نظرية نيوتن حول الأشكال البيضاوية

في الرياضيات، تنص نظرية نيوتن حول الأشكال البيضاوية على أن المساحة التي يقطعها قاطع شكل بيضاوي محدب أملس ليست دالة جبرية للقاطع.

ذكر إسحاق نيوتن ذلك في المبرهنة  28 من القسم  السادس من الكتاب  الأول من كتابه " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية"، واستخدمها لإثبات أن موقع كوكب يتحرك في مدار ليس دالة جبرية للزمن. وقد ثار جدل حول صحة هذه المبرهنة، لأن نيوتن لم يحدد بدقة ما قصده بكلمة "بيضاوي"، فبينما تُعتبر المبرهنة صحيحة في بعض التفسيرات، خاطئة في تفسيرات أخرى. إذا كان المقصود بـ"بيضاوي" مجرد منحنى محدب مغلق متصل ، فهناك أمثلة مضادة، مثل المثلثات أو أحد فصوص منحنى هيغنز y² = x² - x⁴ ^، بينما أشار أرنولد (1989) إلى أنه إذا كان المقصود بـ"بيضاوي" منحنى محدب قابل للتفاضل إلى ما لا نهاية، ^{فإن ادعاء نيوتن صحيح ،} وتكون حجته تتضمن الخطوات الأساسية لبرهان دقيق.    

قام فاسيليف (2002) بتعميم نظرية نيوتن إلى أبعاد أعلى.

الترجمة الإنجليزية لبيان نيوتن الأصلي ( نيوتن 1934 ، المبرهنة 28، القسم 6، الكتاب الأول) هي:

"لا يوجد شكل بيضاوي يمكن إيجاد مساحته، إذا تم قطعه بخطوط مستقيمة حسب الرغبة، بشكل عام عن طريق معادلات ذات عدد من الحدود والأبعاد المحدودة."

بلغة الرياضيات الحديثة، أثبت نيوتن بشكل أساسي النظرية التالية:

لا يوجد منحنى محدب أملس (بمعنى قابل للتفاضل إلى ما لا نهاية) بحيث تكون المساحة المقطوعة بواسطة خط ax  + by = c دالة جبرية لـ a و b و c .    

بمعنى آخر، ينبغي أن تعني كلمة "بيضاوي" في بيان نيوتن "منحنى محدب أملس". إن قابلية الاشتقاق اللانهائية عند جميع النقاط ضرورية: فلكل عدد صحيح موجب n، توجد منحنيات جبرية ملساء عند جميع النقاط باستثناء نقطة واحدة، وقابلة للاشتقاق n مرة عند النقطة المتبقية، بحيث تكون المساحة المقطوعة بواسطة قاطع جبرية.

لاحظ نيوتن أن حجة مماثلة تُظهر أن طول قوس الشكل البيضاوي (المحدب الأملس) بين نقطتين لا يُعطى بواسطة دالة جبرية للنقطتين.

اتخذ نيوتن نقطة الأصل P داخل الشكل البيضاوي، ودرس اللولب المكون من النقاط ( r , θ ) في الإحداثيات القطبية، حيث تمثل المسافة r من P المساحة المقطوعة بواسطة الخطوط الخارجة من P بزوايا 0 و θ . ثم لاحظ أن هذا اللولب لا يمكن أن يكون جبريًا لأنه يحتوي على عدد لا نهائي من التقاطعات مع خط يمر بـ P ، وبالتالي فإن المساحة المقطوعة بواسطة قاطع لا يمكن أن تكون دالة جبرية للقاطع.  

يتطلب هذا البرهان أن يكون الشكل البيضاوي، وبالتالي الحلزون، أملسًا؛ وإلا فقد يكون الحلزون عبارة عن اتحاد لانهائي لأجزاء من منحنيات جبرية مختلفة. وهذا ما يحدث في مختلف "الأمثلة المضادة" لنظرية نيوتن للأشكال البيضاوية غير الملساء.

• أرنولد، السادس (1989)، "برهان طوبولوجي على تجاوز التكاملات الأبيلية في كتاب نيوتن للأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية"، Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya (31): 7– 17، ISSN 0136-0949 ، MR 0993175  
• أرنولد، السادس ؛ فاسيليف، الخامس (1989)، "قراءة كتاب نيوتن "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" بعد 300 عام" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 36 (9): 1148-1154 ، الرقم الدولي الموحد للدوريات 0002-9920 ، MR 1024727  
• نيوتن، آي. (1934)، كاجوري، فلوريان (محرر)، برينسيبيا، المجلد الأول: حركة الأجسام ، ترجمة موت، أندرو، بيركلي: مطبعة جامعة كاليفورنياتم تجديد حقوق النشر عام 1962 وأعيد طبعها، رقم ISBN 978-0-520-00928-8.
• بيسيتش، بيتر (2001)، "صحة مبرهنة نيوتن 28"، هيستوريا ماثيماتيكا ، 28 (3): 215-219 ، doi : 10.1006/hmat.2001.2321 ، ISSN 0315-0860 ، MR 1849799  
• بوركيو، بروس (2001)، "تكامل الأشكال البيضاوية: مبرهنة نيوتن 28 وأمثلتها المضادة"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 55 (5): 479-499 ، doi : 10.1007/s004070000034 ، ISSN 0003-9519 ، MR 1827869 ، S2CID 119853564   
• فاسيليف، ف. أ. (2002)، نظرية بيكارد-ليفشيتز التطبيقية ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد  97، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، doi : 10.1090/surv/097 ، ISBN 978-0-8218-2948-6، MR 1930577