الدالة الجبرية

الدوال متعددة الحدود والدوال الكسرية هي دوال جبرية. الدالة متعددة الحدود${\displaystyle y=p(x)}$يرضي

${\displaystyle yp(x)=0.}$

دالة كسرية${\displaystyle y=p(x)/q(x)}$يرضي

${\displaystyle q(x)y-p(x)=0,}$

مع أقطاب عند أصفار${\displaystyle q}$وبشكل أعم، فإن${\displaystyle n}$الجذر النوني لكثير الحدود أو الدالة الكسرية هو جبري، لأنه يحقق معادلة مثل

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

يمكن اشتقاق العديد من الدوال الجبرية الأساسية من الدوال الكسرية عبر العمليات الجبرية واستخراج الجذور. مع ذلك، تُعدّ الدوال الجبرية أكثر عمومية من الدوال التي يمكن التعبير عنها بالجذور. وبحسب نظرية غالوا، لا يمكن التعبير عن جذور معادلة متعددة الحدود من الدرجة الخامسة أو أعلى بالجذور.

حيثما يوجد فرع عكسي محلي لدالة جبرية، فإنها تكون جبرية أيضاً. وبشكل أعم، إذا${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تحقق علاقة متعددة الحدود${\displaystyle P(x,y)=0}$ثم تبادل الأدوار${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يُعطي هذا تطابقًا جبريًا تتضمن فروعه فروعًا معكوسة محلية. مجموعة الحلول${\displaystyle P(x,y)=0}$هو منحنى جبري؛ بعيدًا عن النقاط الاستثنائية، يمكن تمثيل فروعه المحلية كرسوم بيانية على${\displaystyle x}$-خط.

من منظور جبري، تدخل الأعداد المركبة بشكل طبيعي في دراسة الدوال الجبرية. أولاً، وبحسب النظرية الأساسية للجبر ، فإن الأعداد المركبة حقل مغلق جبريًا . وبالتالي، لكل قيمة من قيم${\displaystyle x}$والتي${\displaystyle p(x,y)}$هي متعددة حدود غير ثابتة من الدرجة${\displaystyle n}$في${\displaystyle y}$المعادلة${\displaystyle p(x,y)=0}$لديه${\displaystyle n}$الجذور المركبة محسوبة بتعددها. القيم الاستثنائية لـ${\displaystyle x}$، مثل أصفار المعامل الرئيسي أو المميز ، هي المسؤولة عن الأقطاب والجذور المتعددة ونقاط التفرع.

علاوة على ذلك، حتى لو كان المرء مهتمًا في نهاية المطاف بالدوال الجبرية الحقيقية، فقد لا توجد وسيلة للتعبير عن الدالة بدلالة الجمع والضرب والقسمة وإيجاد الجذور النونية دون اللجوء إلى الأعداد المركبة (انظر حالة عدم الاختزال ). على سبيل المثال، لننظر إلى الدالة الجبرية المحددة بالمعادلة

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

باستخدام الصيغة التكعيبية ، نحصل على

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

ل${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$الجذر التربيعي حقيقي، وبالتالي فإن الجذر التكعيبي مُعرَّف جيدًا، مما يوفر الجذر الحقيقي الوحيد. من ناحية أخرى، بالنسبة لـ${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$الجذر التربيعي ليس عددًا حقيقيًا، ولذا يجب اختيار جذر تربيعي غير حقيقي. وبالتالي، يجب اختيار الجذر التكعيبي من بين ثلاثة أعداد غير حقيقية. إذا تم تطبيق نفس الاختيارات على حدي الصيغة، فإن الخيارات الثلاثة للجذر التكعيبي تُعطي الفروع الثلاثة الموضحة في الصورة المرفقة.

قد يثبت أنه لا توجد طريقة للتعبير عن هذه الدالة بدلالة الجذور النونية باستخدام الأعداد الحقيقية فقط، على الرغم من أن الدالة الناتجة ذات قيم حقيقية على مجال الرسم البياني الموضح.

على مستوى نظري أكثر أهمية، يتيح استخدام الأعداد المركبة توظيف تقنيات التحليل المركب القوية لمناقشة الدوال الجبرية. وعلى وجه الخصوص، يمكن استخدام مبدأ الحجة لإثبات أن أي دالة جبرية هي في الواقع دالة تحليلية ، على الأقل بالمعنى متعدد القيم.

بصورة رسمية، ليكن p ( x , y ) متعددة حدود عقدية في المتغيرين العقديين x و y . لنفترض أن x₀ ∈ C بحيث يكون لمتعددة الحدود p ( x₀ _, y ) لـ y عدد n _من الأصفار المختلفة. سنبين أن الدالة الجبرية تحليلية في جوار x₀ _. اختر نظامًا من n قرصًا غير متداخل Δᵢ _يحتوي على كل من هذه الأصفار. عندئذٍ ، وفقًا لمبدأ الحجة ،

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.}$

وبفضل خاصية الاستمرارية، ينطبق هذا أيضًا على جميع قيم x في جوار x _0. وعلى وجه الخصوص، فإن p ( x , y ) لها جذر واحد فقط في Δ _i ، معطى بواسطة نظرية الباقي :

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy}$

وهي دالة تحليلية.

عند قيمة حرجة، لا يلزم أن تكون الفروع المحلية دوالًا أحادية القيمة لـ${\displaystyle x}$بدلاً من ذلك، بعد إدخال معلمة محلية${\displaystyle t}$مع${\displaystyle x-x_{0}=t^{e}}$، ويمكن تمثيل الفروع بواسطة متسلسلات بويزو المتقاربة ^{[ 1 ]}$${\displaystyle y=\sum _{j=j_{0}}^{\infty }a_{j}t^{j}=\sum _{j=j_{0}}^{\infty }a_{j}(x-x_{0})^{j/e}.}$$ العدد الصحيح${\displaystyle e}$يصف تفرع الفرع. لا تحتوي الدوال الجبرية على نقاط شاذة أخرى غير الأقطاب ونقاط التفرع الجبرية.

لاحظ أن البرهان السابق على التحليلية قد استنتج تعبيرًا لنظام من n عنصر دالة مختلفة f _i ( x )، بشرط ألا تكون x قيمة حرجة للإسقاط على${\displaystyle x}$-سطر. القيمة الحرجة هي قيمة${\displaystyle x}$والتي يكون عدد الأصفار المختلفة لها${\displaystyle p(x,y)}$أصغر من درجة${\displaystyle p}$في${\displaystyle y}$يحدث هذا فقط عندما يكون المعامل الرئيسي في${\displaystyle y}$أو أن المميز يتلاشى. وبالتالي، لا يوجد سوى عدد محدود من هذه القيم c ₁ ، ...، c _m .

يمكن استخدام تحليل دقيق لخصائص عناصر الدالة fᵢ بالقرب من القيم الحرجة لإثبات أن غطاء المونودرومي متفرع فوق القيم الحرجة (وربما النقطة عند اللانهاية ). وبالتالي، فإن الامتداد _{الهولومورفي} للدالة fᵢ يحتوي في أسوأ الأحوال _على أقطاب جبرية وتفرعات جبرية عادية فوق القيم الحرجة.

لاحظ أنه بعيدًا عن القيم الحرجة، لدينا

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))}$

بما أن fᵢ _هي ، بحكم التعريف، أصفار مميزة للدالة p ، فإن الاستمرار التحليلي للفروع المحلية حول الحلقات، مع تجنب القيم الحرجة، يُبدّل هذه الفروع؛ وتشكل هذه التبديلات زمرة المونودرومي للدالة الجبرية. ( يُعدّ تأثير المونودرومي على فضاء التغطية الشامل مفهومًا مشابهًا ولكنه مختلف في نظرية أسطح ريمان ).

جبريًا، إذا${\displaystyle L}$هو حقل التقسيم لـ${\displaystyle p(x,y)}$زيادة${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$أو بعبارة أخرى، إغلاق غالوا للامتداد الناتج عن فرع واحد، ثم مجموعة غالوا${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {C} (x))}$يقوم بذلك عن طريق تبديل الجذور${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$في إطار التناظر بين الأغطية المتفرعة المحدودة لمجال ريمان والامتدادات المحدودة لـ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$تُعرَّف مجموعة غالوا هذه بأنها مجموعة المونودرومي للغطاء. وبالتالي، يُحقق فعل المونودرومي مجموعة غالوا لحقل التقسيم كمجموعة تبديل على الفروع.