مخروط ناقص

تم تقديم صيغة حجم المخروط المربع الهرمي الناقص من قبل الرياضيات المصرية القديمة فيما يسمى بردية موسكو الرياضية ، والتي كُتبت في الأسرة الثالثة عشرة ( حوالي 1850 قبل الميلاد ):

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),}$

حيث يمثل a و b طولي الجانبين السفلي والعلوي، و h هو الارتفاع.

كان المصريون يعرفون الصيغة الصحيحة لحجم مثل هذا الهرم المربع المقطوع، ولكن لم يتم تقديم أي دليل على هذه المعادلة في بردية موسكو.

حجم المخروط الناقص أو الهرمي هو حجم الجسم الصلب قبل قطع "قمته"، مطروحًا منه حجم هذه "القمة" :

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},}$

حيث B ₁ و B ₂ هما منطقتي القاعدة والقمة، و h ₁ و h ₂ هما الارتفاعات العمودية من القمة إلى مستويي القاعدة والقمة.

بالنظر إلى ذلك

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,}$

يمكن التعبير عن صيغة الحجم على أنها ثلث حاصل ضرب هذه النسبة،${\displaystyle \alpha }$وفرق مكعبات الارتفاعين h ₁ و h ₂ فقط:

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.}$

باستخدام المتطابقة a ³ − b ³ = ( a − b )( a ² + ab + b ² ) ، نحصل على:

${\displaystyle V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},}$

حيث h ₁ − h ₂ = h هو ارتفاع المخروط الناقص.

التوزيع${\displaystyle \alpha }$وبالتعويض من تعريفها، نحصل على المتوسط ​​الهيروني للمنطقتين B ₁ و B _{2 :}

${\displaystyle {\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};}$

وبالتالي فإن الصيغة البديلة هي:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).}$

يشتهر هيرون الإسكندري باشتقاق هذه الصيغة، ومن خلالها، اكتشف الوحدة التخيلية : الجذر التربيعي للعدد سالب واحد. ^{[ 2 ]}

بخاصة:

• حجم المخروط الدائري المخروط هو:

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),}$

حيث يمثل r ₁ و r ₂ نصف قطر القاعدة ونصف قطر القمة .

• حجم المخروط الناقص الهرمي الذي قواعده عبارة عن مضلعات منتظمة ذات n ضلعًا هو:

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},}$

حيث يمثل الرقم ₁ والرقم 2 طولي الجانبين السفلي والعلوي _.

بالنسبة للمخروط الناقص الدائري القائم ^{[ 3 ] [ 4 ]،} يكون الارتفاع المائل${\displaystyle s}$يكون

${\displaystyle \displaystyle s={\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},}$

مساحة السطح الجانبي هي

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s,}$

والمساحة السطحية الكلية هي

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right),}$

حيث يمثل r ₁ و r ₂ نصف قطر القاعدة ونصف قطر القمة على التوالي.