المربعات الصغرى المتحركة

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة

تُعدّ طريقة المربعات الصغرى المتحركة طريقة لإعادة بناء الدوال المستمرة من مجموعة من عينات النقاط غير المنظمة من خلال حساب مقياس المربعات الصغرى الموزون المتحيز نحو المنطقة المحيطة بالنقطة التي يُطلب عندها القيمة المعاد بناؤها.

في مجال رسومات الحاسوب ، تُعدّ طريقة المربعات الصغرى المتحركة مفيدة لإعادة بناء سطح من مجموعة من النقاط. وغالبًا ما تُستخدم لإنشاء سطح ثلاثي الأبعاد من سحابة نقاط من خلال تقليل عدد النقاط أو زيادته .

في التحليل العددي لمعالجة تأثيرات الهندسة حيث يصعب الحصول على تجزئات، استُخدمت طرق المربعات الصغرى المتحركة وعُممت لحل المعادلات التفاضلية الجزئية على الأسطح المنحنية وغيرها من الأشكال الهندسية. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] ويشمل ذلك الطرق العددية المُطورة للأسطح المنحنية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة العددية [ 1 ] [ 3 ] والمعادلات التفاضلية الجزئية الهيدروديناميكية ذات القيم المتجهة. [ 2 ]

في مجال تعلم الآلة، استُخدمت طرق المربعات الصغرى المتحركة لتطوير فئات النماذج وطرق التعلم. ويشمل ذلك طرق انحدار الدوال [ 4 ] وأساليب انحدار الدوال والمؤثرات في الشبكات العصبية، مثل شبكات GMLS-Nets. [ 5 ]

تعريف

هذا مثال أحادي البعد. الدوائر تمثل نقاط العينة، والمضلع يمثل استيفاءً خطيًا. المنحنى الأزرق هو تقريب سلس من الدرجة الثالثة.

لنفترض دالةو:Rن→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }ومجموعة من نقاط العينةS={(xأنا،وأنا)|و(xأنا)=وأنا}{\displaystyle S=\{(x_{i},f_{i})|f(x_{i})=f_{i}\}}ثم، تقريب المربعات الصغرى المتحركة من الدرجةم{\displaystyle m}عند النقطةx{\displaystyle x}يكونص~(x){\displaystyle {\tilde {p}}(x)}أينص~{\displaystyle {\tilde {p}}}يقلل من خطأ المربعات الصغرى الموزون

∑أنا∈أنا(ص(xأنا)-وأنا)2θ(‖x-xأنا‖){\displaystyle \sum _{i\in I}(p(x_{i})-f_{i})^{2}\theta (\|x-x_{i}\|)}

على جميع كثيرات الحدودص{\displaystyle p}درجة علميةم{\displaystyle m}فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.θ(s){\displaystyle \theta (s)}الوزن ويميل إلى الصفر عندماs→∞{\displaystyle s\to \infty }.

في المثالθ(s)=هـ-s2{\displaystyle \theta (s)=e^{-s^{2}}}. المُستكمِل السلس من "الرتبة 3" هو مُستكمِل تربيعي.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 ليانغ، جيان؛ تشاو، هونغكاي (يناير 2013). "حل المعادلات التفاضلية الجزئية على السحب النقطية". مجلة SIAM للحوسبة العلمية . 35 (3): A1461– A1486. ​​Bibcode : 2013SJSC...35A1461L . doi : 10.1137/120869730 . S2CID 9984491 . 
  2. 1 2 غروس، بي جيه؛ تراسك، إن؛ كوبيري، بي؛ أتزبيرغر، بي جيه (15 مايو 2020). "طرق غير شبكية على متعددات الشعب لتدفقات ديناميكية مائية على أسطح منحنية: نهج المربعات الصغرى المتحركة المعممة (GMLS)". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 409 109340. arXiv : 1905.10469 . Bibcode : 2020JCoPh.40909340G . doi : 10.1016/j.jcp.2020.109340 . S2CID 166228451 . 
  3. 1 2 غروس، بي جيه؛ كوبيري، بي؛ أتزبيرغر، بي جيه (15 مارس 2022). "إحصائيات زمن المرور الأول على أسطح ذات شكل عام: حلول المعادلات التفاضلية الجزئية السطحية باستخدام طريقة المربعات الصغرى المتحركة المعممة (GMLS)" . مجلة الفيزياء الحاسوبية . 453 110932. arXiv : 2102.02421 . Bibcode : 2022JCoPh.45310932G . doi : 10.1016/j.jcp.2021.110932 . ISSN 0021-9991 . S2CID 231802303 .  
  4. ↑ وانغ، هونغ يان؛ شيانغ، داو هونغ؛ تشو، دينغ شوان (1 مارس 2010). "طريقة المربعات الصغرى المتحركة في نظرية التعلم" . مجلة نظرية التقريب . 162 (3): 599-614 . doi : 10.1016/j.jat.2009.12.002 . ISSN 0021-9045 . 
  5. ↑ تراسك، ناثانيال؛ باتيل، رافي ج.؛ غروس، بن ج.؛ أتزبيرغر، بول ج. (13 سبتمبر 2019). "شبكات GMLS: إطار عمل للتعلم من البيانات غير المهيكلة". arXiv : 1909.05371 [ cs.LG ].