المتوسط ​​المتحرك

في الإحصاء ، يُعد المتوسط ​​المتحرك ( أو المتوسط ​​التراكمي أو المتوسط ^{​​المتداول} ) عملية حسابية لتحليل نقاط البيانات من خلال إنشاء سلسلة من ^{المتوسطات} لعينات مختلفة من مجموعة البيانات الكاملة. وتشمل أنواعه: المتوسط ​​البسيط ، والمتوسط ​​التراكمي ، ^{والمتوسط} ​​المرجح .

رياضيًا، يُعد المتوسط ​​المتحرك نوعًا من أنواع الالتفاف . لذا، في معالجة الإشارات، يُنظر إليه على أنه مرشح استجابة نبضية محدودة لتمرير الترددات المنخفضة . ولأن دالة المربع تُحدد معاملات مرشحها، يُطلق عليه مرشح المربع . ويُتبع أحيانًا بتقليل معدل أخذ العينات .

بفرض وجود سلسلة من الأرقام وحجم مجموعة فرعية ثابت، يُحسب العنصر الأول من المتوسط ​​المتحرك بأخذ متوسط ​​المجموعة الفرعية الثابتة الأولية من سلسلة الأرقام. ثم تُعدّل المجموعة الفرعية بـ"إزاحتها للأمام"؛ أي باستبعاد الرقم الأول من السلسلة وإضافة الرقم التالي فيها.

يُستخدم المتوسط ​​المتحرك عادةً مع بيانات السلاسل الزمنية لتخفيف التقلبات قصيرة الأجل وإبراز الاتجاهات أو الدورات طويلة الأجل - وفي هذه الحالة، يُطلق على الحساب أحيانًا اسم المتوسط ​​الزمني . يعتمد الحد الفاصل بين المدى القصير والمدى الطويل على التطبيق، ويتم ضبط معلمات المتوسط ​​المتحرك وفقًا لذلك. كما يُستخدم في الاقتصاد لدراسة الناتج المحلي الإجمالي، أو التوظيف، أو غيرها من السلاسل الزمنية للاقتصاد الكلي. عند استخدامه مع بيانات غير متعلقة بالسلاسل الزمنية، يقوم المتوسط ​​المتحرك بتصفية المكونات ذات التردد العالي دون أي ارتباط محدد بالوقت، على الرغم من أنه عادةً ما يُفترض وجود نوع من الترتيب. وبتبسيط الأمر، يمكن اعتباره بمثابة تنعيم للبيانات.

ابتكر بنك إنجلترا تقنية المتوسطات المتحركة في عام 1833 لإخفاء حالة احتياطياته من السبائك. ^{[ 2 ]}

في التطبيقات المالية، المتوسط ​​المتحرك البسيط ( SMA ) هو المتوسط ​​غير المرجح للمتوسط ​​السابق${\displaystyle k}$نقاط البيانات. مع ذلك، في العلوم والهندسة، يُؤخذ المتوسط ​​عادةً من عدد متساوٍ من البيانات على جانبي قيمة مركزية. وهذا يضمن توافق تغيرات المتوسط ​​مع تغيرات البيانات بدلاً من انزياحها زمنيًا.من الأمثلة على المتوسط ​​المتحرك البسيط ذي الأوزان المتساوية هو المتوسط ​​خلال الفترة الأخيرة${\displaystyle k}$مدخلات مجموعة بيانات تحتوي على${\displaystyle n}$المدخلات. لنفترض أن نقاط البيانات هذه هي${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$قد تكون هذه أسعار إغلاق سهم ما. المتوسط ​​خلال الفترة الأخيرة${\displaystyle k}$يُشار إلى نقاط البيانات (الأيام في هذا المثال) بـ${\displaystyle {\textit {SMA}}_{ك}}$وتم حسابها على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k}&={\frac {p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\cdots +p_{n}}{k}}\\&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+1}^{n}p_{i}\end{aligned}}}$$

عند حساب المتوسط ​​التالي${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}}$بنفس عرض العينة${\displaystyle k}$النطاق من${\displaystyle n-k+2}$ل${\displaystyle n+1}$يتم أخذ ذلك في الاعتبار. قيمة جديدة${\displaystyle p_{n+1}}$يدخل في المجموع والقيمة الأقدم${\displaystyle p_{n-k+1}}$يتم حذف البيانات. هذا يبسط الحسابات عن طريق إعادة استخدام المتوسط ​​السابق${\displaystyle {\textit {SMA}} _{ك،{\text{prev}}}}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}\\&={\frac {1}{k}}{\Big (}\underbrace {p_{n-k+2}+p_{n-k+3}+\dots +p_{n}+p_{n+1}} _{\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}}+\underbrace {p_{n-k+1}-p_{n-k+1}} _{=0}{\Big )}\\&=\underbrace {{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\dots +p_{n}{\Big )}} _{={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}-{\frac {p_{n-k+1}}{k}}+{\frac {p_{n+1}}{k}}\\&={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}+{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n+1}-p_{n-k+1}{\Big )}\end{aligned}}}$$وهذا يعني أنه يمكن حساب مرشح المتوسط ​​المتحرك بتكلفة منخفضة جدًا على البيانات في الوقت الحقيقي باستخدام مخزن مؤقت دائري FIFO و3 خطوات حسابية فقط.

أثناء التعبئة الأولية للمخزن المؤقت الدائري FIFO، تكون نافذة أخذ العينات مساوية لحجم مجموعة البيانات، وبالتالي${\displaystyle k=n}$ويتم حساب المتوسط ​​كمتوسط ​​متحرك تراكمي .

الفترة المختارة (${\displaystyle k}$يعتمد ذلك على نوع الحركة محل الاهتمام، مثل الحركة قصيرة الأجل أو متوسطة الأجل أو طويلة الأجل.

إذا لم تكن البيانات المستخدمة متمركزة حول المتوسط، فإن المتوسط ​​المتحرك البسيط يتأخر عن أحدث البيانات بمقدار نصف عرض العينة. كما يمكن أن يتأثر المتوسط ​​المتحرك البسيط بشكل غير متناسب باختفاء البيانات القديمة أو ورود بيانات جديدة. من خصائص المتوسط ​​المتحرك البسيط أنه إذا كانت البيانات تحتوي على تذبذب دوري، فإن تطبيق متوسط ​​متحرك بسيط لتلك الفترة سيزيل هذا التذبذب (حيث يحتوي المتوسط ​​دائمًا على دورة كاملة واحدة). ولكن نادرًا ما تُصادف دورة منتظمة تمامًا. ^{[ 3 ]}

في العديد من التطبيقات، من المفيد تجنب الانزياح الناتج عن استخدام البيانات "السابقة" فقط. لذا، يمكن حساب المتوسط ​​المتحرك المركزي باستخدام بيانات موزعة بالتساوي على جانبي النقطة في السلسلة التي يُحسب عندها المتوسط. ^{[ 4 ]} يتطلب هذا استخدام عدد فردي من النقاط في نافذة العينة.

من أبرز عيوب خوارزمية SMA أنها تسمح بمرور جزء كبير من الإشارة الأقصر من طول النافذة. قد يؤدي ذلك إلى ظهور تشوهات غير متوقعة، مثل ظهور قمم في النتيجة المُنعّمة في مواضع كانت فيها قيعان في البيانات. كما يؤدي ذلك إلى أن تكون النتيجة أقل سلاسة من المتوقع، نظرًا لعدم إزالة بعض الترددات العالية بشكل كامل.

إن استجابته الترددية هي نوع من مرشحات التمرير المنخفض تسمى sinc-in-frequency .

المتوسط ​​المتحرك المستمر لدالة قابلة للتكامل${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$يتم تعريفها من خلال التكامل على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}M_{f,\varepsilon }:\mathbb {R} &\rightarrow \mathbb {R} \\x&\mapsto \displaystyle {\frac {1}{2\,\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt\end{array}}}$

حيث${\displaystyle \varepsilon }$بيئة${\displaystyle [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}$حول${\displaystyle x}$تحدد هذه القيمة شدة تنعيم الرسم البياني للدالة القابلة للتكامل. كلما زادت القيمة، زادت شدة التنعيم.${\displaystyle \varepsilon >0}$يعمل على تنعيم الرسم البياني المصدر للدالة (باللون الأزرق)${\displaystyle f}$المزيد. توضح الرسوم المتحركة أدناه المتوسط ​​المتحرك كرسوم متحركة اعتمادًا على قيم مختلفة لـ  ${\displaystyle \varepsilon >0}$الكسر${\displaystyle {\frac {1}{2\,\varepsilon }}}$يُستخدم، لأن${\displaystyle 2\,\varepsilon }$يمثل عرض الفترة للتكامل. بطبيعة الحال،${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}M_{f,\ \varepsilon }=f}$باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة لوبيتال .

• 
  المتوسط ​​المتحرك المستمر للجيب ومتعدد الحدود - تصور عملية التنعيم بفترة تكامل صغيرة
• 
  المتوسط ​​المتحرك المستمر للجيب ومتعدد الحدود - تصور عملية التنعيم بفترة تكامل أكبر
• 
  رسم متحرك يوضح تأثير عرض الفاصل الزمني والتنعيم بواسطة المتوسط ​​المتحرك.

في المتوسط ​​التراكمي ، تصل البيانات في تدفق مُرتب، ويرغب المستخدم في حساب متوسط ​​جميع البيانات حتى البيانات الحالية. على سبيل المثال، قد يرغب مستثمر في معرفة متوسط ​​سعر جميع معاملات أسهم معينة حتى الوقت الحالي. مع كل معاملة جديدة، يُمكن حساب متوسط ​​السعر في ذلك الوقت لجميع المعاملات السابقة باستخدام المتوسط ​​التراكمي، وهو عادةً متوسط ​​مُرجّح بالتساوي لسلسلة من n قيمة.${\displaystyle x_{1}.\ldots ,x_{n}}$حتى الوقت الحالي: $${\displaystyle {\textit {CA}}_{n}={{x_{1}+\cdots +x_{n}} \over n}\,.}$$

تتمثل الطريقة المباشرة لحساب ذلك في تخزين جميع البيانات وحساب المجموع وقسمته على عدد النقاط في كل مرة تصل فيها بيانات جديدة. ومع ذلك، من الممكن ببساطة تحديث المتوسط ​​التراكمي كقيمة جديدة.${\displaystyle x_{n+1}}$يصبح متاحًا، باستخدام الصيغة $${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}={{x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}.}$$

وبالتالي، فإن المتوسط ​​التراكمي الحالي لبيانات جديدة يساوي المتوسط ​​التراكمي السابق مضروبًا في n ، مضافًا إليه أحدث البيانات، مقسومًا على عدد النقاط المستلمة حتى الآن، n + 1. وعند وصول جميع البيانات ( n = N )، فإن المتوسط ​​التراكمي يساوي المتوسط ​​النهائي. كما يمكن تخزين مجموع تراكمي للبيانات وعدد النقاط، ثم قسمة المجموع على عدد النقاط للحصول على المتوسط ​​التراكمي في كل مرة تصل فيها بيانات جديدة.

إن اشتقاق صيغة المتوسط ​​التراكمي أمر مباشر. باستخدام $${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$ وبالمثل بالنسبة لـ n + 1 ، يُلاحظ أن $${\displaystyle x_{n+1}=(x_{1}+\cdots +x_{n+1})-(x_{1}+\cdots +x_{n})}$$$${\displaystyle x_{n+1}=(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n+1}-n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$

حل هذه المعادلة لـ${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}}$النتائج في $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {CA}}_{n+1}&={x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={x_{n+1}+(n+1-1)\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n}+x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={{\textit {CA}}_{n}}+{{x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}\end{aligned}}}$$

المتوسط ​​المرجح هو متوسط ​​يُحسب باستخدام عوامل ضرب لإعطاء أوزان مختلفة للبيانات في مواقع مختلفة ضمن نافذة العينة. رياضيًا، المتوسط ​​المتحرك المرجح هو عملية التفاف البيانات مع دالة ترجيح ثابتة. من تطبيقاته إزالة التشويش الناتج عن البكسلة من الصور الرقمية، وهو ما يُعرف أيضًا باسم "مضاد التعرج".

في المجال المالي، وتحديدًا في تحليل البيانات المالية، يُشير المتوسط ​​المتحرك المرجح (WMA) إلى الأوزان التي تتناقص في متوالية حسابية. ^{[ 5 ]} في المتوسط ​​المتحرك المرجح لـ n يومًا، يكون لليوم الأخير وزن n ، بينما يكون لليوم الذي يليه وزن n.${\displaystyle n-1}$إلخ، وصولاً إلى واحد.

$${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}={np_{M}+(n-1)p_{M-1}+\cdots +2p_{((M-n)+2)}+p_{((M-n)+1)} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}}$$

المقام هو عدد مثلثي يساوي${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}.}$في الحالة الأكثر عمومية، سيكون المقام دائمًا هو مجموع الأوزان الفردية.

عند حساب المتوسط ​​المتحرك المرجح عبر القيم المتتالية، يكون الفرق بين بسطي${\displaystyle {\text{WMA}}_{M+1}}$و${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}}$يكون${\displaystyle np_{M+1}-p_{M}-\dots -p_{M-n+1}}$إذا رمزنا إلى المجموع${\displaystyle p_{M}+\dots +p_{M-n+1}}$بواسطة${\displaystyle {\text{Total}}_{M}}$، ثم

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total}}_{M+1}&={\text{Total}}_{M}+p_{M+1}-p_{M-n+1}\\[3pt]{\text{Numerator}}_{M+1}&={\text{Numerator}}_{M}+np_{M+1}-{\text{Total}}_{M}\\[3pt]{\text{WMA}}_{M+1}&={{\text{Numerator}}_{M+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}\end{aligned}}}$$

يُظهر الرسم البياني على اليمين كيف تتناقص الأوزان، من أعلى وزن لأحدث البيانات، وصولاً إلى الصفر. ويمكن مقارنته بالأوزان في المتوسط ​​المتحرك الأسي الذي يليه.

المتوسط ​​المتحرك الأسي (EMA) ، المعروف أيضًا باسم المتوسط ​​المتحرك الموزون أسيًا (EWMA) ، ^{[ 6 ]} هو مرشح استجابة نبضية لا نهائي من الدرجة الأولى، يطبق عوامل ترجيح تتناقص أسيًا . يتناقص الترجيح لكل قيمة سابقة أسيًا، ولا يصل أبدًا إلى الصفر. هذه الصيغة وفقًا لهنتر (1986). ^{[ 7 ]}

يوجد أيضًا تطبيق متعدد المتغيرات لـ EWMA، يُعرف باسم MEWMA. ^{[ 8 ]}

تُستخدم أنظمة ترجيح أخرى أحيانًا - على سبيل المثال، في تداول الأسهم، يقوم ترجيح الحجم بترجيح كل فترة زمنية بما يتناسب مع حجم التداول الخاص بها.

يستخدم خبراء الإحصاء طريقة ترجيح أخرى، وهي المتوسط ​​المتحرك لسبنسر ذو 15 نقطة ^{[ 9 ]} (متوسط ​​متحرك مركزي). معاملات الترجيح المتناظرة هي [−3, −6, −5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, −5, −6, −3]، والتي تُحلل إلى [ 1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1, 1]×[−3, 3, 4, 3, −3] / 320 ، ولا تُغير عينات أي دالة تربيعية أو تكعيبية. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

خارج نطاق عالم المال، تتخذ المتوسطات المتحركة الموزونة أشكالاً وتطبيقاتٍ عديدة. ولكل دالة ترجيح أو "نواة" خصائصها المميزة. وفي الهندسة والعلوم، غالباً ما يكون استجابة التردد والطور للمرشح ذات أهمية قصوى لفهم التشوهات المرغوبة وغير المرغوبة التي سيطبقها مرشح معين على البيانات.

لا يقتصر دور المتوسط ​​على "تنعيم" البيانات فحسب، بل هو نوع من أنواع مرشحات الترددات المنخفضة. لذا، ينبغي فهم تأثيرات المرشح المستخدم تحديدًا لاختيار المرشح المناسب.

من وجهة نظر إحصائية، فإن المتوسط ​​المتحرك، عند استخدامه لتقدير الاتجاه الأساسي في سلسلة زمنية، يكون عرضة للتأثر بالأحداث النادرة كالصدمات السريعة أو غيرها من الحالات الشاذة. أما التقدير الأكثر دقة للاتجاه فهو الوسيط المتحرك البسيط على مدى n نقطة زمنية. $${\displaystyle {\widetilde {p}}_{\text{SM}}={\text{Median}}(p_{M},p_{M-1},\ldots ,p_{M-n+1})}$$ حيث يتم إيجاد الوسيط ، على سبيل المثال، عن طريق فرز القيم داخل الأقواس وإيجاد القيمة التي تقع في المنتصف. بالنسبة للقيم الأكبر لـ n ، يمكن حساب الوسيط بكفاءة عن طريق تحديث قائمة تخطي قابلة للفهرسة . ^{[ 12 ]}

إحصائيًا، يُعد المتوسط ​​المتحرك الأمثل لاستعادة الاتجاه الأساسي للسلسلة الزمنية عندما تكون التقلبات حول هذا الاتجاه موزعة توزيعًا طبيعيًا . مع ذلك، لا يُولي التوزيع الطبيعي احتمالية عالية للانحرافات الكبيرة جدًا عن الاتجاه، مما يُفسر سبب تأثير هذه الانحرافات بشكل كبير وغير متناسب على تقدير الاتجاه. يمكن إثبات أنه إذا افترضنا أن التقلبات موزعة توزيع لابلاس ، فإن الوسيط المتحرك هو الأمثل إحصائيًا. ^{[ 13 ]} بالنسبة لتباين مُحدد، يُولي توزيع لابلاس احتمالية أعلى للأحداث النادرة مقارنةً بالتوزيع الطبيعي، مما يُفسر سبب تحمل الوسيط المتحرك للصدمات بشكل أفضل من المتوسط ​​المتحرك.

عندما يكون الوسيط المتحرك البسيط المذكور أعلاه في المنتصف، يكون التنعيم مطابقًا لمرشح الوسيط الذي يُستخدم في تطبيقات متنوعة، مثل معالجة إشارات الصور. يُعد الوسيط المتحرك بديلاً أكثر فعالية من المتوسط ​​المتحرك عند تقدير الاتجاه الأساسي في السلاسل الزمنية. فبينما يُعد المتوسط ​​المتحرك الأمثل لاستعادة الاتجاه إذا كانت التقلبات حوله موزعة توزيعًا طبيعيًا، إلا أنه يتأثر بالأحداث النادرة كالصدمات السريعة أو الشذوذات. في المقابل، يُعد الوسيط المتحرك، الذي يُحسب بترتيب القيم داخل النافذة الزمنية وإيجاد القيمة في المنتصف، أكثر مقاومة لتأثير هذه الأحداث النادرة. ويعود ذلك إلى أن توزيع لابلاس، الذي يفترضه الوسيط المتحرك، يُعطي احتمالية أكبر للأحداث النادرة مقارنةً بالتوزيع الطبيعي الذي يفترضه المتوسط ​​المتحرك، وذلك عند تباين مُحدد. ونتيجةً لذلك، يُوفر الوسيط المتحرك تقديرًا أكثر موثوقية واستقرارًا للاتجاه الأساسي حتى عندما تتأثر السلسلة الزمنية بانحرافات كبيرة عن الاتجاه. إضافةً إلى ذلك، فإن تنعيم الوسيط المتحرك مطابق لمرشح الوسيط، الذي يُستخدم في تطبيقات متنوعة في معالجة إشارات الصور.

في نموذج الانحدار المتوسط ​​المتحرك ، يُفترض أن المتغير محل الاهتمام هو متوسط ​​متحرك مرجح لحدود الخطأ المستقلة غير الملحوظة؛ الأوزان في المتوسط ​​المتحرك هي معلمات يجب تقديرها.

غالباً ما يتم الخلط بين هذين المفهومين بسبب اسمهما، ولكن على الرغم من أنهما يشتركان في العديد من أوجه التشابه، إلا أنهما يمثلان أساليب متميزة ويتم استخدامهما في سياقات مختلفة تماماً.

• التنعيم الأسي
• الانحدار المحلي (LOESS و LOWESS)
• التنعيم باستخدام النواة
• مؤشر تقارب/تباعد المتوسط ​​المتحرك
• مارتينجال (نظرية الاحتمالات)
• تقاطع المتوسط ​​المتحرك
• المربعات الصغرى المتحركة
• المتوسط ​​المتحرك الصاعد
• الحشيش الملفوف
• المجموع التراكمي
• مرشح سافيتزكي-جولاي
• وظيفة النافذة
• المتوسط ​​المتحرك الأسي بدون تأخير