الوظيفة المتعالية

في الرياضيات ، الدالة المتسامية هي دالة تحليلية لا تخضع لمعادلة متعددة الحدود ، معاملاتُها دوالٌ للمتغير المستقل، ويمكن كتابتها باستخدام العمليات الأساسية فقط: الجمع والطرح والضرب والقسمة (دون الحاجة إلى حساب النهايات). وهذا يختلف عن الدالة الجبرية . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

أكثر الدوال المتسامية شيوعاً هي الدوال الأسية والمثلثية والزائدية ، ومعكوساتها ، مثل اللوغاريتم ومعكوس الدوال المثلثية . جميع الدوال الخاصة ، مثل دالة غاما ، ودالة الخطأ ، ودالة بيسل ، ودالة زيتا لريمان، هي دوال متسامية.

المعادلات التي تتضمن دوال متسامية هي معادلات متسامية .

بصورة رسمية، دالة تحليلية${\displaystyle f}$تكون الدالة ذات المتغير الحقيقي أو المركب الواحد متسامية إذا كانت مستقلة جبريًا عن ذلك المتغير. ^{[ 3 ]} وهذا يعني أن الدالة لا تحقق أي معادلة متعددة الحدود. على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle f}$مقدم من

${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$للجميع${\displaystyle x\neq -{\frac {d}{c}}}$

ليست متسامية، بل جبرية، لأنها تحقق معادلة متعددة الحدود

${\displaystyle (ax+b)-(cx+d)f(x)=0}$.

وبالمثل، فإن الوظيفة${\displaystyle f}$الذي يحقق المعادلة

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)=x}$للجميع${\displaystyle x}$

ليس متسامياً، بل جبري، على الرغم من أنه لا يمكن كتابته كتعبير محدود يتضمن العمليات الحسابية الأساسية.

يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل الدوال التي تحتوي على عدة متغيرات .

تم تدوين الدالتين المتساميتين، الجيب وجيب التمام، من القياسات الفيزيائية في العصور القديمة، كما يتضح في اليونان ( هيبارخوس ) والهند ( جيا وكوتي -جيا ). وفي وصفه لجدول الأوتار لبطليموس ، وهو ما يعادل جدول الجيوب، كتب أولاف بيدرسن :

إن المفهوم الرياضي للاستمرارية كمفهوم صريح غير معروف لبطليموس. ويبدو أنه، في الواقع، يعامل هذه الدوال على أنها مستمرة من خلال افتراضه الضمني بأنه من الممكن تحديد قيمة للمتغير التابع تقابل أي قيمة للمتغير المستقل من خلال عملية الاستيفاء الخطي البسيطة . ^{[ 4 ]}

ظهر فهم ثوري لهذه الدوال الدائرية في القرن الثامن عشر، وشرحها ليونارد أويلر عام 1748 في كتابه " مقدمة في تحليل اللانهاية" . عُرفت هذه الدوال المتسامية القديمة بالدوال المتصلة من خلال تربيع القطع الزائد المستطيل xy = 1 على يد غريغوار دي سان فنسان عام 1647، بعد ألفي عام من تأليف أرخميدس لكتابه "تربيع القطع المكافئ" .

تبين أن المساحة تحت القطع الزائد تتمتع بخاصية التناسب، أي مساحة ثابتة لنسبة ثابتة بين حدودها. كانت دالة اللوغاريتم الزائدي الموصوفة بهذه الطريقة محدودة الفائدة حتى عام ١٧٤٨، عندما ربطها ليونارد أويلر بدوال يكون فيها ثابت مرفوعًا إلى أس متغير، مثل الدالة الأسية حيث الأساس الثابت هو e . وبتقديم هذه الدوال المتسامية، وملاحظة خاصية التقابل التي تستلزم وجود دالة عكسية ، تم توفير بعض التسهيلات لإجراء عمليات جبرية على اللوغاريتم الطبيعي، حتى وإن لم تكن دالة جبرية.

تُكتب الدالة الأسية${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$عرّف أويلر ذلك بالمتسلسلة اللانهائية${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$، حيث يرمز k ! إلى مضروب k .

تُعطي الحدود الزوجية والفردية لهذه المتسلسلة مجاميع تُشير إلى cosh( x ) و sinh( x ) ، بحيث${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x.}$يمكن تحويل هذه الدوال الزائدية المتسامية إلى دوال دائرية (الجيب وجيب التمام) بإدخال (−1) ^k في المتسلسلة، مما ينتج عنه متسلسلات متناوبة . بعد أويلر، ينظر علماء الرياضيات إلى الجيب وجيب التمام بهذه الطريقة لربط التسامي بدوال اللوغاريتم والأس، غالبًا من خلال صيغة أويلر في حساب الأعداد المركبة .

الدوال التالية متسامية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=e^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=\ln {x}\\[2pt]f_{4}(x)&=\cosh {x}\\f_{5}(x)&=\sinh {x}\\f_{6}(x)&=\tanh {x}\\f_{7}(x)&=\sinh ^{-1}{x}\\[2pt]f_{8}(x)&=\tanh ^{-1}{x}\\[2pt]f_{9}(x)&=\cos {x}\\f_{10}(x)&=\sin {x}\\f_{11}(x)&=\tan {x}\\f_{12}(x)&=\sin \begin{aligned}}} \f_{13}(x) = \cos \f_{14}(x) = \tan \f_{15}(x) = x! \f_{16}(x) = \frac \frac \text{1}{x! \frac \text{17}(x) = x^x$$

بالنسبة للوظيفة الأولى${\displaystyle f_{1}(x)}$، الأس${\displaystyle \pi }$يمكن استبدالها بأي عدد غير نسبي آخر، وستظل الدالة متسامية. بالنسبة للدالتين الثانية والثالثة${\displaystyle f_{2}(x)}$و${\displaystyle f_{3}(x)}$القاعدة${\displaystyle e}$يمكن استبدالها بأي عدد حقيقي موجب آخر أساسه لا يساوي 1، وستظل الدوال متسامية. تشير الدوال من 4 إلى 8 إلى الدوال المثلثية الزائدية، بينما تشير الدوال من 9 إلى 14 إلى الدوال المثلثية الدائرية. الدالة الخامسة عشرة${\displaystyle f_{15}(x)}$يشير إلى الامتداد التحليلي لدالة المضروب عبر دالة غاما ، و${\displaystyle f_{16}(x)}$وهي مقلوبها، وهي دالة كاملة . وأخيرًا، في الدالة الأخيرة${\displaystyle f_{17}(x)}$، الأس${\displaystyle x}$يمكن استبدالها بـ${\displaystyle kx}$لأي عدد حقيقي غير صفري${\displaystyle k}$وستبقى الوظيفة متعالية.

أكثر الدوال المتسامية شيوعًا هي اللوغاريتم ، والدالة الأسية (بأي أساس غير تافه)، والدوال المثلثية ، والدوال الزائدية ، ومعكوساتها جميعًا . أما الدوال الخاصة بالتحليل ، مثل دالة غاما ، والدالة الإهليلجية ، ودالة زيتا ، فهي أقل شيوعًا ، وجميعها دوال متسامية. وتُعتبر الدوال الهندسية الفائقة المعممة ودوال بيسل دوالًا متسامية بشكل عام، ولكنها جبرية لبعض قيم المعاملات الخاصة.

لا يمكن تعريف الدوال المتسامية باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة فقط، و${\displaystyle n}$الجذور النونية (حيث${\displaystyle n}$(أي عدد صحيح)، دون استخدام "عملية تقييد".

الدالة التي ليست متسامية هي دالة جبرية . من الأمثلة البسيطة على الدوال الجبرية الدوال الكسرية ودالة الجذر التربيعي ، ولكن بشكل عام، لا يمكن تعريف الدوال الجبرية كصيغ منتهية للدوال الأولية، كما هو موضح في المثال أعلاه.${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)=x}$(انظر نظرية أبيل-روفيني وجذر برينغ ).

التكامل غير المحدد للعديد من الدوال الجبرية هو تكامل متسامٍ. على سبيل المثال، التكامل${\displaystyle \int _{t=1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$اتضح أنها تساوي دالة اللوغاريتم${\displaystyle \ln(x)}$وبالمثل، فإن نهاية أو مجموع لانهائي للعديد من متتابعات الدوال الجبرية هو دالة متسامية. على سبيل المثال،${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$يتقارب مع الدالة الأسية${\displaystyle e^{x}}$والمجموع اللانهائي${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$ويتضح أنها تساوي دالة جيب التمام الزائدية${\displaystyle \cosh x}$في الواقع، من المستحيل تعريف أي دالة متسامية من حيث الدوال الجبرية دون استخدام بعض "إجراءات التحديد" هذه (التكاملات، والنهايات المتسلسلة، والمجاميع اللانهائية ليست سوى أمثلة قليلة).

يدرس الجبر التفاضلي كيف أن التكامل غالباً ما ينتج عنه دوال مستقلة جبرياً عن فئة معينة، كما هو الحال عند أخذ كثيرات الحدود التي تحتوي على دوال مثلثية كمتغيرات.

معظم الدوال المتسامية المألوفة، بما في ذلك الدوال الخاصة في الفيزياء الرياضية، هي حلول لمعادلات تفاضلية جبرية . أما تلك التي ليست كذلك، مثل دالتي غاما وزيتا ، فتُسمى دوالاً متسامية فائقة أو دوالاً فوق متسامية . ^{[ 5 ]}

إذا كانت f دالة جبرية و${\displaystyle \alpha }$إذا كان α عددًا جبريًا، فإن f ( α ) هو أيضًا عدد جبري. والعكس غير صحيح: توجد دوال متسامية كاملة f بحيث يكون f ( α ) عددًا جبريًا لأي عدد جبري α . ^{[ 6 ]} بالنسبة لدالة متسامية معينة، تُسمى مجموعة الأعداد الجبرية التي تعطي نتائج جبرية بالمجموعة الاستثنائية لتلك الدالة. ^{[ 7 ] [ 8 ]} وتُعرَّف رسميًا كما يلي:

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\}.}$$

في كثير من الحالات، تكون المجموعة الاستثنائية صغيرة نسبياً. على سبيل المثال،${\displaystyle {\mathcal {E}}(\exp )=\{0\};}$أثبت ليندمان ذلك عام ١٨٨٢ (انظر نظرية ليندمان-فايرشتراس ). على وجه الخصوص ، فإن exp(١) = e عدد متسامٍ. كذلك، بما أن exp( iπ ) = −١ عدد جبري، نعلم أن iπ لا يمكن أن يكون عددًا جبريًا. وبما أن i عدد جبري، فهذا يعني أن π عدد متسامٍ .

بشكل عام، يُعدّ إيجاد المجموعة الاستثنائية لدالة ما مسألةً صعبة، ولكن إذا أمكن حسابها، فغالبًا ما يُفضي ذلك إلى نتائج في نظرية الأعداد المتسامية . فيما يلي بعض المجموعات الاستثنائية المعروفة الأخرى:

• ثابت كلاين j$${\displaystyle {\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in {\mathcal {H}}\,:\,[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]=2\right\},}$$أين​${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يمثل النصف العلوي من المستوى ، و${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]}$⁠ هي درجة حقل الأعداد ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ).}$يعود الفضل في هذه النتيجة إلى ثيودور شنايدر . ^{[ 9 ]}
• الدالة الأسية في الأساس 2:$${\displaystyle {\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbb {Q} ,}$$تُعد هذه النتيجة نتيجةً منطقيةً لنظرية جيلفوند-شنايدر ، التي تنص على أنه إذا${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$هو جبري، و${\displaystyle \beta }$إذا كان جبريًا وغير نسبي${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$^{هي دالة متسامية. وبالتالي ،} يمكن استبدال الدالة 2x بالدالة cx لأي قيمة جبرية لـ ^c لا تساوي 0 أو 1. في الواقع، لدينا:$${\displaystyle {\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbb {Q} \setminus \{0\}.}$$
• من نتائج حدسية شانويل في نظرية الأعداد المتسامية أن${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset .}$
• الدالة ذات المجموعة الاستثنائية الفارغة التي لا تتطلب افتراض حدسية شانويل هي${\displaystyle f(x)=\exp(1+\pi x).}$

على الرغم من أن حساب المجموعة الاستثنائية لدالة معينة ليس بالأمر السهل، فمن المعروف أنه لأي مجموعة جزئية من الأعداد الجبرية، ولتكن A ، توجد دالة متسامية تكون مجموعتها الاستثنائية هي A. ^{[ 10 ]} لا يشترط أن تكون المجموعة الجزئية مجموعةً كاملة، أي أن A يمكن أن تكون مجموعة الأعداد الجبرية. وهذا يعني مباشرةً وجود دوال متسامية تُنتج أعدادًا متسامية فقط عند إعطائها أعدادًا متسامية. كما أثبت أليكس ويلكي وجود دوال متسامية لا توجد لها براهين منطقية من الدرجة الأولى حول تساميها، وذلك بتقديمه دالة تحليلية نموذجية . ^{[ 11 ]}

في التحليل البُعدي ، تُعدّ الدوال المتسامية ذات أهمية خاصة لأنها لا تُصبح منطقية إلا عندما يكون وسيطها بلا بُعد (ربما بعد اختزال جبري). ولهذا السبب، يُمكن أن تكون الدوال المتسامية مصدرًا سهلًا لاكتشاف الأخطاء البُعدية. على سبيل المثال، يُعدّ التعبير log(5 متر) تعبيرًا غير منطقي، على عكس log(5 متر / 3 متر) أو log(3) متر . قد يحاول المرء تطبيق متطابقة لوغاريتمية للحصول على log(5) + log(متر) ، مما يُبرز المشكلة: تطبيق عملية غير جبرية على بُعد ما يُنتج نتائج لا معنى لها.

• وظيفة معقدة
• الدالة (الرياضيات)
• الدالة المعممة
• قائمة الوظائف الخاصة والأسماء المنسوبة
• قائمة أنواع الدوال
• الدالة الكسرية
• وظائف خاصة

• تعريف "الدالة المتسامية" في موسوعة الرياضيات