رقم كاتالان

أعداد كاتالان هي سلسلة من الأعداد الطبيعية التي تظهر في مسائل العد المختلفة ، والتي غالباً ما تتضمن كائنات معرفة بشكل متكرر . وقد سميت نسبةً إلى يوجين كاتالان ، على الرغم من أنها اكتُشفت سابقاً في ثلاثينيات القرن الثامن عشر الميلادي على يد مينغاتو .

يمكن التعبير عن العدد الكاتالاني $النوني$ مباشرةً بدلالة معاملات ذات الحدين المركزية بواسطة

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!\,n!}}\qquad {\text{لـ }}n\geq 0.$

الأعداد الكاتالونية الأولى لـ $n = 0، 1، 2، 3، ...$ هي

1، 1، 2، 5، 14، 42، 132، 429، 1430، 4862، 16796، 58786، ...

(التسلسل A000108 في OEIS ) .

ملكيات

صيغة بديلة لـ $C n$ هي $C_{n}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n+1}}\quad {\text{for }}n\geq 0\,,$ وهو ما يعادل التعبير المذكور أعلاه لأن ${\textstyle {\binom {2n}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$ يُظهر هذا التعبير أن $C n$ عدد صحيح ، وهو ما لا يتضح مباشرةً من الصيغة الأولى المُعطاة. ويُشكّل هذا التعبير أساسًا لإثبات صحة الصيغة .

تعبير بديل آخر هو $C_{n}={\frac {1}{2n+1}}{\binom {2n+1}{n}}\,,$ والتي يمكن تفسيرها مباشرة من حيث نظرية الدورة ؛ انظر أدناه.

تحقق أعداد كاتالان علاقات التكرار $C_{0}=1\quad {\text{و}}\quad C_{n}=\sum _{i=1}^{n}C_{i-1}C_{ni}\quad {\text{لـ }}n>0$ و $C_{0}=1\quad {\text{و}}\quad C_{n}={\frac {2(2n-1)}{n+1}}C_{n-1}\quad {\text{لـ }}n>0.$

تنمو أعداد كاتالان تقاربياً مع $C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\pi }}}}\,,$ بمعنى أن ناتج قسمة العدد الكاتالاني $النوني$ على التعبير الموجود على اليمين يؤول إلى 1 عندما يقترب $n$ من اللانهاية. ويمكن إثبات ذلك باستخدام النمو التقاربي لمعاملات ذات الحدين المركزية ، أو بتقريب ستيرلينغ لـ $n!،$ أو عبر الدوال المولدة .

$الأعداد الكاتالونية C n$ الفردية الوحيدة هي تلك التي تحقق الشرط $n = 2 k - 1$ ؛ أما باقي الأعداد فهي زوجية. الأعداد الكاتالونية الأولية الوحيدة هي $C 2 = 2$ و $C 3 = 5.$ [ ^{1 ] بشكل} عام، يمكن تحديد رتبة القسمة للعدد الأولي p على $C$ $ n$ $من خلال كتابة n + 1$ في النظام العددي ذي الأساس $p$ . عندما يكون $p = 2k$ ، تكون الرتبة هي عدد الخانات التي قيمتها 1 مطروحًا منها 1. بالنسبة $للعدد p$ الأولي الفردي، يتم حساب جميع الأرقام الأكبر من $⁠ p + 1 / 2 ⁠$ ؛ وكذلك الأرقام التي تساوي $⁠$ $p$ $+ 1$ $/$ $2$ $⁠$ ما لم تكن الأخيرة؛ وإذا لم تكن الأخيرة، يتم حساب الأرقام التي تساوي $⁠$ $p$ $- 1$ $/$ $2$ $⁠$ ثم يتم حساب الرقم التالي. ^[^٢^] $الأعداد$ الكاتالونية الفردية الوحيدة المعروفة التي لا تحتوي على الرقم ٥ في نهايتها هي: $C₀$ $=$ $١$ $،$ $C₁$ $= ١$ ، $C₇$ $= ٤٢٩$ ، $C₃¹$ ، $C₁²⁷$ $،$ و $C₂²⁵ .$ $أما$ الأعداد الكاتالونية الفردية، $Cₙ$ حيث $n$ $= ٢k$ $-$ $١$ $،$ فلا تحتوي على الرقم ٥ في نهايتها إذا $كان تمثيل$ $n$ $+ ١$ في النظام الخماسي يحتوي على الأرقام ٠ و١ و٢ فقط، باستثناء الخانة الأقل أهمية، والتي يمكن أن تكون أيضًا ٣. ^[^٣^]

للأعداد الكاتالونية تمثيلات تكاملية ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

$C_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{4}x^{n}{\sqrt {\frac {4-x}{x}}}\,dx\,={\frac {2}{\pi }}4^{n}\int _{-1}^{1}t^{2n}{\sqrt {1-t^{2}}}\,dt.$ مما يؤدي مباشرة إلى $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {C_{n}}{4^{n}}}=2.$

لهذا تفسير احتمالي بسيط. لنفترض مسارًا عشوائيًا على خط الأعداد الصحيحة، يبدأ من الصفر. ولتكن -1 حالة "فخ"، بحيث إذا وصل المتحرك إلى -1، فإنه سيبقى هناك. يمكن للمتحرك الوصول إلى حالة الفخ في الأوقات 1، 3، 5، 7، ... وعدد الطرق التي يمكن للمتحرك من خلالها الوصول إلى حالة الفخ في الوقت $2k$ $+ 1$ هو $Ck .$ بما أن المسار العشوائي أحادي البعد متكرر، فإن احتمال وصول المتحرك في النهاية إلى -1 هو $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {C_{n}}{2^{2n+1}}}=1.$

تطبيقات في علم التوافيق

توجد العديد من مسائل العد في علم التوافيق التي تُحل باستخدام أعداد كاتالان. يحتوي كتاب " التوافيق العددية: المجلد الثاني" $لعالم$ التوافيق ريتشارد ب. ستانلي على مجموعة من التمارين التي تشرح 66 تفسيرًا مختلفًا لأعداد كاتالان. فيما يلي بعض الأمثلة، مع توضيح للحالتين $C3 = 5$ و $C4 = 14$ .

$يمثل C n$ عدد كلمات دايك ^{[ 6 ]} التي يبلغ طولها $2 n$ . كلمة دايك هي سلسلة تتكون من $n$ حرف X و $n$ حرف Y، بحيث لا يحتوي أي جزء أولي من السلسلة على عدد من أحرف Y أكثر من عدد أحرف X. على سبيل المثال، فيما يلي كلمات دايك التي يصل طولها إلى 6:

- XY
- XXYY
- XYXY
- XXXYYY
- XYXXYY
- XYXYXY
- XXYYXY
- XXYXYY

بإعادة تفسير الرمز X كقوس مفتوح والرمز Y كقوس مغلق، يحسب $C n$ عدد التعبيرات التي تحتوي على $n$ زوجًا من الأقواس المتطابقة بشكل صحيح. على سبيل المثال، بالنسبة $لـ n = 3،$ تكون هذه التعبيرات هي

((()))
(()())
())()
()(())
()()()

$يمثل C n$ عدد الطرق المختلفة $التي يمكن بها وضع n + 1$ عاملًا بين قوسين بشكل كامل، أي عدد طرق ربط $n$ تطبيقًا لمؤثر ثنائي (كما في مسألة ضرب سلسلة المصفوفات ). على سبيل المثال، بالنسبة لـ $n = 3$ ، لدينا الطرق الخمس التالية لوضع أربعة عوامل بين قوسين بشكل كامل:

((AB)c)d
(أ(بج))د
(ab)(cd)
أ((ب ج)د)
أ(ب(ج د))

يمكن تمثيل التطبيقات المتتالية لمؤثر ثنائي باستخدام شجرة ثنائية كاملة ، وذلك بتسمية كل ورقة $a و b و c و d$ . وبالتالي، فإن $C n$ هو عدد الأشجار الثنائية الكاملة التي تحتوي على $n + 1 ورقة، أو بشكل مكافئ، التي تحتوي على$ $n$ عقدة داخلية إجمالاً .

$يمثل C n$ عدد الأشجار المرتبة (أو المستوية) غير المتماثلة ذات $n + 1$ رأسًا.^{[ 7 ]} انظر ترميز الأشجار المرتبة كأشجار ثنائية . على سبيل المثال، $يمثل C n$ عدد أشجار التحليل الممكنة لجملة ما (بافتراض التفرع الثنائي) في معالجة اللغة الطبيعية.
$يمثل C n$ عدد المسارات الشبكية الرتيبة على طول حواف شبكة مكونة من $n \times n$ خلية مربعة، والتي لا تمر فوق القطر. المسار الرتيب هو المسار الذي يبدأ من الزاوية السفلية اليسرى وينتهي في الزاوية العلوية اليمنى، ويتكون بالكامل من حواف تشير إلى اليمين أو إلى الأعلى. يُعادل عدّ هذه المسارات عدّ كلمات ديك: حيث يرمز X إلى "التحرك إلى اليمين" وY إلى "التحرك إلى الأعلى".

توضح المخططات التالية الحالة

n = 4

:

يمكن تمثيل ذلك من خلال سرد العناصر الكاتالونية حسب ارتفاع العمود: ^{[ 8 ]}

- [0,0,0,0]
- [0,0,0,1]
- [0,0,0,2]
- [0,0,1,1]
- [0,1,1,1]
- [0,0,1,2]
- [0,0,0,3]
- [0,1,1,2]
- [0,0,2,2]
- [0,0,1,3]
- [0,0,2,3]
- [0,1,1,3]
- [0,1,2,2]
- [0,1,2,3]

يمكن تقسيم مضلع محدب ذي n + 2 ضلعًا إلى مثلثات عن طريق $توصيل رؤوسه$ بقطع مستقيمة لا تتقاطع (وهو شكل من أشكال تثليث المضلعات ). عدد المثلثات المتكونة هو $n$ ، وعدد الطرق المختلفة لتحقيق ذلك هو $C n$ . توضح الأشكال السداسية التالية الحالة $n = 4$ :

$يمثل C n$ عدد التباديل القابلة للفرز باستخدام المكدس للمجموعة ${1، ...،$ $n$ $}$ . يُطلق علىالتبديل $w اسم$ قابل للفرز باستخدام المكدس إذا كان $S$ $($ $w$ $) = (1، ...،$ $n$ $)$ ، حيثيتم تعريف $S$ $($ $w$ $) بشكل تكراري كما يلي: اكتب$ $w$ $=$ $unv$ حيث $n$ هو أكبر عنصر في $w$ و $u$ و $v$ هما متتاليتان أقصر، وضع $S$ $($ $w$ $) =$ $S$ $($ $u$ $)$ $S$ $($ $v$ $)$ $n$ ، حيث $S$ هو العنصر المحايد للمتتاليات المكونة من عنصر واحد.
$يمثل C n$ عدد التباديل للمجموعة ${1، ...، n}$ التي تتجنب نمط التبديل 123 (أو، بدلاً من ذلك، أي نمط آخر بطول 3)؛ أي عدد التباديل التي لا تحتوي على متتالية فرعية متزايدة مكونة من ثلاثة حدود. بالنسبة لـ $n = 3$ ، تكون هذه التباديل هي 132، 213، 231، 312، و321. أما بالنسبة لـ $n = 4$ ، فتكون هي 1432، 2143، 2413، 2431، 3142، 3214، 3241، 3412، 3421، 4132، 4213، 4231، 4312، و4321.
$يمثل C n$ عدد التقسيمات غير المتقاطعة للمجموعة ${1، ...، n}$ . ومن باب أولى ،لا يتجاوز $C n$ $أبدًا العدد n$ من أعداد بيل . $كما يمثل C n$ عدد التقسيمات غير المتقاطعة للمجموعة ${1، ...، 2 n}$ التي يكون فيها حجم كل كتلة 2.
$يمثل C n$ عدد الطرق الممكنة لتبليط شكل متدرج بارتفاع $n$ باستخدام $n$ مستطيلات. يؤدي قطع القطر العكسي والنظر إلى الحواف فقط إلى الحصول على أشجار ثنائية كاملة. يوضح الشكل التالي الحالة $n = 4$ :

$يمثل C n$ عدد جداول يونغ القياسية التي يكون رسمها مستطيلاً بأبعاد 2× $n$ . بعبارة أخرى، هو عدد الطرق التييمكن بها ترتيب $الأعداد من 1 إلى 2n في$ $مستطيل بأبعاد 2\times n$ بحيث يكون كل صف وكل عمود متزايدًا. وبذلك، يمكن اشتقاق الصيغة كحالة خاصة من صيغة طول الخطاف .

123 124 125 134 135 456 356 346 256 246

$يمثل C n$ عدد المتتاليات التي طولها $n$ والتي تبدأ بالرقم 1، ويمكن أن تزيد بمقدار 0 أو 1، أو تنقص بأي عدد (على الأقل إلى 1). بالنسبة لـ $n = 4،$ تكون هذه المتتاليات هي: 1234، 1233، 1232، 1231، 1223، 1222، 1221، 1212، 1211، 1123، 1122، 1121، 1112، 1111. في مسار ديك، ابدأ عدادًا من 0. يزيد الرمز X العداد بمقدار 1، بينما ينقصه الرمز Y بمقدار 1. سجل القيم عند الرموز X فقط. بالمقارنة مع التمثيل المماثل لأعداد بيل ، فإن العدد 1213 هو الوحيد المفقود.

إثبات الصيغة

هناك عدة طرق لشرح سبب استخدام الصيغة $C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$ يحلّ هذا البرنامج المسائل التوافقية المذكورة أعلاه. يستخدم البرهان الأول أدناه دالة مولدة . أما البراهين الأخرى فهي أمثلة على البراهين التقابلية ؛ إذ تتضمن عدّ مجموعة من نوع معين من العناصر للوصول إلى الصيغة الصحيحة.

الدليل الأول

نلاحظ أولاً أن جميع المسائل التوافقية المذكورة أعلاه تحقق علاقة التكرار الخاصة بسيجنر ^{[ 9 ].}

$C_{0}=1\quad {\text{و}}\quad C_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}C_{i}\,C_{ni}\quad {\text{لـ }}n\geq 0\,.$

على سبيل المثال، يمكن كتابة كل كلمة من كلمات Dyck $w$ التي يبلغ طولها 2 أو أكثر بطريقة فريدة على النحو التالي:

w = X w 1 Y w 2

مع كلمات ديك (التي قد تكون فارغة) $w 1$ و $w 2$ .

تُعرَّف الدالة المولدة لأعداد كاتالان بواسطة

$c(x)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}x^{n}\,.$

يمكن تلخيص علاقة التكرار المذكورة أعلاه في شكل دالة مولدة بواسطة العلاقة

$c(x)=1+xc(x)^{2}\,;$

بمعنى آخر، تُستنتج هذه المعادلة من العلاقة التكرارية بتوسيع طرفيها إلى متسلسلة قوى . من جهة، تُحدد العلاقة التكرارية أعداد كاتالان بشكل فريد؛ ومن جهة أخرى، بتفسير $xc² - c + 1 = 0$ كمعادلة تربيعية لـ $c$ وباستخدام القانون العام ، يمكن حل علاقة الدالة المولدة جبريًا للحصول على حلين محتملين $.$

$c(x)={\begin{cases}{\dfrac {1+{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\\[4px]{\dfrac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\end{cases}}\,.$

من بين الاحتمالين، يجب اختيار الاحتمال الثاني لأنه الاحتمال الثاني فقط هو الذي يعطي

$C_{0}=\lim _{x\to 0}c(x)=1\,.$

يمكن توسيع حد الجذر التربيعي كمتسلسلة قوى باستخدام متسلسلة ذات الحدين

${\begin{aligned}1-{\sqrt {1-4x}}&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}(-4x)^{n}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^{n}n!}}(-4x)^{n}\\[6px]&=-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{2^{n+1}(n+1)!}}(-4x)^{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n+1}(2n-1)!!}{(n+1)!}}x^{n+1}\\[6px]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(2n)!}{(n+1)!n!}}x^{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{n+1}}{\binom {2n}{n}}x^{n+1}\,.\end{aligned}}$ هكذا، $c(x)={\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}x^{n}\,.$

الدليل الثاني

نُعرّف المسار السيئ بأنه المسار الذي يبدأ عند $(x, y) = (0, 0)$ ، وينتهي عند $(n, n)$ ، ويكون رتيبًا، ويحتوي على نقطة أعلى من الخط $y = x$ . نحسب عدد المسارات السيئة بإثبات تقابل مع المسارات التي تبدأ عند $(0, 0)$ ، وتنتهي عند $(n - 1, n + 1)$ ، وتكون رتيبة.

بالنسبة لمسار معيب مُعطى، أنشئ مسارًا معكوسًا كما يلي: ليكن $P$ أول نقطة على المسار المعيب تتقاطع مع الخط $y = x + 1.$ المسار المعيب من $(0, 0)$ إلى $P$ هو بداية المسار المعكوس. الجزء من المسار المعيب من $P$ إلى $(n, n)$ المنعكس حول الخط $y = x + 1$ هو الجزء المتبقي من المسار المعكوس. انظر الرسم التوضيحي كمثال. الخط الأسود يمثل النقاط المشتركة بين المسارين، والخط الأحمر المتقطع يمثل الجزء المتبقي من المسار المعيب، والخط الأحمر المتصل يمثل الجزء المتبقي من المسار المعكوس.

هذا تقابل لأن كل مسار رتيب من $(0، 0)$ إلى $(n - 1، n + 1)$ يمكن إنشاؤه من مسار سيئ، وكل مسار معكوس قابل للعكس بشكل فريد من خلال إيجاد النقطة الفريدة $P$ ، والتي يجب أن تكون موجودة لأن كل مسار من هذا القبيل يجب أن يتقاطع مع $y = x + 1$ .

عدد الخطوات في المسار المنعكس هو $(ن - ١) + (ن + ١) = ٢ ن$ . عدد الخطوات الصاعدة هو $ن + ١$ لأن المسار رتيب ويبدأ عند $ص = ٠$ وينتهي عند $ص = ن + ١$ .

يمكن حساب عدد المسارات المنعكسة بالطريقة المعتادة، وذلك بحساب عدد الخطوات الصاعدة التي يمكن توزيعها على إجمالي الخطوات، وهو ${\textstyle {\binom {2n}{n+1}}}$ ويتم الحصول على عدد المسارات الكاتالونية (المسارات الجيدة) عن طريق إزالة عدد المسارات السيئة من العدد الإجمالي للمسارات الرتيبة للشبكة الأصلية.

$C_{n}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n+1}}={\binom {2n}{n}}-{\frac {n}{n+1}}{\binom {2n}{n}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.$

يمكن إعادة صياغة هذا البرهان باستخدام كلمات ديك. نبدأ بتسلسل (غير ديك) من $n$ X و $n$ Y، ونبدل جميع X و Y بعد أول Y يخالف شرط ديك.

الدليل الثالث

يُقدّم هذا البرهان التقابلي تفسيراً طبيعياً للحدّ $n + 1$ الذي يظهر في مقام صيغة $C$ $n$ . ويمكن الاطلاع على نسخة معممة من هذا البرهان في ورقة بحثية لروكافيكا (2011). ^[¹⁰^]

في حالة وجود مسار رتيب، يُعرَّف تجاوز هذا المسار بأنه عدد الحواف الرأسية التي تقع فوق القطر. على سبيل المثال، في الشكل 2، الحواف التي تقع فوق القطر مُحدَّدة باللون الأحمر، لذا فإن تجاوز هذا المسار هو 5.

بالنظر إلى مسار رتيب لا تتجاوز قيمته الصفر، فإننا نطبق الخوارزمية التالية لإنشاء مسار جديد تكون قيمة تجاوزه أقل بمقدار $1$ من المسار الذي بدأنا به.

ابدأ من أسفل اليسار، واتبع المسار حتى يصبح فوق الخط القطري.
استمر في تتبع المسار حتى يتقاطع مع القطر مرة أخرى. مثّل بـ $X$ أول ضلع يتم الوصول إليه.
قم بتبديل الجزء من المسار الذي يقع قبل $X$ مع الجزء الذي يقع بعد $X.$

في الشكل 3، تشير النقطة السوداء إلى النقطة التي يتقاطع عندها المسار مع القطر لأول مرة. الحافة السوداء هي $X$ ، ونضع آخر نقطة شبكية للجزء الأحمر في الزاوية العلوية اليمنى، وأول نقطة شبكية للجزء الأخضر في الزاوية السفلية اليسرى، ونضع $X$ وفقًا لذلك، لإنشاء مسار جديد، كما هو موضح في الرسم التخطيطي الثاني.

الشكل 3. يتم تبادل الأجزاء الخضراء والحمراء.

انخفض التجاوز من 3 إلى 2. في الواقع، تتسبب الخوارزمية في انخفاض التجاوز بمقدار $1$ لأي مسار نقوم بتغذيته بها، لأن الخطوة الرأسية الأولى التي تبدأ على القطر (عند النقطة المميزة بنقطة سوداء) هي الحافة الرأسية الوحيدة التي تتغير من كونها فوق القطر إلى كونها تحته عند تطبيق الخوارزمية - جميع الحواف الرأسية الأخرى تبقى على نفس جانب القطر.

الشكل 4. جميع المسارات الرتيبة في شبكة 3 × 3 ، توضح خوارزمية تقليل التجاوز.

يتضح أن هذه العملية قابلة للعكس : فبالنظر إلى أي مسار $P$ الذي يقل تجاوزه عن $n$ ، يوجد مسار واحد فقط يُنتج $P$ عند تطبيق الخوارزمية عليه. في الواقع، الحافة (السوداء) $X$ ، التي كانت في الأصل أول خطوة أفقية تنتهي على القطر، أصبحت آخر خطوة أفقية تبدأ على القطر. بدلاً من ذلك، يمكن عكس الخوارزمية الأصلية للبحث عن أول حافة تمر أسفل القطر.

هذا يعني أن عدد مسارات التجاوز $n$ يساوي عدد مسارات التجاوز $n - 1$ ، والذي يساوي عدد مسارات التجاوز $n - 2$ ، وهكذا حتى الصفر. بعبارة أخرى، قمنا بتقسيم مجموعة جميع المسارات الرتيبة إلى $n + 1$ فئة متساوية الحجم، تتوافق مع التجاوزات الممكنة بين 0 و $n$ . ${\textstyle {\binom {2n}{n}}}$ من خلال المسارات الرتيبة، نحصل على الصيغة المطلوبة $C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.$

يوضح الشكل 4 الحالة عندما $n$ $= 3.$ يظهر كل مسار من المسارات العشرين الممكنة في مكان ما في الجدول. يعرض العمود الأول جميع المسارات التي تتجاوز قيمتها ثلاثة، والتي تقع بالكامل فوق القطر. تُظهر الأعمدة على اليمين نتيجة التطبيقات المتتالية للخوارزمية، حيث تتناقص قيمة التجاوز بمقدار وحدة واحدة في كل مرة. يوجد خمسة صفوف، أي $C$ $3$ $= 5$ ، ويعرض العمود الأخير جميع المسارات التي لا تتجاوز القطر.

باستخدام كلمات ديك، ابدأ بتسلسل من ${\textstyle {\binom {2n}{n}}}$ لنفترض أن $X d$ هو أول $عنصر X$ يحقق المساواة في متتالية جزئية أولية، ولنُهيئ المتتالية على النحو التالي: $(F) X d (L)$ . المتتالية الجديدة هي $LXF$ .

الدليل الرابع

يستخدم هذا البرهان تعريف التثليث لأعداد كاتالان لإثبات العلاقة بين $C n$ و $C n +1$ .

بفرض وجود مضلع $P$ ذي $n + 2$ ضلعًا وتثليث، حدد أحد أضلاعه كقاعدة، ووجه أيضًا أحد أضلاعه البالغ عددها $2n + 1 ضلعًا$ . يوجد $(4n + 2) Cn من$ هذه التثليثات المحددة لقاعدة معينة.

بفرض وجود مضلع $Q$ ذي $n + 3$ أضلاع وتثليث (مختلف)، حدد أحد أضلاعه كقاعدة. حدد ضلعًا آخر غير ضلع القاعدة (وليس ضلعًا داخليًا للمثلث). يوجد $(n + 2) Cn + 1 من$ هذه التثليثات المحددة لقاعدة معينة.

هناك تقابل بسيط بين هذين المثلثين المميزين: يمكننا إما طي المثلث في $Q$ الذي تم تمييز ضلعه (بطريقتين، وطرح الطريقتين اللتين لا يمكنهما طي القاعدة)، أو، بالعكس، توسيع الحافة الموجهة في $P$ إلى مثلث ووضع علامة على ضلعه الجديد.

هكذا $(4n+2)C_{n}=(n+2)C_{n+1}\,.$

يكتب ${\frac {4n-2}{n+1}}C_{n-1}=C_{n}\,.$

لأن

$(2n)!=(2n)!!(2n-1)!!=2^{n}n!(2n-1)!!\,,$

لدينا

${\frac {(2n)!}{n!}}=2^{n}(2n-1)!!=(4n-2)!!!!\,.$

تطبيق التكرار مع $C 0 = 1$ يعطي النتيجة.

الدليل الخامس

يستند هذا البرهان إلى تفسير كلمات ديك لأعداد كاتالان، لذا فإن $C n$ هو عدد الطرق الصحيحة لمطابقة $n$ زوجًا من الأقواس. نرمز إلى السلسلة الصحيحة (التي قد تكون فارغة) بالرمز $c،$ وإلى معكوسها بالرمز $c'$ . بما أن أي $c$ يمكن تحليله بشكل فريد إلى $c = (c 1 ) c 2$ ، فإن جمع الأطوال الممكنة لـ $c 1$ يعطينا مباشرةً التعريف التكراري. $C_{0}=1\quad {\text{and}}\quad C_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}C_{i}\,C_{n-i}\quad {\text{for }}n\geq 0$ .

ليكن $b$ سلسلة متوازنة طولها $2n ،$ أي أن $b تحتوي$ $على$ عدد متساوٍ من $($ و $)$ ، لذا ${\textstyle {\binom {2n}{n}}}$ يمكن أيضًا تحليل السلسلة المتوازنة بشكل فريد إلى إما $(c) b$ أو $(c' (b)$ ، لذا

$B_{n+1}=2\sum _{i=0}^{n}B_{i}C_{n-i}\,.$

أي سلسلة غير متوازنة (غير كتالونية) تبدأ بالحرف $c ،$ والسلسلة المتبقية تحتوي على حرف إضافي $($ من $)$ ، لذا $B_{n+1}-C_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {2i+1}{i}}C_{n-i}$

كذلك، من التعريفات، لدينا:

$B_{n+1}-C_{n+1}=2\sum _{i=0}^{n}B_{i}C_{n-i}-\sum _{i=0}^{n}C_{i}\,C_{n-i}=\sum _{i=0}^{n}(2B_{i}-C_{i})C_{n-i}\,.$

لذلك، بما أن هذا صحيح لجميع $قيم n$ ،

${\begin{aligned}2B_{i}-C_{i}&={\binom {2i+1}{i}}\\[6px]C_{i}&=2B_{i}-{\binom {2i+1}{i}}\\[6px]&=2{\binom {2i}{i}}-{\binom {2i+1}{i}}\\[6px]&={\frac {1}{i+1}}{\binom {2i}{i}}\,.\end{aligned}}$

الدليل السادس

يستند هذا البرهان إلى تفسير كلمات ديك للأعداد الكاتالونية، ويستخدم مبرهنة الدورة لديفوريتسكي وموتزكين. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

نُطلق على متتالية من X و Y اسم المتتالية المهيمنة إذا كان عدد X، عند قراءتها من اليسار إلى اليمين، أكبر دائمًا من عدد Y. تنصّ مبرهنة الدورة ^{[ 13 ]} على أن أي متتالية من $m$ X و $n$ Y، حيث $m > n$ ، تحتوي على $m - n$ إزاحة دائرية مهيمنة . ولتوضيح ذلك، رتّب المتتالية المعطاة من $m + n$ X و Y في دائرة. يؤدي حذف أزواج XY بشكل متكرر إلى بقاء $m - n$ X بالضبط. كان كل زوج من هذه الأزواج X بداية إزاحة دائرية مهيمنة قبل حذف أي زوج. على سبيل المثال، لنأخذ المتتالية XXYXY. هذه المتتالية مهيمنة، لكن لا توجد أي إزاحة دائرية مهيمنة فيها، وهي XYXYX و YXYXX و XYXXY و YXXYX.

تُعتبر السلسلة كلمة ديك مكونة من $n من$ X و $n من$ Y إذا وفقط إذا كان إضافة X إلى كلمة ديك يُعطي متتالية مهيمنة مكونة من $n + 1$ من X و $n من$ Y، لذا يمكننا حساب الأولى بحساب الثانية بدلاً من ذلك. على وجه الخصوص، عندما $m = n + 1$ ، يوجد إزاحة دائرية مهيمنة واحدة فقط. ${\textstyle {\binom {2n+1}{n}}}$ متتابعات تحتوي على $n + 1$ من X و $n من$ Y. لكل منها، يهيمن واحد فقط من بين $2n + 1 من التحولات الدائرية. لذلك ، يوجد$ ${\textstyle {\frac {1}{2n+1}}{\binom {2n+1}{n}}}$ تسلسلات متميزة من $n + 1$ Xs و $n$ Ys التي تهيمن، كل منها يتوافق مع كلمة Dyck واحدة بالضبط.

مصفوفة هانكل

مصفوفة هانكل من الرتبة $n \times n$ التي يكون عنصرها $($ $i$ $,$ $j$ $)$ هو عدد كاتالان $C$ $i$ $+$ $j$ $- 2،$ يكون محددها 1، بغض النظر عن قيمة $n$ . على سبيل المثال، عندما $n$ $= 4،$ لدينا $\det {\begin{bmatrix}1&1&2&5\\1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\end{bmatrix}}=1.$

علاوة على ذلك، إذا تم "إزاحة" الفهرسة بحيث يتم ملء المدخل $(i, j)$ بالعدد الكاتالاني $C i + j - 1،$ فإن المحدد يظل 1، بغض النظر عن قيمة $n$ . على سبيل المثال، بالنسبة لـ $n = 4$ لدينا $\det {\begin{bmatrix}1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\\14&42&132&429\end{bmatrix}}=1.$

وبالنظر إلى هذين الشرطين معاً، فإنهما يحددان بشكل فريد أعداد كاتالان.

ومن السمات الفريدة الأخرى لمصفوفة كاتالان-هانكل أن المصفوفة الفرعية $n \times n$ التي تبدأ من $2$ لها محدد $n + 1$ .

$\det {\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}=2$

$\det {\begin{bmatrix}2&5\\5&14\end{bmatrix}}=3$

$\det {\begin{bmatrix}2&5&14\\5&14&42\\14&42&132\end{bmatrix}}=4$

$\det {\begin{bmatrix}2&5&14&42\\5&14&42&132\\14&42&132&429\\42&132&429&1430\end{bmatrix}}=5$

إلخ.

تاريخ

وصف ليونارد أويلر متتالية كاتالان عام 1751 ، وكان مهتمًا بعدد الطرق المختلفة لتقسيم المضلع إلى مثلثات. سُميت المتتالية نسبةً إلى يوجين شارل كاتالان ، الذي اكتشف صلتها بالعبارات بين قوسين أثناء بحثه في لغز أبراج هانوي . أما خدعة عدّ الانعكاس (البرهان الثاني) لكلمات ديك، فقد اكتشفها ديزيريه أندريه عام 1887.

يعود أصل مصطلح "الأرقام الكاتالونية" إلى جون ريوردان . ^{[ 14 ]}

في عام 1988، اتضح أن متتاليات الأعداد الكاتالونية قد استُخدمت في الصين من قِبل عالم الرياضيات المنغولي مينغانتو بحلول عام 1730، عندما بدأ في كتابة كتابه " Ge Yuan Mi Lu Jie Fa" [الطريقة السريعة للحصول على النسبة الدقيقة لتقسيم الدائرة] ، والذي أكمله تلميذه تشين جيكسين عام 1774، ولكن نُشر بعد ستين عامًا. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} وقد لخص بيتر ج. لاركومب (1999) بعض ملامح عمل مينغانتو، بما في ذلك تأثير بيير جارتو، الذي جلب ثلاث متسلسلات لانهائية إلى الصين في أوائل القرن الثامن عشر.

فعلى سبيل المثال، استخدم مينجانتو متتالية كاتالان للتعبير عن متسلسلات توسيع لـ $\sin(2\alpha )$ و $\sin(4\alpha )$ من ناحية $\sin(\alpha )$ .

التعميمات

يمكن تفسير أعداد كاتالان على أنها حالة خاصة من نظرية اقتراع برتراند . على وجه التحديد، $C_{n}$ يمثل عدد الطرق التي يمكن للمرشح أ الذي لديه $ن + 1$ صوتًا أن يتقدم بها على المرشح ب الذي لديه $ن$ صوتًا.

متتالية من الأعداد الصحيحة غير السالبة ذات معلَمين ${\frac {(2m)!(2n)!}{(m+n)!m!n!}}$ هي تعميم لأعداد كاتالان. تُسمى هذه الأعداد بأعداد كاتالان الفائقة ، وفقًا لإيرا جيسل . يجب عدم الخلط بينها وبين أعداد شرودر-هيبارخوس ، التي تُسمى أحيانًا أيضًا بأعداد كاتالان الفائقة.

ل $m=1$ وهذا يعادل ضعف الأرقام الكاتالونية العادية، و $m=n$ تتميز هذه الأرقام بوصف توافقي سهل. ومع ذلك، فإن الأوصاف التوافقية الأخرى معروفة فقط ^{[ 17 ]} لـ $m=2,3$ و $4$ [ ¹⁸^] وهي مشكلة مفتوحة لإيجاد تفسير توافقي عام ^.

قدّم سيرجي فومين وناثان ريدينغ عددًا كاتالانيًا معمّمًا مرتبطًا بأي زمرة كوكسيتر بلورية منتهية ، وهو عدد العناصر التبادلية الكاملة للزمرة؛ من حيث نظام الجذور المرتبط ، فهو عدد السلاسل المضادة (أو مثاليات الترتيب) في مجموعة الجذور الموجبة المرتبة جزئيًا. $C_{n}$ يتوافق مع نظام الجذر من النوع $A_{n}$ . تُعمم علاقة التكرار الكلاسيكية: عدد كاتالان لمخطط كوكسيتر يساوي مجموع أعداد كاتالان لجميع مخططاته الفرعية القصوى. ^{[ 19 ]}

تُعد أعداد كاتالان حلاً لإحدى نسخ مسألة عزم هاوسدورف . ^{[ 20 ]}

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة الأولية فيما بينها $r$ و $s$ ، فإن أعداد كاتالان النسبية ${\frac {1}{r+s}}{\binom {r+s}{r}}$ احسب عدد مسارات الشبكة ذات الخطوات ذات الطول الواحد إلى اليمين وإلى الأعلى من $(0,0)$ إلى $(r, s)$ والتي لا تتجاوز الخط $ry = sx$ . ^{[ 21 ]}

التفاف كاتالان k-fold

الالتفاف الكاتالاني ذو $k$ طية هو:

$\sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n \atop i_{1},\ldots ,i_{k}\geq 0}C_{i_{1}}\cdots C_{i_{k}}={\dfrac {k}{2n+k}}{\binom {2n+k}{n}}$

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ كوشي، توماس؛ سلماسي، محمد (2006). "تكافؤ وأولية أعداد كاتالان" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 37 (1): 52-53 . doi : 10.2307/27646275 . JSTOR 27646275. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2021-02-09 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-03-04 .
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A000108 (أعداد كاتالان)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ "الرقم الكاتالوني" .
↑ تشوي، هايونغ؛ ييه، يونغ نان؛ يو، سيونغوك (2020)، "متواليات عددية شبيهة بمتواليات كاتالان ومتواليات عزم هاوسدورف"، الرياضيات المتقطعة ، 343 (5): 111808، 11، arXiv : 1809.07523 ، doi : 10.1016/j.disc.2019.111808 ، MR 4052255 ، S2CID 214165563 مثال 3.1
^ تشى فنغ. Guo, Bai-Ni (2017)، "التمثيلات التكاملية للأرقام الكاتالونية وتطبيقاتها"، الرياضيات ، 5 (3): 40، doi : 10.3390/math5030040النظرية 1
↑ مسارات ديك
↑ ستانلي، صفحة 221، مثال (هـ)
↑ Črepinšek, Matej; Mernik, Luka (2009). "تمثيل فعال لحل المسائل المتعلقة بأعداد كاتالان" (ملف PDF) . المجلة الدولية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 56 (4): 589–604 .
^ سيجنر، أ. دي (1758–59). “طريقة التعداد، quibusFigurae Planae Rectilineae Per Diagonales Dividuntur in Triangula”. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 7 : 203 - 209.
↑ روكافيتشكا، جوزيف (2011). "حول مسارات ديك المعممة" . المجلة الإلكترونية للتوافقية . 18 : 40.
↑ ديرشوفيتز، ناحوم؛ زاكس، شموئيل (1980)، "تعداد الأشجار المرتبة"، الرياضيات المتقطعة ، 31 : 9-28 ، doi : 10.1016/0012-365x(80)90168-5 ، hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t3kw6z60d
↑ دفورتسكي، أرييه؛ موتزكين، ثيودور (1947)، "مسألة ترتيبات"، مجلة ديوك الرياضية ، 14 (2): 305-313 ، doi : 10.1215/s0012-7094-47-01423-3
↑ ديرشوفيتز، ناحوم؛ زاكس، شموئيل (يناير 1990). "نظرية الدورة وبعض التطبيقات" (ملف PDF) . المجلة الأوروبية للتوافقية . 11 (1): 35-40 . doi : 10.1016/S0195-6698(13)80053-4 .
↑ ستانلي، ريتشارد ب. (2021). "التعداد والتوافق الجبري في الستينيات والسبعينيات". arXiv : 2105.07884 [ math.HO ].
↑ لاركومب، بيتر ج. "اكتشاف الصينيين للأرقام الكاتالونية في القرن الثامن عشر" (PDF) .
↑ "مينغ أنتو، أول مخترع للأرقام الكاتالونية في العالم" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 31 يناير 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يونيو 2014 .
↑ تشين، شين؛ وانغ، جين (2012). "أعداد كاتالان الفائقة S(m, m + s) لـ s ≤ 4". arXiv : 1208.4196 [ math.CO ].
↑ جورجيتشوك، إيرينا؛ أوريلويتز، جيدون (2020). "أعداد فائقة الكاتالونية من النوع الثالث والرابع". arXiv : 2008.00133 [ math.CO ].
↑ سيرجي فومين وناثان ريدينغ، "أنظمة الجذور والهيئات التجميعية المعممة"، التوافقية الهندسية، سلسلة الرياضيات IAS/Park City، المجلد 13 ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، بروفيدنس، رود آيلاند، 2007، الصفحات 63-131. arXiv : math/0505518
↑ تشوي، هايونغ؛ ييه، يونغ نان؛ يو، سيونغوك (2020)، "متواليات عددية شبيهة بمتواليات كاتالان ومتواليات عزم هاوسدورف"، الرياضيات المتقطعة ، 343 (5): 111808، 11، arXiv : 1809.07523 ، doi : 10.1016/j.disc.2019.111808 ، MR 4052255 ، S2CID 214165563
↑ كراتينثالر، كريستيان (2015). "تعداد مسارات الشبكة" (ملف PDF) . في: بونا، ميكلوس (محرر). دليل التوافقية التعدادية . الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها ( الطبعة الأولى). مطبعة CRC. ص 598. ISBN 9780429170317.

مراجع

ستانلي، ريتشارد ب. (2015)، الأعداد الكاتالونية . مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-1-107-42774-7.
كونواي وجاي (1996) كتاب الأرقام . نيويورك: كوبرنيكوس، ص 96-106.
غاردنر، مارتن (1988)، السفر عبر الزمن ومعضلات رياضية أخرى ، نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه، الصفحات 253-266 (الفصل 20) ، رمز Bibcode : 1988ttom.book.....G ، رقم ISBN 0-7167-1924-X
كوشي، توماس (2008)، أعداد كاتالان مع تطبيقات ، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-533454-8
كوشي، توماس وزينغوانغ غاو (2011) "بعض خصائص قابلية القسمة لأعداد كاتالان"، المجلة الرياضية 95:96-102.
لاركومب، بي جيه (1999). "اكتشاف الصينيين لأعداد كاتالان في القرن الثامن عشر" (ملف PDF) . الطيف الرياضي . 32 : 5-7 .
ستانلي، ريتشارد ب. (1999)، التوافقية العددية. المجلد 2 ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد 62، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-56069-6MR 1676282
إيجي أوغلو، عمر (2009)، تقييم محدد كاتالان-هانكل (PDF)
جورجيتشوك، إيرينا؛ أوريلويتز، جيدون (2020)، أعداد فائقة الكاتالونية من النوع الثالث والرابع ، arXiv : 2008.00133

روابط خارجية

ستانلي، ريتشارد ب. (1998)، ملحق كاتالوني لكتاب التعداد التوافقي، المجلد 2 (PDF)
وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد الكاتالوني" . عالم الرياضيات .
ديفيس، توم: الأرقام الكاتالونية . المزيد من الأمثلة.
"تكافؤ ثلاثة تفسيرات لأرقام كاتالان" من مشروع عروض وولفرام
مواد تعليمية متعلقة بتقسيم المثلثات العددية على موقع ويكيفيرسيتي

[1] كوشي، توماس؛ سلماسي، محمد (2006). "تكافؤ وأولية أعداد كاتالان" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 37 (1): 52-53 . doi : 10.2307/27646275 . JSTOR 27646275. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2021-02-09 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-03-04 .

[2] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A000108 (أعداد كاتالان)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[3] "الرقم الكاتالوني" .

[4] تشوي، هايونغ؛ ييه، يونغ نان؛ يو، سيونغوك (2020)، "متواليات عددية شبيهة بمتواليات كاتالان ومتواليات عزم هاوسدورف"، الرياضيات المتقطعة ، 343 (5): 111808، 11، arXiv : 1809.07523 ، doi : 10.1016/j.disc.2019.111808 ، MR 4052255 ، S2CID 214165563 مثال 3.1

[5] تشى فنغ. Guo, Bai-Ni (2017)، "التمثيلات التكاملية للأرقام الكاتالونية وتطبيقاتها"، الرياضيات ، 5 (3): 40، doi : 10.3390/math5030040النظرية 1

[6] مسارات ديك

[7] ستانلي، صفحة 221، مثال (هـ)

[8] Črepinšek, Matej; Mernik, Luka (2009). "تمثيل فعال لحل المسائل المتعلقة بأعداد كاتالان" (ملف PDF) . المجلة الدولية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 56 (4): 589–604 .

[9] سيجنر، أ. دي (1758–59). “طريقة التعداد، quibusFigurae Planae Rectilineae Per Diagonales Dividuntur in Triangula”. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 7 : 203 - 209.

[10] روكافيتشكا، جوزيف (2011). "حول مسارات ديك المعممة" . المجلة الإلكترونية للتوافقية . 18 : 40.

[11] ديرشوفيتز، ناحوم؛ زاكس، شموئيل (1980)، "تعداد الأشجار المرتبة"، الرياضيات المتقطعة ، 31 : 9-28 ، doi : 10.1016/0012-365x(80)90168-5 ، hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t3kw6z60d

[12] دفورتسكي، أرييه؛ موتزكين، ثيودور (1947)، "مسألة ترتيبات"، مجلة ديوك الرياضية ، 14 (2): 305-313 ، doi : 10.1215/s0012-7094-47-01423-3

[13] ديرشوفيتز، ناحوم؛ زاكس، شموئيل (يناير 1990). "نظرية الدورة وبعض التطبيقات" (ملف PDF) . المجلة الأوروبية للتوافقية . 11 (1): 35-40 . doi : 10.1016/S0195-6698(13)80053-4 .

[14] ستانلي، ريتشارد ب. (2021). "التعداد والتوافق الجبري في الستينيات والسبعينيات". arXiv : 2105.07884 [ math.HO ].

[15] لاركومب، بيتر ج. "اكتشاف الصينيين للأرقام الكاتالونية في القرن الثامن عشر" (PDF) .

[16] "مينغ أنتو، أول مخترع للأرقام الكاتالونية في العالم" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 31 يناير 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يونيو 2014 .

[Chen2012-17] تشين، شين؛ وانغ، جين (2012). "أعداد كاتالان الفائقة S(m, m + s) لـ s ≤ 4". arXiv : 1208.4196 [ math.CO ].

[18] جورجيتشوك، إيرينا؛ أوريلويتز، جيدون (2020). "أعداد فائقة الكاتالونية من النوع الثالث والرابع". arXiv : 2008.00133 [ math.CO ].

[19] سيرجي فومين وناثان ريدينغ، "أنظمة الجذور والهيئات التجميعية المعممة"، التوافقية الهندسية، سلسلة الرياضيات IAS/Park City، المجلد 13 ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، بروفيدنس، رود آيلاند، 2007، الصفحات 63-131. arXiv : math/0505518

[20] تشوي، هايونغ؛ ييه، يونغ نان؛ يو، سيونغوك (2020)، "متواليات عددية شبيهة بمتواليات كاتالان ومتواليات عزم هاوسدورف"، الرياضيات المتقطعة ، 343 (5): 111808، 11، arXiv : 1809.07523 ، doi : 10.1016/j.disc.2019.111808 ، MR 4052255 ، S2CID 214165563

[21] كراتينثالر، كريستيان (2015). "تعداد مسارات الشبكة" (ملف PDF) . في: بونا، ميكلوس (محرر). دليل التوافقية التعدادية . الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها ( الطبعة الأولى). مطبعة CRC. ص 598. ISBN 9780429170317.

1 ] بشكل

[

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ].

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

18

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗