نظرية نايمارك للتمدد

في نظرية المؤثرات ، تُعدّ نظرية نايمارك للتمدد ^{[ أ ]} نتيجةً تُميّز المقاييس الموجبة ذات القيم المؤثرة . سُمّيت هذه النظرية نسبةً إلى مارك نايمارك نسبةً إلى عمله عام 1943. ^{[ 1 ]} ويمكن اعتبارها نتيجةً لنظرية ستاينسبرينغ للتمدد .

ليكن X فضاء هاوسدورف متراصًا ، و H فضاء هيلبرت ، و L(H) فضاء باناخ للمؤثرات المحدودة على H. التطبيق E من جبر بوريل سيجما على X إلى${\displaystyle L(H)}$يُطلق عليه اسم مقياس ذي قيمة عاملية إذا كان قابلاً للعد بشكل ضعيف، أي لأي متتالية منفصلة من مجموعات بوريل${\displaystyle \{B_{i}\}}$لدينا

${\displaystyle \langle E(\cup _{i}B_{i})x,y\rangle =\sum _{i}\langle E(B_{i})x,y\rangle }$

لجميع قيم x و y . بعض المصطلحات المستخدمة لوصف هذه المقاييس هي:

• يُطلق على E اسم منتظم إذا كان المقياس ذو القيمة العددية

${\displaystyle B\rightarrow \langle E(B)x,y\rangle }$

هو مقياس بوريل منتظم، مما يعني أن جميع المجموعات المدمجة لها تباين كلي محدود ويمكن تقريب مقياس المجموعة بواسطة مقاييس المجموعات المفتوحة.

• يُطلق على E اسم مجموعة محدودة إذا${\displaystyle |E|=\sup _{B}\|E(B)\|<\infty }$.
• يُطلق على E اسم موجب إذا كان E(B) عاملًا موجبًا لجميع B.
• يُطلق على E اسم ذاتي الترافق إذا كان E(B) ذاتي الترافق لجميع B.
• يُطلق على المجال E اسم المجال الطيفي إذا كان ذاتي الترافق و${\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})E(B_{2})}$للجميع${\displaystyle B_{1},B_{2}}$.

سنفترض طوال الوقت أن E منتظم.

لنرمز بـ C(X) إلى الجبر التبادلي C* للدوال المتصلة على X. إذا كانت E منتظمة ومحدودة، فإنها تُنشئ تطبيقًا${\displaystyle \Phi _{E}:C(X)\rightarrow L(H)}$بالطريقة الواضحة:

${\displaystyle \langle \Phi _{E}(f)h_{1},h_{2}\rangle =\int _{X}f(x)\langle E(dx)h_{1},h_{2}\rangle }$

إن محدودية E تعني، لكل h ذات معيار الوحدة

${\displaystyle \langle \Phi _{E}(f)h,h\rangle =\int _{X}f(x)\langle E(dx)h,h\rangle \leq \|f\|_{\infty }\cdot |E|.}$

هذا يدل على${\displaystyle \;\Phi _{E}(f)}$هو عامل محدود لجميع قيم f ، و${\displaystyle \Phi _{E}}$هي نفسها عبارة عن خريطة خطية محدودة أيضًا.

خصائص${\displaystyle \Phi _{E}}$ترتبط ارتباطًا مباشرًا بتلك الخاصة بـ E :

• إذا كانت قيمة E موجبة، فإن${\displaystyle \Phi _{E}}$، عند النظر إليها كخريطة بين جبر C*، تكون موجبة أيضًا.
• ${\displaystyle \Phi _{E}}$يكون التشاكل متماثلاً إذا كان، بحسب التعريف، لكل دالة f متصلة على X و${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$،

${\displaystyle \langle \Phi _{E}(fg)h_{1},h_{2}\rangle =\int _{X}f(x)\cdot g(x)\;\langle E(dx)h_{1},h_{2}\rangle =\langle \Phi _{E}(f)\Phi _{E}(g)h_{1},h_{2}\rangle .}$

لنفترض أن f و g دالتان مؤشرتان لمجموعات بوريل، وسنرى أن${\displaystyle \Phi _{E}}$يكون تماثلاً إذا وفقط إذا كان E طيفيًا.

• وبالمثل، أن نقول${\displaystyle \Phi _{E}}$يحترم وسائل التشغيل *

${\displaystyle \langle \Phi _{E}({\bar {f}})h_{1},h_{2}\rangle =\langle \Phi _{E}(f)^{*}h_{1},h_{2}\rangle .}$

الجانب الأيسر هو

${\displaystyle \int _{X}{\bar {f}}\;\langle E(dx)h_{1},h_{2}\rangle ,}$

والجانب الأيمن هو

$// }}=\int _{X}{\bar {f}}(x)\;\langle h_{1},E(dx)h_{2}\rangle }$

لذا، بأخذ متتالية من الدوال المتصلة المتزايدة إلى دالة المؤشر لـ B ، نحصل على${\displaystyle \langle E(B)h_{1},h_{2}\rangle =\langle h_{1},E(B)h_{2}\rangle }$، أي أن E(B) مترافق ذاتيًا.

• بدمج الحقيقتين السابقتين نستنتج أن${\displaystyle \Phi _{E}}$يكون E متماثلاً من النوع * إذا وفقط إذا كان طيفياً وذاتياً مرافقاً. (عندما يكون E طيفياً وذاتياً مرافقاً، يُقال إن E مقياس ذو قيم إسقاطية أو PVM).

تنص النظرية على ما يلي: ليكن E مقياسًا موجبًا ذو قيم L(H) على X. يوجد فضاء هيلبرت K ، ومؤثر محدود${\displaystyle V:K\rightarrow H}$، ومقياس طيفي ذاتي الترافق F على X ، بحيث

${\displaystyle \;E(B)=VF(B)V^{*}.}$

في حالة الأبعاد المحدودة، توجد صياغة أكثر وضوحًا إلى حد ما.

لنفترض الآن${\displaystyle X=\{1,\dotsc ,n\}}$لذلك، فإن C ( X ) هو جبر ذو أبعاد محدودة${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$و H لها بُعد محدود m . ثم يُعيّن مقياس E ذو القيم الموجبة لكل i مصفوفة m × m شبه موجبة.${\displaystyle E_{i}}$تنص نظرية نايمارك الآن على وجود مقياس ذي قيمة إسقاطية على X يكون تقييده هو E.

وتكتسب الحالة الخاصة أهمية خاصة عندما${\displaystyle \sum _{i}E_{i}=I}$حيث I هو عامل الهوية. (انظر مقالة POVM للاطلاع على التطبيقات ذات الصلة). في هذه الحالة، الخريطة المستحثة${\displaystyle \Phi _{E}}$هو أحادي. يمكن افتراض ذلك دون فقدان للعمومية أن كل${\displaystyle E_{i}}$يأخذ الشكل${\displaystyle x_{i}x_{i}^{*}}$بالنسبة لبعض المتجهات التي يحتمل أن تكون دون المستوى الطبيعي${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {C} ^{m}}$في ظل هذه الافتراضات، فإن الحالة${\displaystyle n<m}$مستبعد ويجب أن يكون لدينا إما

1. ${\displaystyle n=m}$و E هي بالفعل مقياس ذو قيمة إسقاطية (لأن${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i}^{*}=I}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \{x_{i}\}}$(أساس متعامد معياري)،
2. ${\displaystyle n>m}$و${\displaystyle \{E_{i}\}}$لا يتكون من إسقاطات متعامدة متبادلة.

أما بالنسبة للاحتمال الثاني، فإن مشكلة إيجاد مقياس مناسب ذي قيم إسقاطية تصبح الآن المشكلة التالية. بافتراض أن المصفوفة غير المربعة

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x_{1}\cdots x_{n}\end{bmatrix}}}$

هو قياس مشترك، أي${\displaystyle MM^{*}=I}$إذا استطعنا أن نجد${\displaystyle (nm)\times n}$المصفوفة N حيث

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}M\\N\end{bmatrix}}}$

إذا كانت المصفوفة N مصفوفة وحدوية من الرتبة n × n ، فإن المقياس ذو القيم الإسقاطية الذي تكون عناصره إسقاطات على متجهات أعمدة المصفوفة U سيتمتع بالخصائص المطلوبة. من حيث المبدأ، يمكن دائمًا إيجاد مصفوفة N كهذه.