مساحة هيلبرت

يُعدّ فضاء المتجهات الإقليدي، الذي يتكون من متجهات ثلاثية الأبعاد ، أحد أكثر الأمثلة شيوعًا على فضاء هيلبرت ، ويرمز له بـ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ومجهزة بالضرب النقطي . يأخذ الضرب النقطي متجهين x و y ، وينتج عنه عدد حقيقي x ⋅ y . إذا تم تمثيل x و y في إحداثيات ديكارتية ، فإن الضرب النقطي يُعرَّف كما يلي: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.}$$

يحقق حاصل الضرب النقطي الخصائص التالية: ^{[ 1 ]}

1. وهي متناظرة في x و y : x ⋅ y = y ⋅ x .
2. هي خطية في وسيطها الأول: ( a x ₁ + b x ₂ ) ⋅ y = a ( x ₁ ⋅ y ) + b ( x ₂ ⋅ y ) لأي قيم قياسية a و b ، ومتجهات x ₁ و x ₂ و y . ^{[ a ]}
3. إنها موجبة محددة : بالنسبة لجميع المتجهات x ، فإن x ⋅ x ≥ 0 ، مع المساواة إذا وفقط إذا كان x = 0 .

تُعرف العملية التي تُجرى على أزواج من المتجهات، والتي تُحقق هذه الخصائص الثلاث، مثل الضرب الداخلي الحقيقي، باسم الضرب الداخلي (الحقيقي) . ويُعرف الفضاء المتجهي المُجهز بهذا الضرب الداخلي باسم فضاء الضرب الداخلي (الحقيقي) . كل فضاء ضرب داخلي محدود الأبعاد هو أيضًا فضاء هيلبرت. ^{[ 2 ]} السمة الأساسية للضرب الداخلي التي تربطه بالهندسة الإقليدية هي ارتباطه بكل من طول (أو معيار ) المتجه، والذي يُرمز له بـ ‖x‖ ، والزاوية θ بين متجهين x و y ، وذلك من خلال الصيغة ^{[ 3 ]} .$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}$$

يعتمد حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في الفضاء الإقليدي على القدرة على حساب النهايات ، وعلى وجود معايير مفيدة لاستنتاج وجودها. متسلسلة رياضية$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}$$ تتكون من متجهات في R ³ متقاربة بشكل مطلق بشرط أن يتقارب مجموع الأطوال كسلسلة عادية من الأعداد الحقيقية: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}$$ كما هو الحال مع سلسلة من الكميات العددية، فإن سلسلة المتجهات التي تتقارب تقاربًا مطلقًا تتقارب أيضًا إلى متجه حدي L في الفضاء الإقليدي، بمعنى أن $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\Biggl \|}\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}{\Biggr \|}=0.}$$ تعبر هذه الخاصية عن اكتمال الفضاء الإقليدي: أن المتسلسلة التي تتقارب تقارباً مطلقاً تتقارب أيضاً بالمعنى العادي. ^{[ 5 ]}

غالباً ما يتم أخذ فضاءات هيلبرت على الأعداد المركبة . يتم تزويد المستوى المركب الذي يرمز إليه بـ C بمفهوم المقدار، وهو المعيار المركب | z | ، والذي يُعرَّف بأنه الجذر التربيعي لحاصل ضرب z في مرافقه المركب : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.}$$

إذا كان z = x + iy هو تحليل لـ z إلى أجزائه الحقيقية والخيالية، فإن المعيار هو الطول الإقليدي ثنائي الأبعاد المعتاد: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.}$$

الضرب الداخلي لزوج من الأعداد المركبة z و w هو حاصل ضرب z في المرافق المركب لـ w : ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.}$$

هذا ذو قيمة مركبة. الجزء الحقيقي من ⟨ z , w ⟩ يعطي الضرب القياسي الإقليدي ثنائي الأبعاد المعتاد . ^{[ 7 ]}

مثال ثانٍ هو الفضاء C² الذي ^عناصره عبارة عن أزواج من الأعداد المركبة z = ( z₁ , z₂ ) . عندئذٍ _، يُعطى الجداء الداخلي لـ z مع متجه آخر مماثل w = ( w₁ _, w₂ _{) بالعلاقة [} ^{7 ] .}$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w}}_{1}+z_{2}{\overline {w}}_{2}\,.}$$

الجزء الحقيقي من ⟨ z , w ⟩ هو حاصل الضرب الداخلي الإقليدي رباعي الأبعاد. هذا الضرب الداخلي متناظر هيرميتيًا ، مما يعني أن نتيجة تبديل z و w هي المرافق المركب: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.}$$

فضاء هيلبرت هو فضاء جداء داخلي حقيقي أو مركب، وهو أيضًا فضاء متري كامل بالنسبة لدالة المسافة الناتجة عن الجداء الداخلي. ^{[ 8 ]}

القول بأن الفضاء المتجهي المركب H هو فضاء جداء داخلي مركب يعني وجود جداء داخلي${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ربط عدد مركب بكل زوج من العناصر${\displaystyle x,y}$من H التي تحقق الخصائص التالية: ^{[ 9 ]}

1. الضرب الداخلي متناظر مترافق؛ أي أن الضرب الداخلي لزوج من العناصر يساوي المرافق المركب للضرب الداخلي للعناصر المتبادلة:$${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}$$والأهم من ذلك، أن هذا يعني أن${\displaystyle \langle x,x\rangle }$هو عدد حقيقي. ^{[ 9 ]}
2. يكون الضرب الداخلي خطيًا في وسيطه الأول. ^{[ ب ]} لجميع الأعداد المركبة${\displaystyle a}$و${\displaystyle b,}$^{[ 9 ]}$${\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.}$$
3. الضرب الداخلي لعنصر مع نفسه يكون موجباً تماماً : ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ if }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ if }}x=0\,.\end{alignedat}}}$$

ويترتب على الخاصيتين 1 و 2 أن الضرب الداخلي المركب يكون مضادًا للخطية ، ويسمى أيضًا بالخطية المترافقة ، في وسيطه الثاني، مما يعني أن ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}$$

يُعرَّف فضاء الضرب الداخلي الحقيقي بنفس الطريقة، باستثناء أن H هو فضاء متجهي حقيقي، ويأخذ الضرب الداخلي قيمًا حقيقية. سيكون هذا الضرب الداخلي تطبيقًا ثنائي الخطية .${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$سيشكل نظامًا مزدوجًا . ^{[ 11 ]}

المعيار هو الدالة ذات القيم الحقيقية ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,}$$ والمسافة${\displaystyle d}$بين نقطتين${\displaystyle x,y}$يُعرَّف في H بدلالة المعيار بواسطة $${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.}$$ هنا،${\displaystyle d(x,y)}$هي دالة مسافة ^{[ 13 ]} مما يعني أولاً أنها متناظرة في${\displaystyle x}$و${\displaystyle y,}$ثانيًا، المسافة بين${\displaystyle x}$ويكون نفسه صفرًا، وإلا فإن المسافة بينهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يجب أن يكون موجبًا، وأخيرًا أن متباينة المثلث صحيحة، مما يعني أن طول أحد أضلاع المثلث xyz لا يمكن أن يتجاوز مجموع أطوال الضلعين الآخرين: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.}$$

تُعد هذه الخاصية الأخيرة في نهاية المطاف نتيجة لمتباينة كوشي-شفارتز الأكثر جوهرية ، والتي تنص على $${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|}$$ مع المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تعتمد خطيًا . ^{[ 15 ]}

بتعريف دالة المسافة بهذه الطريقة، يصبح أي فضاء حاصل ضرب داخلي فضاءً متريًا . يُعرف فضاء حاصل الضرب الداخلي أحيانًا باسم فضاء ما قبل هيلبرت . ^{[ 15 ]} أي فضاء ما قبل هيلبرت يكون أيضًا فضاءً كاملًا هو فضاء هيلبرت. ^{[ 16 ]}

يُعبَّر عن اكتمال الفضاء H باستخدام صيغة من معيار كوشي للمتتاليات في H : يكون الفضاء ما قبل هيلبرت H كاملاً إذا تقاربت كل متتالية كوشي، وفقًا لهذا المعيار، إلى عنصر في الفضاء. ويمكن وصف الاكتمال بالشرط المكافئ التالي: إذا كانت سلسلة من المتجهات $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$$يتقارب بشكل مطلق بمعنى أن $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}$$ ثم تتقارب السلسلة في H ، بمعنى أن المجاميع الجزئية تتقارب ^إلى عنصر من H. ^{[ 17} ]

باعتبارها فضاءً معياريًا كاملًا، فإن فضاءات هيلبرت هي أيضًا، بحكم تعريفها، فضاءات باناخ . ^{[ 18 ]} وبذلك، فهي فضاءات متجهة طوبولوجية ، حيث تكون المفاهيم الطوبولوجية مثل انفتاح وانغلاق المجموعات الجزئية مُعرَّفة تعريفًا جيدًا . ^{[ 19 ]} ومن الأهمية بمكان مفهوم الفضاء الجزئي الخطي المغلق في فضاء هيلبرت، والذي يكون، مع الضرب الداخلي المُستحث بالتقييد ، كاملًا أيضًا (كونه مجموعة مغلقة في فضاء متري كامل)، وبالتالي فهو فضاء هيلبرت بحد ذاته. ^{[ 20 ]}

فضاء التسلسل${\textstyle \ell ^{2}}$تتكون من جميع المتتاليات اللانهائية z = ( z1 _, z2 _, ...) من الأعداد المركبة بحيث تكون المتسلسلة$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}$$يتقارب مجموع مربعات معاييره . ^{[ 21 ]} الجداء الداخلي على${\textstyle \ell ^{2}}$يتم تعريفها بواسطة ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w}}_{n}\,.}$$ تتقارب متسلسلة الضرب الداخلي كنتيجة لمتباينة كوشي-شفارتز والتقارب المفترض لمتسلسلتي المعايير المربعة. ^{[ 22 ]}

يتحقق اكتمال الفضاء بشرط أنه كلما كانت سلسلة من العناصر من${\textstyle \ell ^{2}}$إذا تقاربت بشكل مطلق (في المعيار)، فإنها تتقارب إلى عنصر من${\textstyle \ell ^{2}}$يُعدّ هذا البرهان أساسيًا في التحليل الرياضي ، ويسمح بمعالجة المتسلسلات الرياضية لعناصر الفضاء بنفس سهولة معالجة متسلسلات الأعداد المركبة (أو المتجهات في فضاء إقليدي محدود الأبعاد). ^{[ 23 ]}

فضاءات ليبيغ هي فضاءات دوال مرتبطة بفضاءات القياس ( X , M , μ ) ، حيث X مجموعة، و M جبر سيغما لمجموعات جزئية من X ، و μ مقياس قابل للعد والجمع على M. ليكن L² ( X , μ ) فضاء الدوال القابلة للقياس ذات القيم المركبة على X والتي يكون ^تكامل ليبيغ لمربع القيمة المطلقة للدالة فيها محدودًا، أي، بالنسبة لدالة f في L² ( X , μ ) ^،$${\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\,\mathrm {d} \mu <\infty \,,}$$ وحيث يتم تحديد الدوال إذا وفقط إذا كانت تختلف فقط على مجموعة ذات قياس صفري . ^{[ 44 ]}

يُعرَّف الجداء الداخلي للدالتين f و g في L² ( X , μ ) على النحو التالي ^:$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)}$$أو$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,}$$

حيث يُلاحظ الشكل الثاني (مرافقة العنصر الأول) بشكل شائع في أدبيات الفيزياء النظرية . بالنسبة للدالتين f و g في ^فضاء L² ، يوجد التكامل بسبب متباينة كوشي-شفارتز، ويُعرّف جداءً داخليًا على هذا الفضاء. وبوجود هذا الجداء الداخلي، يكون ^فضاء L² كاملًا بالفعل. ^{[ 45 ]} يُعدّ تكامل لوبيغ أساسيًا لضمان الاكتمال: فعلى سبيل المثال، في نطاقات الأعداد الحقيقية، لا تكون دوال كافية قابلة للتكامل وفقًا لريمان . ^{[ 46 ]}

تظهر فضاءات ليبيغ في العديد من السياقات الطبيعية. ^{[ 47 ] يُعدّ كلٌّ} من الفضاءين L² ( R ) و L² ([0,1]) للدوال القابلة للتكامل التربيعي بالنسبة لمقياس ليبيغ على خط الأعداد الحقيقية وفترة الوحدة، على التوالي، مجالين طبيعيين لتعريف تحويل فورييه ومتسلسلة فورييه. ^{[ 48 ]} في حالات أخرى، قد يكون المقياس شيئًا آخر غير مقياس ليبيغ المعتاد على خط الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، إذا كانت w أي دالة موجبة قابلة للقياس، فإن فضاء جميع الدوال القابلة للقياس f على الفترة [0, 1] التي تحقق $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty }$$ يُطلق عليه اسم فضاء L² الموزون ^{L²w ( [} 0, 1]) _، و w تُسمى دالة الوزن. ويُعرَّف الجداء الداخلي بواسطة$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

الفضاء الموزون ^L²w ( [0, 1]) مطابق لفضاء هيلبرت L² ([0, 1], μ ) حيث يُعرَّف قياس μ لمجموعة A قابلة للقياس وفقًا ^{لمقياس ليبيغ كما يلي} _:$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

تُستخدم فضاءات L2 الموزونة مثل هذه بشكل متكرر لدراسة ^كثيرات الحدود المتعامدة ، لأن عائلات مختلفة من كثيرات الحدود المتعامدة تكون متعامدة بالنسبة لوظائف ترجيح مختلفة. ^{[ 49 ]}

فضاءات سوبوليف ، التي يُرمز لها بـ H ^s أو W ^{s ,2} ، هي فضاءات هيلبرت. وهي نوع خاص من فضاءات الدوال التي يُمكن فيها إجراء التفاضل ، ولكنها (على عكس فضاءات باناخ الأخرى مثل فضاءات هولدر ) تدعم بنية الجداء الداخلي. ولأن التفاضل مسموح به، تُعد فضاءات سوبوليف بيئة ملائمة لنظرية المعادلات التفاضلية الجزئية . ^{[ 50 ]} كما أنها تُشكل أساس نظرية الطرق المباشرة في حساب التفاضل والتكامل . ^{[ 51 ]}

إذا كان s عددًا صحيحًا غير سالب و Ω ⊂ R ⁿ ، فإن فضاء سوبوليف H ^s (Ω) يحتوي على دوال L ² التي تكون مشتقاتها الضعيفة من الرتبة حتى s أيضًا من L ^2. والجداء الداخلي في H ^s (Ω) هو $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }Df(x)\cdot D{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x}$$ حيث تشير النقطة إلى الضرب النقطي في الفضاء الإقليدي للمشتقات الجزئية من كل رتبة. ويمكن تعريف فضاءات سوبوليف أيضًا عندما لا يكون s عددًا صحيحًا.

تُدرس فضاءات سوبوليف أيضًا من منظور نظرية الأطياف، بالاعتماد بشكل أكثر تحديدًا على بنية فضاء هيلبرت. إذا كانت Ω نطاقًا مناسبًا، فيمكن تعريف فضاء سوبوليف H ^s (Ω) على أنه فضاء كمونات بيسل ؛ ^{[ 52 ]} تقريبًا، $${\displaystyle H^{s}(\Omega )=\left\{(1-\Delta )^{-s/2}f\mathrel {\Big |} f\in L^{2}(\Omega )\right\}\,.}$$

هنا، Δ هو لابلاس، و (1 − Δ) ^{− s / 2} يُفهم من خلال نظرية التحويل الطيفي . إلى جانب توفير تعريف عملي لفضاءات سوبوليف لقيم s غير الصحيحة ، يتميز هذا التعريف بخصائص مرغوبة للغاية تحت تحويل فورييه، مما يجعله مثاليًا لدراسة المؤثرات التفاضلية الزائفة . باستخدام هذه الطرق على مشعب ريماني مضغوط ، يمكن الحصول، على سبيل المثال، على تحليل هودج ، الذي يُعد أساس نظرية هودج . ^{[ 53 ]}

في نظرية المعادلات التفاضلية العادية ، تُستخدم الطرق الطيفية على فضاء هيلبرت مناسب لدراسة سلوك القيم الذاتية والدوال الذاتية للمعادلات التفاضلية. على سبيل المثال، تظهر مسألة ستورم-ليوفيل في دراسة توافقيات الموجات في وتر الكمان أو الطبل، وهي مسألة مركزية في المعادلات التفاضلية العادية . ^{[ 59 ]} وتُصاغ هذه المسألة على شكل معادلة تفاضلية من الشكل التالي: $${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}$$ لدالة مجهولة y على الفترة [ a , b ] ، تحقق شروط روبن الحدودية المتجانسة العامة$${\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}}$$ تُعطى الدوال p و q و w مسبقًا، والمطلوب هو إيجاد الدالة y والثوابت λ التي تُحقق حلًا للمعادلة. لا توجد حلول للمسألة إلا لقيم معينة من λ ، تُسمى القيم الذاتية للنظام، وهذا نتيجة لنظرية الطيف للمؤثرات المدمجة المطبقة على المؤثر التكاملي المُعرَّف بدالة غرين للنظام. علاوة على ذلك، من نتائج هذه النتيجة العامة أيضًا إمكانية ترتيب القيم الذاتية λ للنظام في متتالية تصاعدية تؤول إلى اللانهاية. ^{[ 60 ] [ c ]}

تُشكّل فضاءات هيلبرت أداةً أساسيةً في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية . ^{[ 50 ]} بالنسبة للعديد من فئات المعادلات التفاضلية الجزئية، مثل المعادلات الإهليلجية الخطية ، يُمكن النظر في حل مُعمّم (يُعرف بالحل الضعيف ) عن طريق توسيع فئة الدوال. تتضمن العديد من الصيغ الضعيفة فئة دوال سوبوليف ، وهي فضاء هيلبرت. تُختزل الصيغة الضعيفة المناسبة إلى مسألة هندسية، أو إلى مسألة تحليلية لإيجاد حل، أو، وهو الأهم في كثير من الأحيان، إثبات وجود حل فريد لبيانات حدودية مُعطاة. بالنسبة للمعادلات الإهليلجية الخطية، تُعدّ نظرية لاكس-ميلغرام إحدى النتائج الهندسية التي تضمن حلًا فريدًا لفئة كبيرة من المسائل . تُشكّل هذه الاستراتيجية أساس طريقة غاليركين (إحدى طرق العناصر المحدودة ) للحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية. ^{[ 61 ]}

ومن الأمثلة على ذلك معادلة بواسون −Δ u = g مع شروط حدودية من نوع ديريشليه في مجال محدود Ω في R ^2. وتتمثل الصيغة الضعيفة في إيجاد دالة u بحيث، بالنسبة لجميع الدوال القابلة للتفاضل باستمرار v في Ω والتي تتلاشى على الحدود: $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv\,.}$$

يمكن إعادة صياغة هذا بدلالة فضاء هيلبرت H ¹ ₀ (Ω) الذي يتكون من الدوال u بحيث تكون u ، إلى جانب مشتقاتها الجزئية الضعيفة، قابلة للتكامل التربيعي على Ω ، وتتلاشى على الحدود. وبالتالي، يختزل السؤال إلى إيجاد u في هذا الفضاء بحيث يكون لكل v في هذا الفضاء $${\displaystyle a(u,v)=b(v)}$$

حيث a دالة ثنائية الخطية متصلة ، و b دالة خطية متصلة ، معطاة على التوالي بواسطة $${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv\,.}$$

بما أن معادلة بواسون إهليلجية ، فإنه يترتب من متباينة بوانكاريه أن الصيغة الثنائية الخطية a قسرية . ومن ثم ، تضمن نظرية لاكس-ميلغرام وجود حلول فريدة لهذه المعادلة. ^{[ 62 ]}

تتيح فضاءات هيلبرت صياغة العديد من المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية بطريقة مماثلة، وتُعدّ نظرية لاكس-ميلغرام أداة أساسية في تحليلها. وبإجراء تعديلات مناسبة، يمكن تطبيق تقنيات مماثلة على المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة وبعض المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية . ^{[ 63 ]}

يُعنى مجال نظرية الإرجودية بدراسة السلوك طويل الأمد للأنظمة الديناميكية الفوضوية . ويُعدّ علم الديناميكا الحرارية مثالًا نموذجيًا على المجالات التي تُطبّق عليها نظرية الإرجودية ، حيث -على الرغم من أن الحالة المجهرية للنظام معقدة للغاية (إذ يستحيل فهم مجمل التصادمات الفردية بين جسيمات المادة)- إلا أن السلوك المتوسط ​​على مدى فترات زمنية طويلة بما فيه الكفاية قابل للتحليل. وتُمثّل قوانين الديناميكا الحرارية تأكيدات حول هذا السلوك المتوسط. وعلى وجه الخصوص، تنص إحدى صيغ القانون الصفري للديناميكا الحرارية على أنه على مدى فترات زمنية طويلة بما فيه الكفاية، فإن القياس الوحيد المستقل وظيفيًا الذي يُمكن إجراؤه لنظام ديناميكي حراري في حالة توازن هو طاقته الكلية، في صورة درجة حرارة . ^{[ 64 ]}

النظام الديناميكي الإرجودي هو نظام لا توجد فيه، باستثناء الطاقة - التي يقيسها الهاميلتوني - أي كميات محفوظة أخرى مستقلة وظيفيًا على فضاء الطور . بتعبير أدق، لنفترض أن الطاقة E ثابتة، ولتكن ΩE المجموعة الجزئية من فضاء الطور التي تتكون من جميع حالات الطاقة _E (سطح الطاقة)، ​​ولتكن Tt _عامل التطور على فضاء الطور. يكون النظام الديناميكي إرجوديًا إذا كانت كل دالة قابلة للقياس وثابتة على ΩE ثابتة تقريبًا في كل مكان . [ ^{65 ] الدالة} الثابتة _f هي دالة يكون فيها $${\displaystyle f(T_{t}w)=f(w)}$$ لكل w على Ω _E ولكل زمن t . تنص نظرية ليوفيل على وجود مقياس μ على سطح الطاقة ثابت تحت الإزاحة الزمنية . ونتيجة لذلك، فإن الإزاحة الزمنية هي تحويل وحدوي لفضاء هيلبرت L² (Ω _E , μ ) يتكون من دوال قابلة للتكامل التربيعي على سطح الطاقة Ω _E بالنسبة للجداء الداخلي ^.$${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{L^{2}\left(\Omega _{E},\mu \right)}=\int _{\Omega _{E}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu \,.}$$

تنص نظرية فون نيومان المتوسطة الإرجودية ^{[ 38 ]} على ما يلي:

• إذا كانت U _t شبه زمرة (متصلة بقوة) ذات وسيط واحد من المؤثرات الوحدوية على فضاء هيلبرت H ، و P هو الإسقاط المتعامد على فضاء النقاط الثابتة المشتركة لـ U _t ، { x ∈ H | U _t x = x , ∀ t > 0} ، فإن$${\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.}$$

بالنسبة للنظام الإرجودي، تتكون المجموعة الثابتة للتطور الزمني فقط من الدوال الثابتة، لذا فإن نظرية الإرجودية تستلزم ما يلي: لأي دالة f ∈ L ² (Ω _E , μ ) ، ^{[ 66 ]}$${\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.}$$

أي أن المتوسط ​​الزمني الطويل لمتغير قابل للملاحظة f يساوي قيمته المتوقعة على سطح طاقة. ^{[ 67 ]}

يتمثل أحد الأهداف الأساسية لتحليل فورييه في تحليل دالة إلى توليفة خطية (قد تكون لانهائية) من دوال أساسية معينة: متسلسلة فورييه المرتبطة بها . متسلسلة فورييه الكلاسيكية المرتبطة بدالة f معرفة على الفترة [0، 1] هي متسلسلة من الشكل التالي: $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty}a_{n}e^{2\pi in\theta }}$$ أين $${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )\;\!e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.}$$

يوضح الشكل مثالاً على جمع الحدود القليلة الأولى في متسلسلة فورييه لدالة سن المنشار. دوال الأساس هي موجات جيبية بأطوال موجية λ/n ( لعدد صحيح n ) أقصر من الطول الموجي λ لسن المنشار نفسه (باستثناء n = 1 ، الموجة الأساسية ).

تُطرح مشكلةٌ جوهريةٌ في متسلسلات فورييه الكلاسيكية، وهي: ما هو معنى تقارب متسلسلة فورييه، إن وُجد، إلى الدالة f ؟ تُقدّم طرق فضاء هيلبرت إجابةً مُحتملةً لهذا السؤال. ^{[ 68 ]} تُشكّل الدوال e _{_n} ( θ ) = e ^_2π (θ) أساسًا مُتعامدًا لفضاء هيلبرت L ^₂ ([0, 1]) . بالتالي، يُمكن التعبير عن أي دالة قابلة للتكامل التربيعي كمتسلسلة. $${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta )\,,\quad a_{n}=\langle f,e_{n}\rangle }$$^{وعلاوة على ذلك، فإن} هذه السلسلة تتقارب بمعنى فضاء هيلبرت (أي في المتوسط ​​L2 ).

يمكن دراسة هذه المسألة من منظور تجريدي: لكل فضاء هيلبرت أساس متعامد ، ويمكن كتابة كل عنصر من عناصر هذا الفضاء بطريقة فريدة كمجموع مضاعفات عناصر هذا الأساس. تُعرف المعاملات الظاهرة على عناصر الأساس هذه أحيانًا بشكل تجريدي بمعاملات فورييه لعنصر الفضاء. ^{[ 69 ]} يُعد هذا التجريد مفيدًا بشكل خاص عندما يكون من الطبيعي استخدام دوال أساسية مختلفة لفضاء مثل L² ([ ⁰ , 1]) . في كثير من الحالات، يُفضل عدم تحليل الدالة إلى دوال مثلثية، بل إلى كثيرات حدود متعامدة أو موجات صغيرة على سبيل المثال، ^{[ 70 ]} وفي الأبعاد الأعلى إلى توافقيات كروية . ^{[ 71 ]}

على سبيل المثال، إذا كانت e _n أي دوال أساسية متعامدة لـ L ² [0, 1] ، فيمكن تقريب دالة معينة في L ² [0, 1] كمجموعة خطية محدودة ^{[ 72 ]}$${\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.}$$

يتم اختيار المعاملات { a _j } بحيث يكون مقدار الفرق ‖ f − f _n ‖ ² أصغر ما يمكن. هندسيًا، أفضل تقريب هو الإسقاط المتعامد للدالة f على الفضاء الجزئي الذي يتكون من جميع التراكيب الخطية للمعاملات { e _j } ، ويمكن حسابه باستخدام ^{[ 73 ].}$${\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$$

إن كون هذه الصيغة تقلل الفرق ‖ f − f _n ‖ ² هو نتيجة لمتباينة بيسل وصيغة بارسيفال .

في تطبيقات متنوعة للمسائل الفيزيائية، يمكن تحليل دالة إلى دوال ذاتية ذات دلالة فيزيائية لمؤثر تفاضلي (عادةً مؤثر لابلاس ): يشكل هذا أساسًا للدراسة الطيفية للدوال، بالرجوع إلى طيف المؤثر التفاضلي. ^{[ 74 ]} يتمثل أحد التطبيقات الفيزيائية الملموسة في مشكلة سماع شكل الطبل : بمعرفة أنماط الاهتزاز الأساسية التي يمكن أن ينتجها غشاء الطبل، هل يمكن استنتاج شكل الطبل نفسه؟ ^{[ 75 ]} تتضمن الصياغة الرياضية لهذا السؤال القيم الذاتية لـ Dirichlet لمعادلة لابلاس في المستوى، والتي تمثل أنماط الاهتزاز الأساسية قياسًا مباشرًا على الأعداد الصحيحة التي تمثل أنماط الاهتزاز الأساسية لوتر الكمان. ^{[ 76 ]}

تُشكّل نظرية الأطياف أساسًا لبعض جوانب تحويل فورييه للدالة. فبينما يُحلّل تحليل فورييه دالة مُعرّفة على مجموعة مُتراصة إلى طيف لابلاس المُنفصل (الذي يُقابل اهتزازات وتر الكمان أو الطبل)، فإن تحويل فورييه للدالة هو تحليل دالة مُعرّفة على كامل الفضاء الإقليدي إلى مُكوّناتها في طيف لابلاس المُتصل . كما أن تحويل فورييه هندسي، بمعنى يُحدّده بدقة مبرهنة بلانشيريل ، التي تُؤكد أنه تماثل قياس بين فضاء هيلبرت (مجال الزمن) وآخر (مجال التردد). تُعدّ خاصية التماثل هذه لتحويل فورييه موضوعًا مُتكررًا في التحليل التوافقي المُجرّد (لأنها تُعكس حفظ الطاقة في تحويل فورييه المُتصل)، كما يتضح، على سبيل المثال، من مبرهنة بلانشيريل للدوال الكروية التي تظهر في التحليل التوافقي غير التبادلي . ^{[ 77 ]}

في الصياغة الرياضية الدقيقة لميكانيكا الكم ، التي وضعها جون فون نيومان ^{[ 78 ]} ، تُمثَّل الحالات الممكنة (أو بالأحرى، الحالات النقية ) لنظام ميكانيكي كمي بمتجهات وحدة (تُسمى متجهات الحالة ) تقع في فضاء هيلبرت مُعقَّد قابل للفصل، يُعرف بفضاء الحالة ، وهو مُعرَّف جيدًا حتى عدد مُعقَّد ذي معيار 1 ( عامل الطور ). بعبارة أخرى، الحالات الممكنة هي نقاط في إسقاط فضاء هيلبرت، والذي يُسمى عادةً بالفضاء الإسقاطي المُعقَّد . تعتمد الطبيعة الدقيقة لفضاء هيلبرت هذا على النظام؛ على سبيل المثال، حالات الموضع والزخم لجسيم واحد غير نسبي ذي لف مغزلي صفري هي فضاء جميع الدوال القابلة للتكامل التربيعي ، بينما حالات لف بروتون واحد هي عناصر وحدة في فضاء هيلبرت المُعقَّد ثنائي الأبعاد للسبينورات . يُمثَّل كل مُتغير قابل للرصد بمؤثر خطي ذاتي الترافق يعمل على فضاء الحالة. كل حالة ذاتية لمتغير قابل للرصد تتوافق مع متجه ذاتي للمؤثر، والقيمة الذاتية المرتبطة بها تتوافق مع قيمة المتغير القابل للرصد في تلك الحالة الذاتية. ^{[ 79 ]}

يُعرف حاصل الضرب الداخلي بين متجهي حالة بعدد مركب يُسمى سعة الاحتمال . خلال قياس مثالي لنظام ميكانيكي كمومي ، يُعطى احتمال انهيار النظام من حالة ابتدائية معينة إلى حالة ذاتية محددة بمربع القيمة المطلقة لسعات الاحتمال بين الحالتين الابتدائية والنهائية. ^{[ 80 ]} النتائج المحتملة للقياس هي القيم الذاتية للمؤثر، وهو ما يفسر اختيار المؤثرات ذاتية الترافق، إذ يجب أن تكون جميع القيم الذاتية حقيقية. يمكن إيجاد التوزيع الاحتمالي لكمية قابلة للرصد في حالة معينة بحساب التحليل الطيفي للمؤثر المقابل. ^{[ 81 ]}

في الأنظمة العامة، لا تكون الحالات عادةً نقية، بل تُمثَّل بمزيج إحصائي من الحالات النقية، أو الحالات المختلطة، المُعطاة بمصفوفات الكثافة : وهي مؤثرات ذاتية الترافق ذات أثر يساوي واحدًا على فضاء هيلبرت. ^{[ 82 ]} علاوة على ذلك، في الأنظمة الميكانيكية الكمومية العامة، يمكن أن تؤثر نتائج قياس واحد على أجزاء أخرى من النظام بطريقة تُوصف بمقياس ذي قيمة مؤثر موجبة . وبالتالي، فإن بنية كل من الحالات والكميات القابلة للرصد في النظرية العامة أكثر تعقيدًا بكثير من التبسيط المثالي للحالات النقية. ^{[ 83 ]}

في نظرية الاحتمالات ، تُستخدم فضاءات هيلبرت أيضًا في تطبيقات متنوعة. هنا، يُعد فضاء هيلبرت الأساسي فضاء المتغيرات العشوائية على فضاء احتمالي مُعطى ، وينتمي إلى الفئة${\displaystyle L^{2}}$( لحظات أولى وثانية محدودة ). من العمليات الشائعة في الإحصاء عملية توسيط المتغير العشوائي عن طريق طرح قيمته المتوقعة . وبالتالي، إذا${\displaystyle X}$إذا كان متغيرًا عشوائيًا،${\displaystyle XE(X)}$هو مركزها. في منظور فضاء هيلبرت، هذا هو الإسقاط المتعامد لـ${\displaystyle X}$على نواة عامل التوقع، وهي دالة خطية متصلة على فضاء هيلبرت (في الواقع، الجداء الداخلي مع المتغير العشوائي الثابت 1)، وبالتالي فإن هذه النواة هي فضاء فرعي مغلق. ^{[ 84 ]}

للتوقع الشرطي تفسير طبيعي في فضاء هيلبرت. ^{[ 85 ]} لنفترض أن فضاء احتمالي${\displaystyle (\Omega ,P,{\mathcal {B}})}$معطى، حيث${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي جبر سيجما على المجموعة$أوميغا$، و${\displaystyle P}$هو مقياس احتمالي على فضاء القياس${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}})}$. لو${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}}$هي جبر فرعي سيجما من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ثم التوقع الشرطي${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {F}}]}$هو الإسقاط المتعامد لـ${\displaystyle X}$على الفضاء الفرعي لـ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$يتألف من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$الدوال القابلة للقياس. إذا كان المتغير العشوائي${\displaystyle X}$في${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$مستقل عن جبر سيجما${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ثم التوقع الشرطي${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {F}})=E(X)}$أي إسقاطها على${\displaystyle {\mathcal {F}}}$الدالة القابلة للقياس ثابتة. وبالمثل، فإن إسقاط مركزها يساوي صفرًا.

على وجه الخصوص، إذا كان هناك متغيران عشوائيان${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$(في${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$إذا كانت المتغيرات العشوائية المركزية مستقلة،${\displaystyle XE(X)}$و${\displaystyle YE(Y)}$متعامدان. (هذا يعني أن المتغيرين لهما تباين مشترك صفري : أي أنهما غير مرتبطين ). في هذه الحالة، تنص نظرية فيثاغورس في نواة عامل التوقع على أن تباينات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$تحقق من صحة المتطابقة التالية: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)،}$$ تُعرف أحيانًا بنظرية فيثاغورس في الإحصاء، وهي ذات أهمية في الانحدار الخطي . يمكن استخدام نظرية فيثاغورس في تحليل التباين بحيث يُنظر إلى التباين على أنه تحليل مربع طول متجه إلى مجموع مربعات أطوال عدة متجهات. ^{[ 86 ]}

يمكن صياغة نظرية المارتينجالات في فضاءات هيلبرت. المارتينجال في فضاء هيلبرت هو متتالية${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$عناصر فضاء هيلبرت بحيث، لكل n ،${\displaystyle x_{n}}$هو الإسقاط المتعامد لـ${\displaystyle x_{n+1}}$على الهيكل الخطي لـ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$[ ^{87 ]} إذا^​${\displaystyle x_{k}}$إذا كانت متغيرات عشوائية، فإن هذا يعيد إنتاج التعريف المعتاد للمارتينجال (المنفصل): توقع${\displaystyle x_{n+1}}$، بشرط${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$، يساوي${\displaystyle x_{n}}$.

تُستخدم فضاءات هيلبرت أيضًا في جميع أسس حساب إيتو . ^{[ 88 ]} لأي مارتينجال قابل للتكامل التربيعي ، يمكن ربط معيار هيلبرت على فضاء فئات التكافؤ للعمليات القابلة للقياس تدريجيًا بالنسبة للمارتينجال (باستخدام التغير التربيعي للمارتينجال كمقياس). يمكن بناء تكامل إيتو بتعريفه أولًا للعمليات البسيطة ، ثم استغلال كثافتها في فضاء هيلبرت. ومن النتائج الجديرة بالذكر تماثل إيتو ، الذي يُثبت أنه لأي مارتينجال M ذي مقياس تغير تربيعي${\displaystyle d\langle M\rangle _{t}}$، وأي عملية قابلة للقياس تدريجياً H : ^{[ 89 ]}$${\displaystyle E{\biggl [}{\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dM_{s}\right){\vphantom {{\Bigr )}^{2}}}^{\!\!2\,}}{\biggr ]}=E\left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right]}$$ عندما يكون التوقع على الجانب الأيمن محدودًا.

يُعدّ تطبيقٌ أعمق لفضاءات هيلبرت، ذو أهمية خاصة في نظرية العمليات الغاوسية ، محاولةً قام بها ليونارد غروس وآخرون لفهم بعض التكاملات الشكلية على فضاءات لا نهائية الأبعاد، مثل تكامل مسار فاينمان من نظرية الحقل الكمومي . تكمن المشكلة في هذه التكاملات في عدم وجود مقياس ليبيغ لا نهائي الأبعاد . يسمح مفهوم فضاء وينر المجرد ببناء مقياس على فضاء باناخ B يحتوي على فضاء هيلبرت H ، يُسمى فضاء كاميرون-مارتن ، كمجموعة جزئية كثيفة، انطلاقًا من مقياس مجموعة أسطوانية محدود الجمع على H. يكون المقياس الناتج على B قابلاً للعد الجمعي وثابتًا تحت الإزاحة بواسطة عناصر H ، وهذا يوفر طريقة رياضية دقيقة للتفكير في مقياس وينر كمقياس غاوسي مُكيَّف مع فضاء سوبوليف.${\displaystyle H^{1}([0,\infty ))}$[ ^{90 ]​}

يمكن تمثيل أي لون فيزيائي حقيقي بمزيج من ألوان طيفية نقية . وبما أن الألوان الفيزيائية يمكن أن تتكون من أي عدد من الألوان الطيفية، فإن فضاء الألوان الفيزيائية يُمكن تمثيله بشكل مناسب بفضاء هيلبرت فوق الألوان الطيفية. يمتلك البشر ثلاثة أنواع من الخلايا المخروطية لإدراك الألوان، لذا يمكن تمثيل الألوان التي يمكن إدراكها بفضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. يُفسر التحويل الخطي من متعدد إلى واحد من فضاء هيلبرت للألوان الفيزيائية إلى الفضاء الإقليدي للألوان التي يمكن إدراكها بواسطة الإنسان سبب إمكانية إدراك العديد من الألوان الفيزيائية المختلفة على أنها متطابقة (مثل الضوء الأصفر النقي مقابل مزيج من الضوء الأحمر والأخضر، انظر التماثل اللوني ). ^{[ 91 ] [ 92 ]}

يكون المتجهان u و v في فضاء هيلبرت H متعامدين عندما يكون ⟨ u , v ⟩ = 0. ويُرمز لذلك بـ u ⊥ v . وبشكل أعم، عندما تكون S مجموعة جزئية من H ، فإن الرمز u ⊥ S يعني أن u متعامد مع كل عنصر من S.

عندما يكون u و v متعامدين، يكون لدينا $${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.}$$

عن طريق الاستقراء على n ، يتم توسيع هذا ليشمل أي عائلة u ₁ ، ...، u _n من n متجهات متعامدة، $${\displaystyle \left\|u_{1}+\cdots +u_{n}\right\|^{2}=\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\|u_{n}\right\|^{2}.}$$

بينما تُعتبر متطابقة فيثاغورس، كما هي مذكورة، صالحة في أي فضاء جداء داخلي، فإن الاكتمال مطلوب لتوسيع متطابقة فيثاغورس إلى متسلسلات. ^{[ 93 ]} تتقارب متسلسلة Σ u _k من المتجهات المتعامدة في H إذا وفقط إذا تقاربت متسلسلة مربعات المعايير، و $${\displaystyle {\Biggl \|}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}{\Biggr \|}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}$$ علاوة على ذلك، فإن مجموع سلسلة من المتجهات المتعامدة لا يعتمد على الترتيب الذي يتم به أخذها.

بحسب التعريف، كل فضاء هيلبرت هو أيضاً فضاء باناخ . علاوة على ذلك، في كل فضاء هيلبرت تتحقق متطابقة متوازي الأضلاع التالية : ^{[ 94 ]}$${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2{\bigl (}\|u\|^{2}+\|v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

على النقيض من ذلك، فإن كل فضاء باناخ تتحقق فيه متطابقة متوازي الأضلاع هو فضاء هيلبرت، ويتم تحديد الضرب الداخلي بشكل فريد بواسطة المعيار بواسطة متطابقة الاستقطاب . ^{[ 95 ]} بالنسبة لفضاءات هيلبرت الحقيقية، فإن متطابقة الاستقطاب هي $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

بالنسبة لفضاءات هيلبرت المعقدة، يكون $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

ينص قانون متوازي الأضلاع على أن أي فضاء هيلبرت هو فضاء باناخ محدب بشكل منتظم . ^{[ 96 ]}

يستخدم هذا القسم الفرعي نظرية إسقاط هيلبرت . إذا كانت C مجموعة فرعية محدبة مغلقة غير فارغة من فضاء هيلبرت H و x نقطة في H ، فإنه توجد نقطة وحيدة y ∈ C تقلل المسافة بين x والنقاط في C ، ^{[ 97 ]}$${\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min {\bigl \{}\|x-z\|\mathrel {\big |} z\in C{\bigr \}}\,.}$$

هذا يُعادل القول بوجود نقطة ذات معيار أدنى في المجموعة المحدبة المُزاحة D = C − x . ويتمثل البرهان في إثبات أن كل متتالية مُصغِّرة ( d _n ) ⊂ D هي متتالية كوشي (باستخدام متطابقة متوازي الأضلاع)، وبالتالي تتقارب (باستخدام الاكتمال) إلى نقطة في D ذات معيار أدنى. وبشكل أعم، ينطبق هذا على أي فضاء باناخ محدب بانتظام. ^{[ 98 ]}

عند تطبيق هذه النتيجة على فضاء فرعي مغلق F من H ، يمكن إثبات أن النقطة y ∈ F الأقرب إلى x تتميز بـ ^{[ 99 ]}$${\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}$$

تمثل النقطة y الإسقاط المتعامد للنقطة x على F ، والتحويل P _F  : x → y خطي (انظر §  المكملات والإسقاطات المتعامدة ). لهذه النتيجة أهمية خاصة في الرياضيات التطبيقية ، ولا سيما التحليل العددي ، حيث تُشكل أساس طرق المربعات الصغرى . ^{[ 100 ]}

على وجه الخصوص، عندما لا تساوي F المجموعة H ، يمكن إيجاد متجه غير صفري v متعامد مع F (باختيار x ∉ F و v = x − y ) . ويمكن الحصول على معيار مفيد للغاية بتطبيق هذه الملاحظة على الفضاء الجزئي المغلق F الناتج عن مجموعة جزئية S من H.

تُغطي المجموعة الجزئية S من H فضاءً متجهيًا كثيفًا إذا (وفقط إذا) كان المتجه 0 هو المتجه الوحيد v ∈ H المتعامد مع S.

الفضاء الثنائي H * هو فضاء جميع الدوال الخطية المتصلة من الفضاء H إلى الحقل الأساسي. ويحمل معيارًا طبيعيًا، مُعرَّفًا بواسطة $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}$$ يحقق هذا المعيار قانون متوازي الأضلاع ، وبالتالي فإن الفضاء الثنائي هو أيضًا فضاء جداء داخلي، حيث يمكن تعريف هذا الجداء الداخلي بدلالة هذا المعيار الثنائي باستخدام متطابقة الاستقطاب . الفضاء الثنائي كامل أيضًا، لذا فهو فضاء هيلبرت بحد ذاته. إذا كانت e _• = ( eᵢ _{) ᵢ ∈ I} أساسًا متعامدًا كاملًا لـ H، فإن الجداء الداخلي على الفضاء الثنائي لأي عنصرين${\displaystyle f,g\in H^{*}}$يكون $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}}$$ حيث أن جميع الحدود في هذه السلسلة، باستثناء عدد قليل منها، تساوي صفرًا.

تُقدّم نظرية تمثيل ريز وصفًا مُلائمًا للفضاء الثنائي. لكل عنصر u من H ، يوجد عنصر وحيد _φu من H * ، مُعرّف بواسطة $${\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle }$$ وعلاوة على ذلك،${\displaystyle \left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.}$

تنص نظرية تمثيل ريز على أن التطبيق من H إلى H * المعرف بـ u ↦ φ _u هو تطبيق شامل ، مما يجعل هذا التطبيق تماثلًا متساوي القياس ومضادًا للخطية . ^{[ 101 ]} لذا، لكل عنصر φ من المجموعة الثنائية H * ، يوجد عنصر واحد فقط u _φ في H بحيث $${\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}$$ لكل x ∈ H. يحقق الجداء الداخلي على الفضاء الثنائي H * ما يلي:$${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}$$

يؤدي عكس الترتيب على الجانب الأيمن إلى استعادة الخطية في φ من اللاخطية في u _φ . في الحالة الحقيقية، يكون التشاكل اللاخطي من H إلى فضاءه الثنائي تشاكلاً حقيقياً، وبالتالي فإن فضاءات هيلبرت الحقيقية متماثلة بشكل طبيعي مع فضاءاتها الثنائية. ^{[ 102 ]}

يُحصل على المتجه المُمثِّل u _φ بالطريقة التالية. عندما φ ≠ 0 ، فإن النواة F = Ker( φ ) هي فضاء متجهي مغلق جزئي من H ، ولا يساوي H ، وبالتالي يوجد متجه غير صفري v متعامد مع F. المتجه u هو مضاعف قياسي مناسب λv للمتجه v . الشرط φ ( v ) = ⟨ v , u ⟩ يُعطي $${\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}$$

تُستغل هذه العلاقة φ ↔ u بواسطة ترميز برا-كيت الشائع في الفيزياء . ^{[ 103 ]} من الشائع في الفيزياء افتراض أن الضرب الداخلي، الذي يُرمز إليه بـ ⟨ x | y ⟩ ، خطي من اليمين. $${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}$$ يمكن اعتبار النتيجة ⟨ x | y ⟩ بمثابة تأثير الدالة الخطية ⟨ x | ( البرا ) على المتجه | y ⟩ ( الكت ).

تعتمد نظرية تمثيل ريز بشكل أساسي ليس فقط على وجود جداء داخلي، بل أيضًا على اكتمال الفضاء. في الواقع، تشير النظرية إلى إمكانية تحديد الفضاء الثنائي الطوبولوجي لأي فضاء جداء داخلي مع اكتماله. ^{[ 104 ]} ومن النتائج المباشرة لنظرية تمثيل ريز أيضًا أن فضاء هيلبرت H انعكاسي ، أي أن التطبيق الطبيعي من H إلى فضائه الثنائي المزدوج هو تماثل . ^{[ 105 ]}

في فضاء هيلبرت H ، تكون المتتالية { xₙ _} متقاربة تقاربًا ضعيفًا إلى متجه x ∈ H عندما $${\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }$$ لكل v ∈ H .

على سبيل المثال، أي متتالية متعامدة { f _n } تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى  الصفر، كنتيجة لمتباينة بيسل . كل متتالية متقاربة تقاربًا ضعيفًا { x _n } تكون محدودة، وفقًا لمبدأ التقييد المنتظم .

على النقيض من ذلك، فإن كل متتالية محدودة في فضاء هيلبرت تقبل متتاليات جزئية متقاربة تقاربًا ضعيفًا ( نظرية ألا أوغلو ). ^{[ 106 ]} يمكن استخدام هذه الحقيقة لإثبات نتائج التصغير للدوال المحدبة المستمرة ، بنفس الطريقة التي تُستخدم بها نظرية بولزانو-فايرشتراس للدوال المستمرة على R ^d . من بين عدة صيغ، إحدى العبارات البسيطة هي كما يلي: ^{[ 107 ]}

إذا كانت f  : H → R دالة محدبة مستمرة بحيث f ( x ) تميل إلى +∞ عندما ‖ x ‖ تميل إلى ∞ ، فإن f تقبل قيمة دنيا عند نقطة ما x ₀ ∈ H .

تُعدّ هذه الحقيقة (وتعميماتها المختلفة) أساسيةً للطرق المباشرة في حساب التفاضل والتكامل . كما تُعدّ نتائج التصغير للدوال المحدبة نتيجةً مباشرةً لحقيقةٍ أكثر تجريدًا، وهي أن المجموعات الجزئية المحدبة المغلقة والمحدودة في فضاء هيلبرت H تكون متراصةً ضعيفًا ، نظرًا لأن H انعكاسي. ويُعدّ وجود المتتاليات الجزئية المتقاربة ضعيفًا حالةً خاصةً من نظرية إيبرلين-شموليان . ^{[ 108 ]}

تنطبق جميع الخصائص العامة لفضاءات باناخ على فضاءات هيلبرت. تنص نظرية التحويل المفتوح على أن التحويل الخطي الشامل والمستمر من فضاء باناخ إلى آخر هو تحويل مفتوح، أي أنه يُعيد المجموعات المفتوحة إلى مجموعات مفتوحة. ومن نتائج هذه النظرية نظرية المعكوس المحدود ، التي تنص على أن الدالة الخطية المستمرة والتقابلية من فضاء باناخ إلى آخر هي تماثل (أي دالة خطية مستمرة يكون معكوسها مستمرًا أيضًا). يُعد إثبات هذه النظرية أسهل بكثير في حالة فضاءات هيلبرت مقارنةً بفضاءات باناخ العامة. ^{[ 109 ]} تُكافئ نظرية التحويل المفتوح نظرية الرسم البياني المغلق ، التي تنص على أن الدالة الخطية من فضاء باناخ إلى آخر تكون مستمرة إذا وفقط إذا كان رسمها البياني مجموعة مغلقة . ^{[ 110 ]} في حالة فضاءات هيلبرت، يُعد هذا أساسيًا في دراسة المؤثرات غير المحدودة (انظر: المؤثر المغلق ). ^{[ 111 ]}

تنص نظرية هان-باناخ (الهندسية) على أنه يمكن فصل مجموعة محدبة مغلقة عن أي نقطة خارجها بواسطة مستوى فائق في فضاء هيلبرت. هذه نتيجة مباشرة لخاصية أفضل تقريب : إذا كان y هو العنصر من مجموعة محدبة مغلقة F الأقرب إلى x ، فإن المستوى الفائق الفاصل هو المستوى العمودي على القطعة المستقيمة xy المار بمنتصفها. ^{[ 112 ]}

المؤثرات الخطية المتصلة A : H₁ → H₂ _من فضاء هيلبرت H₁ إلى فضاء هيلبرت H₂ محدودة بمعنى أنها تُسقط _{مجموعات} محدودة على مجموعات محدودة. ^{[ 113 ]} _{والعكس صحيح، إذا كان} المؤثر محدودًا، فهو متصل. فضاء هذه المؤثرات الخطية المحدودة له معيار ، وهو _معيار المؤثر المعطى بالعلاقة ^{[ 114 ]} . $${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.}$$

إن مجموع وتركيب مؤثرين خطيين محدودين يكونان محدودين وخطيين أيضًا. ^{[ 115 ]} بالنسبة لـ y في H2 _، فإن التطبيق الذي يرسل x ∈ H1 إلى ⟨Ax , y⟩ يكون خطيًا ومتصلًا ، ووفقًا لنظرية تمثيل ريز، يمكن تمثيله بالتالي بالشكل ^{[ 116 ]} _.$${\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle }$$ لبعض المتجهات A * y في H1 _. يُعرّف هذا مؤثرًا خطيًا محدودًا آخر A *  : H2 → _H1 ، وهو المؤثر المرافق _لـ A. يحقق المؤثر المرافق A ** = A. عند استخدام نظرية تمثيل ريز لتحديد كل فضاء هيلبرت بفضائه الثنائي المتصل، يمكن إثبات أن المؤثر المرافق لـ A مطابق لمنقول A ، أي A : H2 * → _{H1 *} ، والذي يُرسل ، ^بحسب  التعريف،${\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}}$إلى الوظيفي${\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}$

إن المجموعة B( H ) لجميع المؤثرات الخطية المحدودة على H (أي المؤثرات H → H )، بالإضافة إلى عمليات الجمع والتركيب، والمعيار والعملية المرافقة، هي جبر C* ، وهو نوع من أنواع جبر المؤثرات . ^{[ 117 ]}

يُسمى العنصر A من B( H ) "ذاتي المرافق" أو "هيرميتي" إذا كان A * = A. إذا كان A هيرميتيًا وكان ⟨Ax , x⟩ ≥ 0 لكل x ، فإن A يُسمى موجبًا، ويُكتب A ≥ 0. تقبل مجموعة المؤثرات ذاتية المرافق ترتيبًا جزئيًا ، حيث A ≥ B إذا كان A − B ≥ 0. إذا كان A على الصورة B * B لبعض B ، فإن A موجب؛ وإذا كان B قابلًا للعكس، فإن A موجب تمامًا. والعكس صحيح أيضًا بمعنى أنه بالنسبة لمؤثر موجب A ، يوجد جذر تربيعي غير سالب وحيد لـ B بحيث ^{[ 118 ]}$${\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}$$

تُقدّم نظرية الطيف تعريفًا دقيقًا لدور المؤثرات الذاتية المرافقة كدوال حقيقية: فالمؤثر الذاتي المرافق المحدود له طيف حقيقي، ويمكن تمثيله، عبر حساب الدوال، بالضرب في دالة حقيقية. وبشكل أعم، يُشابه المؤثر العادي دالة مركبة، إذ يتحلل إلى جزأين ذاتيين مرافقين متبادلين: حقيقي وتخيلي. ^{[ 119 ]}$${\displaystyle A=\operatorname {Re} A+i\operatorname {Im} A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}.}$$ وعلى العكس من ذلك، إذا كان هناك عاملان ذاتيان مترافقان يتبادلان، فإن مجموعهما في هذا الشكل يكون طبيعياً.

يُسمى العنصر U من B( H ) عنصرًا وحدويًا إذا كان U قابلًا للعكس، وكان معكوسه U * . ويمكن التعبير عن ذلك أيضًا باشتراط أن ^يكون U شاملًا، وأن يكون ^⟨Ux , Uy⟩ = ⟨x , y⟩ لكل x , y ∈ H. تُشكل المؤثرات الوحدوية زمرةً تحت التركيب، وهي زمرة التناظر لـ H. ^[ 120 ]

يكون عنصر من B( H ) متراصًا إذا كان يُرسل المجموعات المحدودة إلى مجموعات متراصة نسبيًا . وبالمثل، يكون المؤثر المحدود T متراصًا إذا كان للمتتالية { Txk } ، لأي متتالية محدودة { _{xk }} ، متتالية جزئية متقاربة. العديد من المؤثرات التكاملية متراصة، وتُعرّف فئة خاصة من المؤثرات تُعرف بمؤثرات هيلبرت-شميدت، وهي مهمة في دراسة المعادلات التكاملية . ^{[ 121 ]}

مؤثرات فريدهولم هي مؤثرات محدودة قابلة للعكس بتردد المؤثرات المدمجة. وبالتالي، فإن المؤثر${\displaystyle T}$تكون فريدهولم إذا كان هناك مؤثر محدود${\displaystyle T'}$، والتي تسمى بارامتركس ، بحيث${\displaystyle TT'-I}$مضغوط (يمين-فريدهولم)${\displaystyle T'T-I}$هي مجموعة مضغوطة (فريدهولم يسارية). تُعرَّف مؤثرات فريدهولم، بشكل مكافئ، بأنها مؤثرات محدودة ذات نواة محدودة الأبعاد ومدى مغلق. ^{[ 122 ]} وبالتالي، تتوافق مؤثرات فريدهولم مع العناصر القابلة للعكس في جبر كالكن . يمكن تصور مؤثرات فريدهولم بشكل بديهي على أنها مؤثرات قابلة للعكس بتردد تأثيرات محدودة الأبعاد. يُعرَّف دليل مؤثر فريدهولم T كما يلي:$${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}$$ المؤشر ثابت تحت تأثير التماثل ، ^{[ 123 ]} ويلعب دورًا عميقًا في الهندسة التفاضلية من خلال نظرية مؤشر أتياس-سينجر . ^{[ 124 ]}

تنشأ المؤثرات غير المحدودة بشكل طبيعي في فضاءات هيلبرت، لا سيما في دراسة المؤثرات التفاضلية وفي الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم . ^{[ 125 ]} المؤثر غير المحدود على فضاء هيلبرت H هو دالة خطية $${\displaystyle T:D(T)\to H}$$ مجالها D ( T ) هو فضاء جزئي خطي من H. على عكس المؤثرات المحدودة، فإن المؤثر غير المحدود عادةً لا يكون معرفًا على كامل H. إذا كان D ( T ) كثيفًا في H ، فإن T يُسمى مؤثرًا معرفًا بكثافة . ^{[ 126 ]}

يُعدّ نطاق المؤثر غير المحدود جزءًا من تعريفه. وعلى وجه الخصوص، قد تُعرّف الصيغة نفسها مؤثرات مختلفة عند تزويدها بنطاقات مختلفة. غالبًا ما يُشترط أن تكون المؤثرات المستخدمة في التحليل مغلقة ، أي أن يكون الرسم البياني مغلقًا، أو قابلة للإغلاق ، أي أنه يمكن توسيع المؤثر على نطاق أكبر ليصبح رسمه البياني مغلقًا. وبحسب نظرية الرسم البياني المغلق ، فإن المؤثر المغلق المعرّف على كامل فضاء هيلبرت يكون محدودًا؛ وبالتالي، يجب أن يكون للمؤثر المغلق غير المحدود حقًا نطاق مناسب. ^{[ 127 ]}

إذا كانت T معرفة بشكل كثيف، فإن مرافقها T * يُعرَّف كما يلي: ينتمي المتجه y ∈ H إلى D ( T *) إذا كان التطبيق $${\displaystyle x\mapsto \langle Tx,y\rangle ,\qquad x\in D(T),}$$ تكون محدودة بالنسبة لمعيار فضاء هيلبرت على D ( T ) . في هذه الحالة، تعطي نظرية تمثيل ريز متجهًا وحيدًا T * y ∈ H بحيث $${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle }$$ لكل x ∈ D ( T ) . يُطلق على المؤثر المعرف بكثافة اسم المتماثل إذا كان T ⊂ T * ، وذاتي المرافق إذا كان T = T * ، بما في ذلك تساوي المجالات.

تؤدي المؤثرات غير المحدودة ذاتية الترافق دور الكميات القابلة للرصد في صياغة ميكانيكا الكم في فضاء هيلبرت. ^{[ 128 ]} على L² ( R ) ، يكون مؤثر الموضع هو مؤثر الضرب ^.$${\displaystyle (Qf)(x)=xf(x),}$$ مع النطاق $${\displaystyle D(Q)=\{f\in L^{2}(\mathbf {R} ):xf(x)\in L^{2}(\mathbf {R} )\}.}$$ مؤثر الزخم هو التحقيق الذاتي المرافق لـ $${\displaystyle (Pf)(x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),}$$ على سبيل المثال، مع مجال ^فضاء سوبوليف H₁ ( R ) . ^{[ 129 ]} وبصورة مكافئة، هو إغلاق هذا المؤثر التفاضلي المعرّف مبدئيًا على الدوال الملساء ذات الدعم المدمج. هذه المؤثرات غير معرّفة على كامل L² ( R ) : بالنسبة لدالة عامة قابلة للتكامل التربيعي ^، لا يلزم وجود المشتقة، ولا يلزم أن يكون حاصل الضرب xf ( x ) قابلاً للتكامل التربيعي.

يمكن دمج فضاءي هيلبرت H1 _و H2 في _فضاء هيلبرت آخر، يُسمى المجموع المباشر (المتعامد) ، ^{[ 130 ] [ 131 ]} ويُرمز له بـ$${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}\,,}$$

تتألف من مجموعة جميع الأزواج المرتبة ( x1 _, x2 ) حيث xᵢ ∈ Hᵢ _، و _i = 1, 2 ، _{والجداء} الداخلي المعرف بواسطة $${\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.}$$

وبشكل أعم، إذا كانت H _i عائلة من فضاءات هيلبرت المفهرسة بـ i ∈ I ، فإن المجموع المباشر لـ H _i ، والذي يُرمز إليه بـ $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}$$ تتكون من مجموعة جميع العائلات المفهرسة $${\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}$$ في _حاصل الضرب الديكارتي للهيدروجين المتعادل بحيث $${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}$$

يُعرَّف الضرب الداخلي بواسطة $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.}$$

يُضمَّن كل عنصر من عناصر _Hᵢ كفضاء فرعي مغلق في المجموع المباشر لجميع _عناصر Hᵢ . علاوة على ذلك، فإن عناصر _Hᵢ متعامدة مثنى مثنى. على العكس من ذلك، إذا وُجد نظام من الفضاءات الفرعية المغلقة، Vᵢ _، حيث i ∈ I ، في فضاء هيلبرت H ، متعامدة مثنى مثنى، ويكون امتدادها الخطي كثيفًا في H ، فإن H يكون متماثلًا قانونيًا مع المجموع المباشر لـ Vᵢ _. في هذه الحالة، يُسمى H المجموع المباشر الداخلي لـ Vᵢ _. يُزوَّد المجموع المباشر (الداخلي أو الخارجي) أيضًا بمجموعة من الإسقاطات المتعامدة Eᵢ على العنصر المُجمَّع المباشر رقم i _، Hᵢ . هذه الإسقاطات عبارة عن مؤثرات محدودة، ذاتية الترافق، ومتساوية القوة ، تُحقق شرط التعامد _.$${\displaystyle E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.}$$

تنص نظرية الطيف للمؤثرات الذاتية المرافقة المدمجة على فضاء هيلبرت H على أن H ينقسم إلى المجموع المباشر المتعامد للفضاءات الذاتية لمؤثر ما، كما تقدم تحليلًا صريحًا للمؤثر كمجموع إسقاطات على هذه الفضاءات. يظهر المجموع المباشر لفضاءات هيلبرت أيضًا في ميكانيكا الكم كفضاء فوك لنظام يحتوي على عدد متغير من الجسيمات، حيث يمثل كل فضاء هيلبرت في المجموع المباشر درجة حرية إضافية للنظام الكمي. في نظرية التمثيل ، تضمن نظرية بيتر-ويل أن أي تمثيل وحدوي لمجموعة مدمجة على فضاء هيلبرت ينقسم كمجموع مباشر لتمثيلات ذات أبعاد محدودة. ^{[ 132 ] [ 133 ]}

لو${\displaystyle x_{1},y_{1}\in H_{1}}$و${\displaystyle x_{2},y_{2}\in H_{2}}$ثم يُعرَّف الضرب الداخلي على الضرب الموتري (العادي) كما يلي. على الموترات البسيطة ، ليكن $${\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.}$$

ثم تمتد هذه الصيغة، من خلال خاصية التساوي الخطي، إلى حاصل ضرب داخلي على${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$. حاصل ضرب الموتر الهيلبرتي لـ${\displaystyle H_{1}}$و${\displaystyle H_{2}}$، ويرمز إليه أحيانًا بـ${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} H_{2}}$، هو فضاء هيلبرت الذي يتم الحصول عليه من خلال إكمال${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$بالنسبة للمقياس المرتبط بهذا المنتج الداخلي. ^{[ 134 ]}

يُعد فضاء هيلبرت مثالاً على ذلك${\displaystyle L^{2}([0,1]).}$حاصل ضرب الموتر الهيلبرتي لنسختين من${\displaystyle L^{2}([0,1])}$متماثل قياسًا وخطيًا مع الفضاء${\displaystyle L^{2}([0,1]^{2})}$الدوال القابلة للتكامل التربيعي على المربع${\displaystyle [0,1]^{2}.}$يُرسل هذا التشاكل موترًا بسيطًا${\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}}$إلى الوظيفة $${\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}$$ في الساحة.

هذا المثال نموذجي بالمعنى التالي. ^{[ 135 ]} مرتبط بكل جداء موتر بسيط${\displaystyle x_{1}\otimes x_{2}}$هو المشغل الأول من${\displaystyle H_{1}^{\ast }}$ل${\displaystyle H_{2}}$التي تحدد قيمة معينة${\displaystyle x^{\ast }\in H_{1}^{\ast }}$مثل $${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})x_{2}\,.}$$

يمتد هذا الربط المعرف على الموترات البسيطة إلى تعريف خطي بين${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ومساحة المؤثرات ذات الرتبة المحدودة من${\displaystyle H_{1}^{\ast }}$ل${\displaystyle H_{2}}$يمتد هذا إلى التماثل الخطي لحاصل ضرب الموتر الهيلبرتي.${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} H_{2}}$مع مساحة هيلبرت${\displaystyle \operatorname {HS} (H_{1}^{\ast },H_{2})}$من مؤثرات هيلبرت-شميدت من${\displaystyle H_{1}^{\ast }}$ل${\displaystyle H_{2}}$.