شكل نيوتن الكسري

الكسر النيوتني هو مجموعة حدودية في المستوى المركب تتميز بطريقة نيوتن المطبقة على متعدد حدود ثابت p ( z ) ∈${\displaystyle \mathbb {C} }$[ z ] أو الدالة المتسامية . وهي مجموعة جوليا للدالة الميرومورفية z ↦ z − p ( z ) / p′ ( z ) التي تُعطى بطريقة نيوتن. عندما لا توجد دورات جاذبة (من رتبة أكبر من 1)، فإنها تقسم المستوى المركب إلى مناطق Gk _، كل منها مرتبط بجذر ζk لكثير الحدود، حيث k = 1، ...، deg( p ) . وبهذه الطريقة _، يشبه كسر نيوتن مجموعة ماندلبروت ، ومثل الكسوريات الأخرى، يُظهر مظهرًا معقدًا ناتجًا عن وصف بسيط. وهو ذو صلة بالتحليل العددي لأنه يُظهر أن طريقة نيوتن (خارج منطقة التقارب التربيعي ) قد تكون حساسة للغاية لاختيار نقطة البداية.

ترتبط جميع نقاط المستوى المركب تقريبًا بأحد جذور الدرجة ( p ) لكثير حدود معين بالطريقة التالية: تُستخدم النقطة كقيمة ابتدائية z₀ لتكرار نيوتن zₙ₊₁ := zₙ − _p ( _zₙ ) / p' ( zₙ _{) ،} مما ينتج  عنه سلسلة من النقاط z₁ _, z₂ , … _{, zₙ .} إذا تقاربت هذه السلسلة إلى الجذر ζₖ _، فإن z₀ تكون عنصرًا من المنطقة Gₖ _. مع ذلك ، لكل كثير حدود من الدرجة 2 على الأقل ، _{توجد نقاط لا يتقارب عندها تكرار نيوتن إلى أي جذر: ومن الأمثلة على ذلك} حدود مناطق جذب الجذور المختلفة. بل إن هناك كثيرات حدود تفشل فيها المجموعات المفتوحة من نقاط البداية في التقارب إلى أي جذر: مثال بسيط هو z ³ − 2 z + 2 ، حيث تنجذب بعض النقاط بواسطة الدورة 0، 1، 0، 1 ... بدلاً من الجذر.

تُعرف المجموعة المفتوحة التي تتقارب فيها التكرارات نحو جذر أو دورة معينة (أي ليست نقطة ثابتة) بمجموعة فاتو للتكرار. والمجموعة المكملة لاتحاد كل هذه المجموعات هي مجموعة جوليا. تشترك مجموعات فاتو في حدود مشتركة، وهي مجموعة جوليا. لذا، فإن كل نقطة في مجموعة جوليا هي نقطة تراكم لكل مجموعة من مجموعات فاتو. هذه الخاصية هي التي تُسبب البنية الكسورية لمجموعة جوليا (عندما تكون درجة متعددة الحدود أكبر من 2).

_{لرسم صور} الفركتال، يمكن أولاً اختيار عدد محدد d من النقاط المركبة ( ζ1 _، ...، ζd ₎ وحساب معاملات ( p1 _، ...، pd ) متعددة الحدود

${\displaystyle p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})}$.

ثم بالنسبة للشبكة المستطيلة

${\displaystyle z_{mn}=z_{00}+m\,\Delta x+in\,\Delta y;\quad m=0,\ldots ,M-1;\quad n=0,\ldots ,N-1}$

من النقاط في${\displaystyle \mathbb {C} }$يتم إيجاد فهرس k ( m , n ) للجذر المقابل ζk _{( m , n )} ، ويُستخدم هذا الفهرس لملء _شبكة نقطية M × N بتخصيص لون fk ₍ m , _{n )} لكل نقطة ( _{m ,} n ) . بالإضافة إلى _{ذلك ، أو كبديل ،} قد تعتمد الألوان على المسافة D ( m , n ) ، والتي تُعرَّف بأنها أول قيمة D بحيث يكون | zD ₋ ζk _{( m , n )} | < ε لبعض القيم الصغيرة ε > 0 التي تم تحديدها مسبقًا .

تعميم لطريقة نيوتن التكرارية هو

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}-a{\frac {p(z_{n})}{p'(z_{n})}}}$

حيث a أي عدد مركب . ^{[ 1 ]} يُمثل الاختيار الخاص a = 1 كسورية نيوتن. تكون النقاط الثابتة لهذه الخريطة مستقرة عندما تقع a داخل قرص نصف قطره 1 ومركزه 1. عندما تكون a خارج هذا القرص، تكون النقاط الثابتة غير مستقرة محليًا، ومع ذلك، لا تزال الخريطة تُظهر بنية كسورية بمعنى مجموعة جوليا . إذا كانت p متعددة حدود من الدرجة d ، فإن المتتالية z _n تكون محدودة بشرط أن تكون a داخل قرص نصف قطره d ومركزه d .

وبشكل عام، فإن كسور نيوتن هي حالة خاصة من مجموعة جوليا .

• 
  شكل نيوتن الكسري لثلاثة جذور من الدرجة الثالثة ^{p(z) = z³} - 1 ، مُلوّن حسب عدد التكرارات المطلوبة
• 
  شكل نيوتن الكسري لثلاثة جذور من الدرجة الثالثة ^{p(z) = z³} - 1 ، ملون حسب الجذر الذي تم الوصول إليه
• 
  شكل نيوتن الكسري لـ p ( z ) = z ³ − 2 z + 2 . النقاط الموجودة في الأحواض الحمراء لا تصل إلى جذر.
• 
  شكل نيوتن الكسري لكثير الحدود من الدرجة السابعة، ملون حسب الجذر الذي تم الوصول إليه ومظلل حسب معدل التقارب
• 
  ^شكل نيوتن الكسري لـ p ( z ) = z⁸ + 15z⁴ - ¹⁶
• 
  كسورية نيوتن لـ p ( z ) = z⁵ ^- 3iz³ - (5 + 2i ^)z² + 3z ⁺ 1 ، ملونة حسب الجذر الذي تم الوصول إليه، ومظللة حسب عدد التكرارات المطلوبة
• 
  شكل نيوتن الكسري لـ p ( z ) = sin z ، ملون حسب الجذر الذي تم الوصول إليه، ومظلل حسب عدد التكرارات المطلوبة
• 
  شكل كسري آخر لنيوتن لـ p ( z ) = sin z
• 
  كسورية نيوتن المعممة لـ p ( z ) = z³ - 1 ^، a = -1/2 . تم اختيار اللون بناءً على الوسيط بعد 40 تكرارًا .
• 
  كسرية نيوتن المعممة لـ p ( z ) = z² - 1 ^، a = 1 + i
• 
  كسرية نيوتن المعممة لـ p ( z ) = z³ - 1 ^، a = 2
• 
  كسرية نيوتن المعممة لـ p ( z ) = z⁴ ^{+ 3i -} 1 ، a = 2.1
• 
  p ( z ) = z⁶ + ^z³ - ¹
• 
  p ( z ) = sin (z - 1)
• 
  p ( z ) = sin (z - 1)
• 
  p ( z ) = cosh (z - 1)
• 
  p ( z ) = cosh (z - 1)
• 
  p ( z ) = z² ^- 2z + 2

المتسلسلة  : p ( z ) = zⁿ ^- 1

• 
  p ( z ) = z³ - 1 ^، a = 1
• 
  p ( z ) = z³ - 1 ^، a = 2
• 
  p ( z ) = z⁴ - 1 ^، a = 1
• 
  p ( z ) = z⁴ - 1 ^، a = 2
• 
  p ( z ) = z⁵ - 1 ^، a = 1
• 
  p ( z ) = z⁵ - 1 ^، a = 2
• 
  p ( z ) = z - 1 ^، a = 1
• 
  p ( z ) = z ⁷ - 1 ، a = 1
• 
  p ( z ) = z - ⁸ - 1 ، a = 1
• 
  p ( z ) = z ¹⁰ - 1 ، a = 1

أشكال كسورية أخرى حيث يتم ضرب الدوال الكامنة والدوال المثلثية. p ( z ) = zⁿ ^* Sin(z) - 1

• 
  p ( z ) = z² ^* Sin(Z) - 1 ، a = 1
• 
  ص ( ض ) = ض ² *Sin(Z) - 1 ، أ=1 (تكبير/تصغير)
• 
  p ( z ) = z³ ^* Sin(Z) - 1 ، a = 1
• 
  p ( z ) = z ⁴ * Sin(Z) - 1 ، a = 1
• 
  ع ( ض ) = ض ⁴ *Sin(Z) - 1 , أ=1 (تكبير/تصغير)
• 
  p ( z ) = z ⁵ * Sin(Z) - 1 ، a = 1
• 
  p ( z ) = z ⁶ * Sin(Z) - 1 ، a = 1
• 
  ع ( ض ) = ض ⁶ *Sin(Z) - 1 , أ=1 (تكبير)

من أجل تطبيق كسرية نيوتن، من الضروري وجود دالة ابتدائية بالإضافة إلى دالة مشتقتها:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=z^{3}-1\\f'(z)&=3z^{2}\end{aligned}}}$

الجذور الثلاثة للدالة هي

${\displaystyle z=1,\ -{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i,\ -{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$

يمكن ترجمة الدوال المحددة أعلاه إلى لغة شبه رمزية كما يلي:

// دالة z^3-1 float2 ( float2 z ) { return cpow ( z , 3 ) - float2 ( 1 , 0 ); // cpow هي دالة أسية للأعداد المركبة }// 3*z^2 float2 Derivative ( float2 z ) { return 3 * cmul ( z , z ); // cmul هي دالة تتعامل مع ضرب الأعداد المركبة }

الأمر الآن مجرد مسألة تطبيق طريقة نيوتن باستخدام الدوال المعطاة.

float2 roots [ 3 ] = // جذور (حلول) متعددة الحدود { float2 ( 1 , 0 ), float2 ( -0.5 , sqrt ( 3 ) / 2 ), float2 ( -0.5 , -sqrt ( 3 ) / 2 ) }; color colors [ 3 ] = // تعيين لون لكل جذر { red , green , blue }لكل بكسل ( x ، y ) على الهدف ، قم بما يلي : { zx = إحداثي x المُقاس للبكسل ( مُقاس ليقع ضمن مقياس ماندلبروت X ( -2.5 ، 1 ) ) zy = إحداثي y المُقاس للبكسل ( مُقاس ليقع ضمن مقياس ماندلبروت Y ( -2 ، 1 ) )​​​​float2 z = float2 ( zx , zy ); // تم تعيين z في الأصل إلى إحداثيات البكسلfor ( int iteration = 0 ; iteration < maxIteration ; iteration ++ ;) { z -= cdiv ( Function ( z ), Derivative ( z )); // cdiv هي دالة لقسمة الأعداد المركبةfloat tolerance = 0.000001 ; for ( int i = 0 ; i < roots.Length ; i ++ ) { float2 difference = z - roots [ i ] ; // إذا كانت القيمة الحالية قريبة بما يكفي من الجذر ، قم بتلوين البكسل. if (abs(difference.x) < tolerance && abs ( difference.y ) < tolerance ) { return colors [ i ] ; // أعد اللون المقابل للجذر } } } return black ; // إذا لم يتم العثور على حل }

• مجموعة جوليا
• مجموعة ماندلبروت

• جيه إتش هوبارد، دي شلايشر، إس ساذرلاند : كيفية إيجاد جميع جذور كثيرات الحدود المركبة باستخدام طريقة نيوتن ، مجلة Inventiones Mathematicae، المجلد 146 (2001) - مع مناقشة البنية العامة لكسور نيوتن
• حول عدد التكرارات في طريقة نيوتن بقلم ديرك شلايشر، 21 يوليو 2000
• طريقة نيوتن كنظام ديناميكي، بقلم يوهانس روكيرت
• كسورية نيوتن (التي لم يكن نيوتن يعرف عنها شيئًا) من تصميم 3Blue1Brown ، بالإضافة إلى عرض توضيحي تفاعلي للكسورية على موقعه الإلكتروني ، وشفرة المصدر للعرض التوضيحي.