مسألة نيوتن للمقاومة الدنيا

مسألة نيوتن للمقاومة الدنيا هي مسألة إيجاد جسم دوراني يواجه أقل مقاومة ممكنة عند تحركه عبر سائل متجانس بسرعة ثابتة في اتجاه محور الدوران. سُميت هذه المسألة نسبةً إلى إسحاق نيوتن ، الذي طرحها وحلها عام 1685 ونشرها عام 1687 في كتابه " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" . ^{[ 1 ]} أسست هذه المسألة مجال حساب التفاضل والتكامل التغيري، إذ قدم نيوتن مفهومه، وكانت هذه المسألة أول مسألة تُصاغ وتُحل بشكل صحيح، ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وقد ظهرت قبل عقد من الزمن من مسألة منحنى السرعة القصيرة ، التي حلها نيوتن أيضًا باستخدام حساب التفاضل والتكامل التغيري. ^{[ 4 ] [ 2 ]} نشر نيوتن الحل في "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" دون اشتقاقه، وكان ديفيد غريغوري أول من تواصل مع نيوتن وأقنعه بكتابة تحليل له. ثم قام غريغوري بمشاركة هذا الاستنتاج مع طلابه وزملائه. ^{[ 5 ]}

بحسب آي. برنارد كوهين ، في كتابه "دليل مبادئ نيوتن "، "تم اكتشاف مفتاح منطق نيوتن في ثمانينيات القرن التاسع عشر، عندما أهدى إيرل بورتسموث مجموعته العائلية الضخمة من أوراق نيوتن العلمية والرياضية إلى جامعة كامبريدج. ومن بين مخطوطات نيوتن، عُثر على مسودة رسالة  ... شرح فيها نيوتن حجته الرياضية. إلا أن هذه الحجة لم تُفهم تمامًا إلا بعد نشر الوثائق المخطوطة الرئيسية بواسطة دي.  تي.  وايتسايد [1974]، الذي مكّن تعليقه التحليلي والتاريخي دارسي نيوتن ليس فقط من تتبع مسار نيوتن نحو الاكتشاف والبرهان، بل أيضًا إعادة حسابه اللاحقة (1694) لسطح المقاومة الأقل". ^{[ 6 ] [ 7 ]}

على الرغم من أن نموذج نيوتن للسائل كان خاطئًا وفقًا لفهمنا الحالي، إلا أن السائل الذي درسه يجد تطبيقه في نظرية التدفق فوق الصوتي كحالة حدية. ^{[ 8 ]}

في الاقتراح 34 من الكتاب الثاني من كتاب المبادئ، كتب نيوتن: "إذا تحركت كرة وأسطوانة موصوفة على قطر متساوٍ في وسط نادر يتكون من جسيمات متساوية موضوعة بحرية على مسافات متساوية من بعضها البعض، وبسرعات متساوية في اتجاه محور الأسطوانة، فإن مقاومة الكرة ستكون نصف مقاومة الأسطوانة فقط."

ويتبع هذا الاقتراح شرح يتضمن الشرط الشهير القائل بأن المنحنى، عند تدويره حول محوره، يجب أن يولد جسمًا صلبًا يواجه مقاومة أقل من أي جسم صلب آخر له طول وعرض ثابتين.

في شكلها الحديث، تتمثل مشكلة نيوتن في تقليل التكامل التالي: ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle I=\int {\frac {y{\dot {y}}^{3}}{1+{\dot {y}}^{2}}}\,dx,}$

أين${\displaystyle y(x)}$يمثل المنحنى الذي يُنتج مجسمًا عند تدويره حول المحور السيني  ، و${\displaystyle {\dot {y}}=dy/dx.}$

يمثل I انخفاض المقاومة الناتج عن اصطدام الجسيمات بالسطح المائل DNG، المتكون من دوران المنحنى، بدلاً من أن يكون عموديًا على الإسقاط الأفقي لـ DNG على القرص الخلفي DA من اتجاه الحركة، في الشكل  1. لاحظ أن الجزء الأمامي من الجسم الصلب هو القرص BG، وأن المثلثين GBC وGBR ليسا جزءًا منه، ولكنهما يستخدمان أدناه من قبل نيوتن للتعبير عن شرط الحد الأدنى.

يرتبط هذا التكامل بالمقاومة الكلية التي يواجهها الجسم بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \rho ={\frac {H^{2}}{2}}+\int {\frac {y{\dot {y}}^{3}}{1+{\dot {y}}^{2}}}\,dx.}$

تكمن المشكلة في إيجاد المنحنى الذي يولد الجسم الصلب الذي يواجه مقاومة أقل من أي جسم صلب آخر له طول محوري ثابت L وعرض ثابت H.

بما أن الجسم الصلب يجب أن يتناقص قطره في اتجاه الحركة، فإن H هو نصف قطر القرص الذي يشكل السطح الخلفي للمنحنى بعد تدويره حول المحور x  . وقد تم اختيار الوحدات بحيث يكون ثابت التناسب مساويًا للواحد. لاحظ أيضًا أن${\displaystyle {\dot {y}}<0,}$والتكامل، الذي يُحسب بين x = 0 و x = L ، يكون سالباً. لنفترض أن y = h عندما x = L.

عندما يكون المنحنى هو الخط الأفقي DK، فإن الجسم الصلب يكون أسطوانة.${\displaystyle y=H,{\dot {y}}=0,}$التكامل يساوي صفرًا، ومقاومة الأسطوانة هي${\displaystyle \rho =H^{2}/2,}$وهذا يفسر الحد الثابت.

أبسط طريقة لتطبيق معادلة أويلر-لاغرانج على هذه المسألة هي إعادة كتابة المقاومة على النحو التالي:

${\displaystyle \rho ={\frac {H^{2}}{2}}+\int {\frac {y}{1+{\dot {x}}^{2}}}\,dy,}$

أين${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dy}$، والتكامل، الذي يتم تقييمه بين y = H و y = h < H ، يكون سالباً.

استبدال الدالة التكاملية${\displaystyle F(y,{\dot {x}})=y/(1+{\dot {x}}^{2})}$في معادلة أويلر-لاغرانج

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}}}\right)={\frac {d}{dy}}\left({\frac {-2{\dot {x}}y}{(1+{\dot {x}}^{2})^{2}}}\right)={\frac {\partial F}{\partial x}}=0,}$

ويترتب على ذلك${\displaystyle {\frac {{\dot {x}}y}{(1+{\dot {x}}^{2})^{2}}}}$ثابت، ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي

${\displaystyle y=K_{1}{\frac {(1+p^{2})^{2}}{p^{3}}},\qquad (1)}$

أين${\displaystyle p=-{\dot {y}}>0}$، و${\displaystyle K_{1}>0}$ثابت.

على الرغم من أن المنحنيات التي تحقق شرط الحد الأدنى لا يمكن وصفها بدالة بسيطة y = f ( x )، إلا أنه يمكن رسمها باستخدام p كمعامل، للحصول على الإحداثيات المقابلة ( x , y ) للمنحنيات. وتُستنتج معادلة x كدالة لـ p من شرط الحد الأدنى (1)، وقد وجد نيوتن معادلة مكافئة لها لأول مرة. 

التمييز:

${\displaystyle dy=-p\,dx=K_{1}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}-{\frac {3}{p^{4}}}\right)\,dp}$

والتكامل:

${\displaystyle x=K_{2}-K_{1}\left(\ln p+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {3}{4p^{4}}}\right),}$

أين${\displaystyle K_{2}>0}$ثابت.

منذ${\displaystyle y=H}$متى${\displaystyle x=0}$، و${\displaystyle y=h}$متى${\displaystyle x=L}$الثوابت${\displaystyle K_{1},K_{2}}$يمكن تحديدها بدلالة H و h و L. ولأن y من المعادلة (1) لا يمكن أن تكون صفرًا أو سالبة أبدًا، فإن السطح الأمامي لأي جسم صلب يحقق شرط الحد الأدنى يجب أن يكون قرصًا (GB في الشكل  2 أعلاه).

ولأن هذه كانت أول حالة من هذا النوع من المسائل، فقد اضطر نيوتن إلى ابتكار طريقة حل جديدة تمامًا. كما أنه تعمّق في تحليله للمسألة أكثر من مجرد إيجاد الشرط (1).

بينما يجب أن يحقق الجسم الصلب ذو المقاومة الأقل الشرط (1)، فإن العكس ليس صحيحًا. يوضح الشكل 2 مجموعة المنحنيات التي تحققه لقيم مختلفة لـ${\displaystyle K_{1}>0}$. مثل${\displaystyle K_{1}}$يؤدي زيادة نصف القطر، Bg = h، للقرص عند x = L إلى انخفاضه ويصبح المنحنى أكثر انحدارًا.

قبل مسألة المقاومة الدنيا مباشرةً، ذكر نيوتن أنه إذا أصبحت قيمة p أكبر من واحد على أي شكل بيضاوي أو إهليلجي يدور حول محوره، فإنه يمكن إيجاد شكل ذي مقاومة أقل. ويتحقق ذلك باستبدال جزء المجسم الذي تكون فيه p > 1 بجزء ناقص من مخروط تكون زاوية رأسه قائمة، كما هو موضح في الشكل 2 للمنحنى.${\displaystyle D\nu \phi \gamma B}$وهذا أقل مقاومة من${\displaystyle D\nu \phi \Gamma B}$لم يُثبت نيوتن ذلك، لكنه أضاف أنه قد يكون له تطبيقات في بناء السفن. وقدّم وايتسايد برهانًا، وزعم أن نيوتن كان سيستخدم المنطق نفسه.

في الشكل 2، بما أن الجسم الصلب الناتج عن المنحنى Dng يحقق شرط الحد الأدنى وله قيمة p < 1 عند النقطة g، فإنه يواجه مقاومة أقل من تلك الناتجة عن أي منحنى آخر له نفس نقطة النهاية g. ومع ذلك، بالنسبة للمنحنى DνΓ، حيث p > 1 عند نقطة النهاية Γ، فإن هذا لا ينطبق، فعلى الرغم من أن المنحنى يحقق شرط الحد الأدنى، إلا أن المقاومة التي تواجهها النقطتان φγ و γΓ معًا أقل من تلك التي تواجهها النقطة φΓ وحدها.

استنتج نيوتن أنه من بين جميع المواد الصلبة التي تحقق شرط المقاومة الدنيا، فإن المادة التي تعاني من أقل مقاومة، DNG في الشكل 2، هي تلك التي يكون فيها p = 1 عند G. ويظهر هذا بشكل تخطيطي في الشكل 3 حيث تتغير المقاومة الكلية للمادة الصلبة مقابل نصف قطر قرص السطح الأمامي، ويحدث الحد الأدنى عندما يكون h = BG، وهو ما يتوافق مع p = 1 عند G.

في كتاب "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية"، في الشكل 1، يُترجم شرط مقاومة الجسم الصلب الأدنى إلى شكل هندسي كما يلي: ارسم GR موازيًا للمماس عند النقطة N، بحيث${\displaystyle p={\frac {GB}{BR}}}$وتصبح المعادلة (1) كالتالي:${\displaystyle {\frac {NM.GB^{3}}{BR^{3}(1+(GB/BR)^{2})^{2}}}={\frac {NM.BR.GB^{3}}{GR^{4}}}=K_{1}}$

عند النقطة G،${\displaystyle NM=BG}$،${\displaystyle BR=BC=BG}$، و${\displaystyle GR^{2}=2BG^{2}}$، لذا${\displaystyle {\frac {NM.BR.GB^{3}}{GR^{4}}}={\frac {GB}{4}}=K_{1}}$والتي تظهر في كتاب "برينسيبيا" بالشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {NM}{GR}}={\frac {GR^{3}}{4BR.GB^{2}}}}$

على الرغم من أن هذا يبدو بسيطاً إلى حد ما، إلا أنه يحتوي على العديد من التفاصيل الدقيقة التي تسببت في الكثير من الارتباك.

في الشكل 4، افترض أن DNSG هو المنحنى الذي عند تدويره حول AB ينتج عنه جسم صلب مقاومته أقل من أي جسم صلب آخر له نفس الارتفاعات، AD = H، BG = h والطول، AB = L.

يوضح الشكل 5 المنطقة المتناهية الصغر من المنحنى حول N و I بمزيد من التفصيل. على الرغم من أن NI و Nj و NJ منحنية بالفعل، إلا أنه يمكن تقريبها بخطوط مستقيمة بشرط أن تكون NH صغيرة بما يكفي.

لنفترض أن HM = y، و AM = x، و NH = u، و HI = w = dx. لنفترض أن المماس عند كل نقطة على المنحنى،${\displaystyle p=-{\frac {dy}{dx}}={\frac {u}{w}}}$انخفاض مقاومة الحلقة المائلة NI مقارنة بالحلقة الرأسية NH التي تدور حول AB هو${\displaystyle r={\frac {yp^{3}}{1+p^{2}}}dx={\frac {yu^{3}}{u^{2}+w^{2}}}}$ (2)

لنفترض أن الجسم الصلب ذو المقاومة الدنيا قد استُبدل بجسم صلب مماثل له، باستثناء أن القوس بين النقطتين I و K قد أُزيح مسافة صغيرة إلى اليمين.${\displaystyle IJ=KL=o>0}$أو إلى اليسار${\displaystyle Ij=Kl=o<0}$كما هو موضح بمزيد من التفصيل في الشكل 5. في كلتا الحالتين، يصبح HI${\displaystyle HJ,Hj=w+o}$.

تبقى مقاومة قوسَي المنحنى DN وSG ثابتة. كما لا تتغير مقاومة القوس IK عند إزاحته، لأن ميله يبقى ثابتًا على طوله. التغيير الوحيد في المقاومة الكلية للمنحنى DNSG ناتج عن تغير ميل القوسَين NI وKS. يجب أن تتساوى الإزاحتان لكي يبقى ميل القوس IK ثابتًا، ولكي ينتهي المنحنى الجديد عند النقطة G.

المقاومة الجديدة الناتجة عن اصطدام الجسيمات بـ NJ أو Nj، بدلاً من NI، هي:

${\displaystyle r+\delta r={\frac {yu^{3}}{u^{2}+(w+o)^{2}}}=r-{\frac {2ywu^{3}o}{(u^{2}+w^{2})^{2}}}}$+ w.(الحدود في قوى تصاعدية لـ${\displaystyle {\frac {o}{w}}}$ (بدءًا من الثاني).

والنتيجة هي تغيير في المقاومة بمقدار:${\displaystyle -{\frac {2NM.HI.HN^{3}o}{NI^{4}}}}$+ حدود من الرتبة الأعلى، حيث يتم تقليل المقاومة إذا كانت o > 0 (NJ أقل مقاومة من NI).

هذا هو الاشتقاق الأصلي لعام 1685 حيث حصل على النتيجة المذكورة أعلاه باستخدام توسيع السلسلة في قوى o. في مراجعته لعام 1694، قام بتفاضل (2) بالنسبة إلى w. أرسل تفاصيل نهجه اللاحق إلى ديفيد غريغوري، وهذه مدرجة كملحق في ترجمة موتي لكتاب Principia.

وبالمثل، فإن التغير في المقاومة الناتج عن اصطدام الجسيمات بـ SL أو Sl بدلاً من SK هو:${\displaystyle +{\frac {2TS.OK.OS^{3}o}{SK^{4}}}}$+ حدود من الرتبة الأعلى.

التغير الكلي في مقاومة المادة الصلبة الكاملة،${\displaystyle \delta \rho =(-{\frac {2NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}+{\frac {2TS.OK.OS^{3}}{SK^{4}}})o}$+ w.(الحدود في قوى تصاعدية لـ${\displaystyle {\frac {o}{w}}}$ (بدءًا من الثاني).

يمثل الشكل 6 المقاومة الكلية لـ DNJLSG، أو DNjlSG، كدالة لـ σ. بما أن المنحنى الأصلي DNIKSG له أقل مقاومة، فإن أي تغيير في σ، مهما كانت إشارته، سيؤدي حتماً إلى زيادة في المقاومة. وهذا ممكن فقط إذا كان معامل σ في مفكوك${\displaystyle \rho (o)}$يساوي صفرًا، لذا:

${\displaystyle {\frac {NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}={\frac {TS.OK.OS^{3}}{SK^{4}}}}$ (2)

لو لم يكن الأمر كذلك، لأمكن اختيار قيمة لـ o بإشارة تُنتج منحنى DNJLSG، أو DNjlSG بمقاومة أقل من المنحنى الأصلي، خلافًا للافتراض الأولي. يصبح تقريب الخطوط المستقيمة للأقواس المحدودة، NI وKS، دقيقًا تمامًا عندما تقترب HN وOS من الصفر. كما يمكن اعتبار NM وHM متساويين، وكذلك OT وST.

مع ذلك، فإن النقطتين N و S على المنحنى الأصلي نقطتان اختياريتان، لذا يجب أن تنطبق المساواة المذكورة أعلاه على أي نقطتين في أي مكان على المنحنى. وهذا ممكن فقط إذا كان التعبير، في نهاية أي قوس متناهي الصغر HI، في أي مكان على المنحنى،

${\displaystyle {\frac {NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}}$ثابت. (3)

لا بد أن يكون هذا هو الحال لأنه، إذا${\displaystyle {\frac {NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}}$لو كان التغير على طول المنحنى، لكان من الممكن إيجاد قوسين متناهيين في الصغر NI و KS بحيث تكون المعادلة (2) خاطئة، ومعامل o في مفكوك${\displaystyle \delta \rho }$ستكون قيمتها غير صفرية. عندئذٍ، يمكن إنتاج جسم صلب ذي مقاومة أقل باختيار قيمة مناسبة لـ o.

هذا هو سبب وجود الحد الثابت في شرط الحد الأدنى في المعادلة (3). وكما ذُكر سابقًا، ذهب نيوتن أبعد من ذلك، وادعى أن مقاومة الجسم الصلب أقل من مقاومة أي جسم آخر له نفس الطول والعرض، عندما يكون الميل عند النقطة G مساويًا للواحد. لذلك، في هذه الحالة، يساوي الثابت في المعادلة (3) ربع نصف قطر القرص الأمامي للجسم الصلب.${\displaystyle {\frac {GB}{4}}}$.