صلب الثورة

في الهندسة ، يُعرف المجسم الدوراني بأنه شكل ثلاثي الأبعاد ينتج عن دوران شكل مستوٍ حول خط مستقيم ( محور الدوران )، والذي لا يتقاطع مع المولد ( إلا عند حدوده). والسطح الناتج عن هذا الدوران والذي يحيط بالمجسم هو سطح الدوران .

بافتراض أن المنحنى لا يتقاطع مع المحور، فإن حجم الجسم الصلب يساوي طول الدائرة الموصوفة بمركز الشكل مضروبًا في مساحة الشكل ( نظرية مركز الشكل الثاني لبابوس ).

القرص التمثيلي هو عنصر حجمي ثلاثي الأبعاد لجسم دوراني. يتم إنشاء هذا العنصر بتدوير قطعة ^{مستقيمة} ( طولها w ) حول محور ما (يقع على بعد r وحدة)، بحيث يتم احتواء حجم أسطواني مقداره πr²w وحدة .

هناك طريقتان شائعتان لإيجاد حجم مجسم دوراني، وهما طريقة القرص وطريقة الغلاف في التكامل . لتطبيق هاتين الطريقتين، يُفضّل رسم الشكل المطلوب، ثم تحديد المنطقة المراد تدويرها حول محور الدوران، ثم تحديد حجم إما شريحة قرصية الشكل من المجسم بسماكة δx ، أو غلاف أسطواني بعرض δx ، ثم إيجاد المجموع النهائي لهذين الحجمين عندما تقترب δx من الصفر، وهي قيمة يمكن إيجادها بحساب تكامل مناسب. ويمكن تقديم تبرير أكثر دقة بمحاولة حساب تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الأسطوانية باستخدام رتبتين مختلفتين للتكامل.

طريقة القرص

تُستخدم طريقة القرص عندما تكون الشريحة المرسومة عمودية على محور الدوران؛ أي عند التكامل بالتوازي مع محور الدوران.

حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين منحنيات الدالتين f ( y ) و g ( y ) والمستقيمين y = a و y = b حول المحور y يُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(y)^{2}-g(y)^{2}\right|\,dy\,.}$$ إذا كانت g ( y ) = 0 (على سبيل المثال، دوران منطقة بين المنحنى والمحور y )، فإن هذا يختزل إلى: $${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(y)^{2}\,dy\,.}$$

يمكن تصور هذه الطريقة بتخيل مستطيل أفقي رقيق عند النقطة y بين f ( y ) في الأعلى و g ( y ) في الأسفل، وتدويره حول المحور y ؛ فيتشكل بذلك حلقة (أو قرص في حالة g ( y ) = 0 )، بنصف قطر خارجي f ( y ) ونصف قطر داخلي g ( y ) . مساحة الحلقة هي π( R² ^- r² ) ، حيث R هو نصف القطر الخارجي (في هذه الحالة f ( y ) )، و r هو نصف القطر الداخلي (في هذه الحالة g ( y ) ). وبالتالي ، ^فإن حجم كل قرص متناهي الصغر هو πf ( y ) ^²dy . تصبح نهاية مجموع ريمان لأحجام الأقراص بين a و b عددًا صحيحًا (1).

بافتراض إمكانية تطبيق نظرية فوبيني وصيغة تغيير المتغيرات متعددة المتغيرات، يمكن اشتقاق طريقة القرص بطريقة مباشرة عن طريق (مع الإشارة إلى الجسم الصلب بالرمز D): $${\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{g(z)}^{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}(f(z)^{2}-g(z)^{2})\,dz}$$

طريقة شل للتكامل

تُستخدم طريقة الغلاف (التي يشار إليها أحيانًا باسم "طريقة الأسطوانة") عندما تكون الشريحة المرسومة موازية لمحور الدوران؛ أي عند التكامل العمودي على محور الدوران.

حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين منحنيات الدالتين f ( x ) و g ( x ) والمستقيمين x = a و x = b حول المحور y يُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}$$ إذا كانت قيمة g ( x ) تساوي صفرًا (على سبيل المثال، دوران منطقة بين المنحنى والمحور السيني )، فإن هذا يختزل إلى: $${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}$$

يمكن تصور هذه الطريقة بتخيل مستطيل رأسي رفيع عند النقطة x وارتفاعه f ( x ) - g ( x ) ، وتدويره حول المحور y ؛ فيتشكل بذلك غلاف أسطواني. مساحة السطح الجانبي للأسطوانة هي 2πrh ، حيث r هو نصف القطر (في هذه الحالة x )، و h هو الارتفاع (في هذه الحالة f ( x ) - g ( x ) ). بجمع جميع مساحات الأسطح على طول هذه الفترة، نحصل على الحجم الكلي.

يمكن اشتقاق هذه الطريقة باستخدام نفس التكامل الثلاثي، ولكن هذه المرة بترتيب تكامل مختلف: $${\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr.}$$

مظاهرة ثورية صلبة

الأشكال في حالة سكون

الأشكال المتحركة، تُظهر الأجسام الدورانية التي تشكلها كل منها

عندما يتم تعريف منحنى من خلال شكله البارامتري ( x ( t ), y ( t )) في فترة ما [ a , b ] ، فإن أحجام الأجسام الصلبة الناتجة عن دوران المنحنى حول المحور x أو المحور y يتم إعطاؤها بواسطة ^{[ 1 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,\\V_{y}&=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.\end{aligned}}}$$

في ظل نفس الظروف، يتم إعطاء مساحات أسطح المواد الصلبة الناتجة عن دوران المنحنى حول المحور x أو المحور y بواسطة ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,\\A_{y}&=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.\end{aligned}}}$$

يمكن استنتاج ذلك أيضًا من التكامل متعدد المتغيرات. إذا كان منحنى مستويًا معطى بواسطة${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$ثم يكون سطح الدوران المقابل له عند دورانه حول المحور السيني له إحداثيات ديكارتية معطاة بـ${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$مع${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$ثم تُعطى مساحة السطح بواسطة التكامل السطحي$${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}$$

ينتج عن حساب المشتقات الجزئية ما يلي: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\right\rangle }$$ وحساب ناتج الضرب التقاطعي$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }$$ حيث المتطابقة المثلثية${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$تم استخدام هذا. باستخدام هذا الضرب الاتجاهي، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}$$ حيث استُخدمت نفس المتطابقة المثلثية مرة أخرى. ويكون اشتقاق السطح الناتج عن الدوران حول المحور y مماثلاً.

بالنسبة للمنحنى القطبي${\displaystyle r=f(\theta )}$أين${\displaystyle \alpha \leq \theta \leq \beta }$و${\displaystyle f(\theta )\geq 0}$تكون أحجام الأجسام الصلبة الناتجة عن دوران المنحنى حول المحور السيني أو المحور الصادي هي $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}-\pi r^{3}\sin ^{3}{\theta }\right)d\theta \,,\\V_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin {\theta }\cos ^{2}{\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}+\pi r^{3}\cos ^{3}{\theta }\right)d\theta \,.\end{aligned}}}$$

مساحات أسطح الأجسام الصلبة الناتجة عن دوران المنحنى حول المحور السيني أو المحور الصادي معطاة $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\sin {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\\A_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\cos {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\end{aligned}}}$$

• التناظر الأسطواني
• بوق جبرائيل
• نظرية غولدينوس
• شبه المجال
• سطح الدوران
• أونغولا

• "حجوم الأجسام الدورانية" . CliffsNotes.com . 12 أبريل 2011. مؤرشف من الأصل في 19 مارس 2012.
• آيرز، فرانك ؛ مندلسون، إليوت (2008). حساب التفاضل والتكامل . سلسلة شوم . ماكجرو هيل بروفيشنال. الصفحات 244-248 . ISBN  978-0-07-150861-2.( نسخة إلكترونية ، صفحة 244، على كتب جوجل )
• وايسشتاين، إريك دبليو. "جسم دوراني" . عالم الرياضيات .