تصبح أطول. [ 5 ] [ 6 ]

يمكن العثور على المزيد من الأمثلة على استخدام الضرب الفارغ في الرياضيات في نظرية ذات الحدين (التي تفترض وتستلزم أن x 0 = 1 لجميع قيم x )، وعدد ستيرلينغ ، ونظرية كونيغ ، ونوع ذات الحدين ، ومتسلسلة ذات الحدين ، ومؤثر الفرق ، ورمز بوخامر .

اللوغاريتمات والدوال الأسية

بما أن اللوغاريتمات تربط نواتج الضرب بالمجاميع:

ln⁡∏أناxأنا=∑أناln⁡xأنا{\displaystyle \ln \prod _{i}x_{i}=\sum _{i}\ln x_{i}}

إنهم يربطون ناتجًا فارغًا بمجموع فارغ .

وعلى العكس من ذلك، فإن الدالة الأسية تحول المجاميع إلى نواتج:

هـ∑أناxأنا=∏أناهـxأنا{\displaystyle e^{\sum _{i}x_{i}}=\prod _{i}e^{x_{i}}}

ويربط المجموع الفارغ بالناتج الفارغ.

المنتج الديكارتي الصفري

لننظر في التعريف العام للضرب الديكارتي :

∏أنا∈أناXأنا={ز:أنا→⋃أنا∈أناXأنا|∀أنا ز(أنا)∈Xأنا}.{\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\ g(i)\in X_{i}\right\}.}

إذا كانت I فارغة، فإن الدالة g الوحيدة التي تحقق ذلك هي الدالة الفارغة.و∅{\displaystyle f_{\varnothing }}، وهي المجموعة الفرعية الفريدة من∅×∅{\displaystyle \varnothing \times \varnothing }هذه دالة∅→∅{\displaystyle \varnothing \to \varnothing }أي المجموعة الفرعية الفارغة∅{\displaystyle \varnothing }(المجموعة الفرعية الوحيدة التي∅×∅=∅{\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing }لديه):

∏∅={و∅:∅→∅}={∅}.{\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\left\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \right\}=\{\varnothing \}.}

وبالتالي، فإن عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي لأي مجموعات هو 1.

وفقًا للتفسير الأكثر شيوعًا للمجموعات النونية (n - tuple )،

∏∅={()}،{\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\{()\},}

أي المجموعة الوحيدة التي تحتوي على الصف الفارغ . لاحظ أنه في كلا التمثيلين، يكون عدد عناصر الناتج الفارغ 1 - أي أن عدد جميع الطرق لإنتاج 0 مخرجات من 0 مدخلات هو 1.

حاصل ضرب فئوي صفري

في أي فئة ، يُعدّ حاصل ضرب عائلة فارغة عنصرًا نهائيًا لتلك الفئة. ويمكن إثبات ذلك باستخدام تعريف النهاية لحاصل الضرب. يُعرَّف حاصل الضرب الفئوي من الرتبة n بأنه النهاية بالنسبة لمخطط مُعطى بواسطة الفئة المنفصلة التي تحتوي على n عنصرًا. ويُعرَّف حاصل الضرب الفارغ بأنه النهاية بالنسبة للفئة الفارغة، والتي تُمثّل العنصر النهائي للفئة إن وُجد. ويُخصَّص هذا التعريف ليعطي نتائج كما ذُكر أعلاه. على سبيل المثال، في فئة المجموعات، يكون حاصل الضرب الفئوي هو حاصل الضرب الديكارتي المعتاد، ويكون العنصر النهائي مجموعة أحادية. وفي فئة الزمر، يكون حاصل الضرب الفئوي هو حاصل الضرب الديكارتي للزمر، ويكون العنصر النهائي زمرة تافهة تحتوي على عنصر واحد. وللحصول على التعريف الحسابي المعتاد لحاصل الضرب الفارغ، يجب علينا أخذ عملية إزالة التصنيف لحاصل الضرب الفارغ في فئة المجموعات المنتهية.

وبالمثل ، فإن الناتج المشترك لعائلة فارغة هو كائن أولي . قد لا توجد نواتج أو نواتج مشتركة فئوية فارغة في فئة معينة؛ على سبيل المثال، في فئة الحقول ، لا يوجد أي منهما.

في المنطق

يُعرّف المنطق الكلاسيكي عملية الربط ، والتي تُعمّم إلى التكميم الشامل في حساب المسندات ، وتُعرف على نطاق واسع بالضرب المنطقي لأننا نربط بديهيًا الصواب بالرقم 1 والخطأ بالرقم 0، ويتصرف الربط لدينا كمضاعف عادي. يمكن أن يكون للمضاعفات عدد غير محدود من المدخلات. في حالة عدم وجود مدخلات، يكون لدينا ربط فارغ ، وهو مساوٍ تمامًا للصواب.

يرتبط هذا بمفهوم آخر في المنطق، وهو الحقيقة الفارغة ، الذي يُشير إلى أن مجموعة فارغة من العناصر يُمكن أن تمتلك أي خاصية. يُمكن تفسير ذلك من خلال كيفية تعامل العطف (كجزء من المنطق عمومًا) مع القيم الأقل من أو تساوي 1. هذا يعني أنه كلما طال العطف، زادت احتمالية الوصول إلى 0. يتحقق العطف ببساطة من صحة القضايا، ويُعيد 0 (أو خطأ) بمجرد أن تُصبح إحدى القضايا خاطئة. يُؤدي تقليل عدد القضايا الموصولة إلى زيادة فرصة اجتياز الفحص والبقاء عند 1. على وجه الخصوص، إذا لم يكن هناك أي اختبارات أو عناصر للتحقق منها، فلن يفشل أي منها، لذا يجب علينا افتراضيًا النجاح دائمًا بغض النظر عن القضايا أو خصائص العناصر التي كان من المفترض اختبارها.

في برمجة الحاسوب

تتيح العديد من لغات البرمجة، مثل بايثون ، التعبير المباشر عن قوائم الأرقام، بل وحتى الدوال التي تقبل عددًا غير محدود من المعاملات. إذا كانت إحدى هذه اللغات تحتوي على دالة تُعيد حاصل ضرب جميع الأرقام في قائمة، فإنها عادةً ما تعمل على النحو التالي:

>>> math.prod ([ 2 , 3 , 5 ] ) 30 >>> math.prod ( [ 2 , 3 ] ) 6 >>> math.prod ( [ 2 ] ) 2 >>> math.prod ( [ ] ) 1

(يرجى الملاحظة: prodهذه الميزة غير متوفرة في mathالوحدة النمطية قبل الإصدار 3.8.)

يساعد هذا الاتفاق على تجنب الحاجة إلى كتابة حالات خاصة مثل "إذا كان طول القائمة 1" أو "إذا كان طول القائمة صفرًا".

الضرب عملية حسابية وسطية ، وبالتالي فهي عملية حسابية ثنائية، مما يُعقّد كتابة ناتج الضرب الفارغ. تعالج بعض لغات البرمجة هذا الأمر من خلال تنفيذ دوال ذات عدد متغير من الوسائط . على سبيل المثال، تُتيح كتابة الدوال ذات الأقواس الكاملة في لغات ليسب كتابةً طبيعيةً للدوال ذات عدد صفري .

(* 2 2 2)؛ قيمته 8 (* 2 2)؛ تساوي 4 (* 2)؛ تساوي 2 (*)؛ قيمته 1

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ نيشتريل، ياروسلاف ؛ ماتوسيك، جيري (1998). دعوة للرياضيات المنفصلة . مطبعة جامعة أكسفورد. ص.  12. رقم ISBN 0-19-850207-9.
  2. ↑ إنجام، أ. إي.؛ فوغان، ر. س. (1990). توزيع الأعداد الأولية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 1. ISBN  0-521-39789-8.
  3. ↑ لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 211 ( الطبعة الثالثة المنقحة)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ص 9، ISBN    978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001  
  4. ↑ بلوم ، ديفيد م. (1979). الجبر الخطي والهندسة . أرشيف مطبعة جامعة كامبريدج. ص 45. ISBN  0521293243.
  5. ↑ ديكسترا، إدسكار ويب (4 مارس 1990). "كيف ابتكر علم الحاسوب أسلوبًا رياضيًا جديدًا" . EWD . تم الاطلاع عليه في 20 يناير 2010. هاردي ورايت: "كل عدد صحيح موجب، باستثناء 1، هو حاصل ضرب أعداد أولية". هارولد م. ستارك: "إذا كان n عددًا صحيحًا أكبر من 1، فإن n إما عدد أولي أو n حاصل ضرب منتهٍ لأعداد أولية". هذه الأمثلة - التي أدين بها لـ AJM van Gasteren - ترفض جميعها حاصل الضرب الفارغ، ويرفض المثال الأخير أيضًا حاصل الضرب بعامل واحد.
  6. ↑ ديكسترا، إدسكار ويب (14 نوفمبر 1986). "طبيعة بحثي وسبب قيامي به" . EWD . تم الاسترجاع في 22 مارس 2024. ولكن من المؤكد أن الصفر عدد محدود، ومن خلال تعريف حاصل ضرب صفر من العوامل - كيف غير ذلك؟ - على أنه يساوي 1 ، يمكننا التخلص من الاستثناء: "إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا، فإن n هو حاصل ضرب محدود لأعداد أولية".
  • مقال من موقع PlanetMath حول المنتج الفارغ