مجموعة جوليا

في الديناميكيات المعقدة ، تُعدّ مجموعتا جوليا وفاتو مجموعتين متكاملتين (مجموعة جوليا "الدانتيل" ومجموعة فاتو "الغبار") مُعرّفتين من دالة . بصورة غير رسمية، تتكون مجموعة فاتو للدالة من قيم تتميز بأن جميع القيم المجاورة لها تتصرف بشكل مماثل عند تكرار الدالة، بينما تتكون مجموعة جوليا من قيم بحيث يمكن لاضطراب صغير جدًا أن يُحدث تغييرات جذرية في تسلسل قيم الدالة المُكررة. وبالتالي، يكون سلوك الدالة على مجموعة فاتو "منتظمًا"، بينما يكون سلوكها على مجموعة جوليا " فوضويًا ".

يُشار عادةً إلى مجموعة جوليا للدالة f بالرمز التالي:${\displaystyle \operatorname {J} (f),}$ويُرمز إلى مجموعة فاتو بـ${\displaystyle \operatorname {F} (f).}$^{[ أ ]} سميت هذه المجموعات على اسم علماء الرياضيات الفرنسيينجاستون جوليا ^{[ 1 ]} وبييرفاتو ^{[ 2 ]} الذين بدأ عملهم دراسةالديناميكيات المعقدةخلال أوائل القرن العشرين.

يترك${\displaystyle f(z)}$لتكن دالة ميرومورفية غير ثابتة من كرة ريمان إلى نفسها. مثل هذه الدوال${\displaystyle f(z)}$وهي تحديداً الدوال الكسرية المركبة غير الثابتة ، أي${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$أين${\displaystyle p(z)}$و${\displaystyle q(z)}$هي كثيرات حدود مركبة . لنفترض أن p و q ليس لهما جذور مشتركة، وأن درجة أحدهما على الأقل أكبر من 1. عندئذٍ يوجد عدد محدود من المجموعات المفتوحة${\displaystyle F_{1},...,F_{r}}$التي تبقى ثابتة بواسطة${\displaystyle f(z)}$وهي من النوع الذي:

1. اتحاد المجموعات​${\displaystyle F_{i}}$كثيف في المستوى و
2. ${\displaystyle f(z)}$يتصرف بطريقة منتظمة ومتساوية على كل مجموعة من المجموعات${\displaystyle F_{i}}$.

يعني البيان الأخير أن نهايات تسلسلات التكرارات الناتجة عن نقاط${\displaystyle F_{i}}$إما أن تكون مجموعتين متطابقتين تمامًا، فتُشكّلان دورة منتهية، أو أنهما دورات منتهية من مجموعات دائرية أو حلقية الشكل تقع بشكل متمركز. في الحالة الأولى تكون الدورة جاذبة ، وفي الحالة الثانية تكون محايدة .

هذه المجموعات${\displaystyle F_{i}}$هي مناطق فاتو${\displaystyle f(z)}$واتحادهما هو مجموعة فاتو${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$ل${\displaystyle f(z)}$تحتوي كل منطقة من مناطق فاتو على نقطة حرجة واحدة على الأقل من${\displaystyle f(z)}$أي نقطة (محدودة) z تحقق${\displaystyle f'(z)=0}$، أو${\displaystyle f(z)=\infty }$إذا كانت درجة البسط${\displaystyle p(z)}$يكون على الأقل ضعف درجة المقام${\displaystyle q(z)}$أو إذا${\displaystyle f(z)=1/g(z)+c}$لبعض c ودالة كسرية${\displaystyle g(z)}$استيفاء هذا الشرط.

مكمل لـ${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$مجموعة جوليا${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$ل${\displaystyle f(z)}$إذا كانت جميع النقاط الحرجة ما قبل دورية، أي أنها ليست دورية ولكنها تقع في النهاية على دورة دورية، فإن${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$كل الكرة. وإلا،${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$هي مجموعة غير كثيفة في أي مكان (أي أنها لا تحتوي على نقاط داخلية) ومجموعة غير قابلة للعد (لها نفس عدد عناصر الأعداد الحقيقية). مثل${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$،${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$يبقى ثابتًا بواسطة${\displaystyle f(z)}$وفي هذه المجموعة، يكون التكرار تنافرياً، مما يعني أن${\displaystyle |f(z)-f(w)|>|zw|}$لكل w في جوار z (داخل${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$وهذا يعني أن${\displaystyle f(z)}$يتصرف بشكل فوضوي على مجموعة جوليا. على الرغم من وجود نقاط في مجموعة جوليا يكون تسلسل تكراراتها محدودًا، إلا أن عدد هذه النقاط محدود جدًا (وتشكل جزءًا ضئيلًا جدًا من مجموعة جوليا). تتصرف التسلسلات الناتجة عن النقاط خارج هذه المجموعة بشكل فوضوي، وهي ظاهرة تُعرف بالفوضى الحتمية .

أُجريت أبحاثٌ مستفيضةٌ حول مجموعتي فاتو وجوليا للدوال الكسرية المتكررة ، والمعروفة باسم الدوال الكسرية. على سبيل المثال، من المعروف أن مجموعة فاتو للدالة الكسرية تحتوي إما على صفر أو واحد أو اثنين أو عدد لا نهائي من المكونات . ^{[ 3 ]} ويمكن تصنيف كل مكون من مكونات مجموعة فاتو للدالة الكسرية إلى واحدة من أربع فئات مختلفة . ^{[ 4 ]}

• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$هي أصغر مجموعة مغلقة تحتوي على ثلاث نقاط على الأقل وتكون ثابتة تمامًا تحت تأثير الدالة f .
• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$هو إغلاق مجموعة النقاط الدورية المتنافرة .
• بالنسبة لجميع النقاط باستثناء نقطتين على الأكثر${\displaystyle \;z\in X\;,}$مجموعة جوليا هي مجموعة نقاط النهاية للمدار العكسي الكامل${\displaystyle \bigcup _{n}f^{-n}(z).}$(هذا يشير إلى خوارزمية بسيطة لرسم مجموعات جوليا، انظر أدناه.)
• إذا كانت f دالة كاملة ، فإن${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$هي حدود مجموعة النقاط التي تتقارب إلى اللانهاية تحت التكرار.
• إذا كانت f دالة كثيرة الحدود، فإن${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$هي حدود مجموعة جوليا المملوءة ؛ أي تلك النقاط التي تظل مداراتها محدودة تحت تكرارات f .

مجموعة جوليا ومجموعة فاتو للدالة f كلاهما ثابتان تمامًا تحت تكرارات الدالة الهولومورفية f : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {J} (f))=f(\operatorname {J} (f))=\operatorname {J} (f),}$

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {F} (f))=f(\operatorname {F} (f))=\operatorname {F} (f).}$

ل${\displaystyle f(z)=z^{2}}$مجموعة جوليا هي دائرة الوحدة، ويتم التكرار عليها عن طريق مضاعفة الزوايا (وهي عملية فوضوية على النقاط التي لا يكون وسيطها كسرًا نسبيًا).${\displaystyle 2\pi }$). هناك مجالان لـ Fatou: الجزء الداخلي والخارجي للدائرة، مع التكرار نحو 0 و ∞ على التوالي.

ل${\displaystyle g(z)=z^{2}-2}$مجموعة جوليا هي القطعة المستقيمة بين -2 و2. يوجد مجال فاتو واحد : النقاط التي لا تقع على القطعة المستقيمة تتكرر باتجاه اللانهاية. (باستثناء إزاحة المجال وتغيير حجمه، فإن هذا التكرار مكافئ لـ${\displaystyle x\to 4(x-{\tfrac {1}{2}})^{2}}$على الفترة الزمنية للوحدة، والتي تُستخدم عادةً كمثال على النظام الفوضوي.

الدالتان f و g من الشكل التالي:${\displaystyle z^{2}+c}$حيث c عدد مركب. في هذه الحالة، لا تُمثل مجموعة جوليا منحنىً بسيطًا بشكل عام، بل هي شكل كسري، وقد تتخذ أشكالًا غير متوقعة لبعض قيم c . انظر الصور أدناه.

بالنسبة لبعض الدوال f ( z )، يمكننا القول مسبقًا أن مجموعة جوليا هي شكل كسري وليست منحنى بسيطًا. ويعود ذلك إلى النتيجة التالية المتعلقة بتكرارات الدالة الكسرية:

هذا يعني أن كل نقطة في مجموعة جوليا هي نقطة تراكم لكل مجال من مجالات فاتو. لذلك، إذا كان هناك أكثر من مجالين من مجالات فاتو، فلا بد أن تحتوي كل نقطة في مجموعة جوليا على نقاط من أكثر من مجموعتين مفتوحتين مختلفتين متقاربتين إلى ما لا نهاية، وهذا يعني أن مجموعة جوليا لا يمكن أن تكون منحنى بسيطًا. تحدث هذه الظاهرة، على سبيل المثال، عندما تكون f ( z ) هي تكرار نيوتن لحل المعادلة${\displaystyle \;P(z):=z^{n}-1=0~:~n>2\;}$:

${\displaystyle f(z)=z-{\frac {P(z)}{P'(z)}}={\frac {\;1+(n-1)z^{n}\;}{nz^{n-1}}}~.}$

تُظهر الصورة على اليمين الحالة n = 3.

يُعد نظام كثيرات الحدود التربيعية المركبة ، وهو حالة خاصة من الدوال الكسرية ، نظامًا ديناميكيًا معقدًا شائعًا جدًا . ويمكن التعبير عن كثيرات الحدود التربيعية هذه على النحو التالي:

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c~,}$

حيث c هو مُعامل مُركب. ثبّت بعض${\displaystyle R>0}$كبيرة بما يكفي بحيث${\displaystyle R^{2}-R\geq |c|.}$(على سبيل المثال، إذا كانت c تنتمي إلى مجموعة ماندلبروت ، فإن${\displaystyle |c|\leq 2,}$لذا يمكننا ببساطة أن نترك${\displaystyle R=2~.}$ثم تكون مجموعة جوليا الممتلئة لهذا النظام هي المجموعة الجزئية من المستوى المركب المعطاة بواسطة

${\displaystyle K(f_{c})=\left\{z\in \mathbb {C}$ :\forall n\in \mathbb {N} ,|f_{c}^{n}(z)|\leq R\right\}~,}

أين${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$هي التكرار رقم ن من${\displaystyle f_{c}(z).}$مجموعة جوليا${\displaystyle J(f_{c})}$حدود هذه الدالة هي${\displaystyle K(f_{c})}$.

• 
  جوليا تستعد لـ${\displaystyle z^{2}+0.7885\,e^{ia},}$حيث تتراوح قيمة a من 0 إلى${\displaystyle 2\pi }$
• فيديو لمجموعات جوليا على اليسار
• 
  مجموعة جوليا المعبأة للدالة f _c ، حيث c = 1 − φ ، و φ هي النسبة الذهبية
• 
  مجموعة جوليا للدالة f _c ، حيث c = ( φ − 2) + ( φ − 1) i = −0.4 + 0.6 i
• 
  مجموعة جوليا لـ f _c ، c = 0.285 + 0 i
• 
  مجموعة جوليا لـ f _c ، حيث c = 0.285 + 0.01 i
• 
  مجموعة جوليا لـ f _c ، حيث c = 0.45 + 0.1428 i
• 
  مجموعة جوليا لـ f _c ، c = −0.70176 − 0.3842 i
• 
  مجموعة جوليا لـ f _c ، c = −0.835 − 0.2321 i
• 
  مجموعة جوليا لـ f _c ، c = −0.8 + 0.156 i
• 
  مجموعة جوليا لـ f _c , v c = −0.7269 + 0.1889 i
• 
  جوليا set for f _c , c = -0.8 i
• 
  مجموعة جوليا لـ f _c ، حيث c = 0.35 + 0.35 i
• 
  مجموعة جوليا لـ f _c ، c = 0.4 + 0.4 i
• 
  مجموعة من مجموعات جوليا مرتبة في شبكة 100 × 100 بحيث يتوافق مركز كل صورة مع نفس الموضع في المستوى المركب الذي تمثله قيمة المجموعة. عند ترتيبها بهذه الطريقة، تشبه الصورة الكلية فسيفساء فوتوغرافية تصور مجموعة ماندلبروت .

يُنتج مستوى المعاملات لكثيرات الحدود التربيعية  - أي مستوى القيم الممكنة لـ c - مجموعة ماندلبروت الشهيرة . في الواقع، تُعرَّف مجموعة ماندلبروت بأنها مجموعة جميع قيم c التي تحقق الشرط التالي: ${\displaystyle J(f_{c})}$متصلة . بالنسبة للمعاملات خارج مجموعة ماندلبروت، فإن مجموعة جوليا هي فضاء كانتور : في هذه الحالة يشار إليها أحيانًا باسم غبار فاتو .

في كثير من الحالات، تبدو مجموعة جوليا للعدد c مشابهة لمجموعة ماندلبروت في جوارات صغيرة كافية حول c . وينطبق هذا بشكل خاص على ما يُسمى بمعاملات ميسيوريفيتش ، أي المعاملات c التي تكون النقطة الحرجة فيها شبه دورية. على سبيل المثال:

• عند النقطة c = i ، وهي إصبع القدم الأمامية الأقصر في مقدمة القدم، تبدو مجموعة جوليا وكأنها صاعقة برق متفرعة.
• عند c = −2، طرف الذيل الطويل الشائك، تكون مجموعة جوليا عبارة عن قطعة مستقيمة.

بمعنى آخر، مجموعات جوليا${\displaystyle J(f_{c})}$وهي متشابهة محليًا حول نقاط ميسيوريفيتش . ^{[ 6 ]}

إن تعريف مجموعات جوليا وفاتو ينتقل بسهولة إلى حالة بعض الخرائط التي تحتوي صورتها على مجالها؛ وأبرزها الدوال الميرومورفية المتسامية وخرائط آدم إبستين من النوع المحدود .

تُستخدم مجموعات جوليا أيضًا بشكل شائع في دراسة الديناميكيات في العديد من المتغيرات المعقدة.

تُضمّن تطبيقات الشفرة الزائفة أدناه الدوال لكل شكل كسري بشكل ثابت. يُنصح بتطبيق عمليات الأعداد المركبة للسماح بشفرة أكثر ديناميكية وقابلية لإعادة الاستخدام.

R = نصف قطر الهروب # اختر R > 0 بحيث يكون R**2 - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)لكل بكسل ( x ، y ) على الشاشة ، قم بما يلي : { zx = إحداثي x المُقاس للبكسل ؛ # ( يجب أن يكون المقياس بين -R وR) # يمثل zx الجزء الحقيقي من z. zy = إحداثي y المُقاس للبكسل ؛ # (يجب أن يكون المقياس بين -R وR) # يمثل zy الجزء التخيلي من z.التكرار = 0 ؛ الحد الأقصى للتكرار = 1000 ؛ بينما ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 AND التكرار < الحد الأقصى للتكرار ) { xtemp = zx * zx - zy * zy ؛ zy = 2 * zx * zy + cy ؛ zx = xtemp + cx ؛ التكرار = التكرار + 1 ؛ } إذا ( التكرار == ​​الحد الأقصى للتكرار ) أرجع black ؛ وإلا أرجع التكرار ؛ }

R = نصف قطر الهروب # اختر R > 0 بحيث يكون R**n - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)لكل بكسل ( x , y ) على الشاشة ، نفّذ ما يلي : { zx = إحداثي x المُقاس للبكسل ؛ # ( يجب أن يكون المقياس بين -R وR) zy = إحداثي y المُقاس للبكسل ؛ # (يجب أن يكون المقياس بين -R وR) التكرار = 0 ؛ الحد الأقصى للتكرار = 1001 ؛ بينما ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 AND التكرار < الحد الأقصى للتكرار ) { xtmp = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * cos ( n * atan2 ( zy , zx )) + cx ؛ zy = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * sin ( n * atan2 ( zy , zx )) + cy ؛ zx = xtmp ؛ التكرار = التكرار + 1 ؛ } إذا كان ( التكرار == ​​الحد الأقصى للتكرار ) أرجع اللون الأسود ؛ وإلا أرجع التكرار ؛ }

# ببساطة استبدل آخر 4 أسطر من التعليمات البرمجية من المثال الأخير بهذه الأسطر من التعليمات البرمجية:إذا كانت ( التكرار == ​​الحد الأقصى للتكرار ) أرجع اللون الأسود ؛ وإلا فإن القيمة المطلقة لـ z تساوي zx * zx + zy * zy ؛ أرجع التكرار + 1 - لوغاريتم ( لوغاريتم ( القيمة المطلقة لـ z )) / لوغاريتم ( n ).

مجموعة جوليا لـ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$هي دائرة الوحدة، وعلى نطاق فاتو الخارجي، تُعرَّف دالة الجهد φ ( z ) بالعلاقة φ ( z ) = log| z |. خطوط تساوي الجهد لهذه الدالة هي دوائر متحدة المركز.${\displaystyle |f(z)|=|z|^{2}}$لدينا

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}},}$

أين${\displaystyle z_{k}}$هي سلسلة التكرارات التي يولدها z . بالنسبة للتكرار الأكثر عمومية${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$لقد ثبت أنه إذا كانت مجموعة جوليا متصلة (أي إذا كانت c تنتمي إلى مجموعة ماندلبروت (المعتادة))، فإنه يوجد تطبيق ثنائي الشكل ψ بين مجال فاتو الخارجي والدائرة الخارجية للوحدة بحيث${\displaystyle |\psi (f(z))|=|\psi (z)|^{2}}$[ ^{8 ] وهذا يعني} أن دالة الجهد على نطاق فاتو الخارجي المحدد بواسطة هذا التناظر تُعطى بواسطة:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}}.}$

لهذه الصيغة معنى حتى لو لم تكن مجموعة جوليا متصلة، بحيث يمكننا، لكل قيمة لـ c، تعريف دالة الجهد على مجال فاتو الذي يحتوي على ∞ باستخدام هذه الصيغة. بالنسبة لدالة كسرية عامة f ( z ) بحيث تكون ∞ نقطة حرجة ونقطة ثابتة، أي بحيث تكون درجة البسط m أكبر بمقدار اثنين على الأقل من درجة المقام n ، فإننا نُعرّف دالة الجهد على مجال فاتو الذي يحتوي على ∞ كما يلي:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}},}$

حيث d = m − n هي درجة الدالة الكسرية. ^{[ 9 ]}

إذا كان N عددًا كبيرًا جدًا (مثل 10 أو ¹⁰⁰ )، وإذا كان k هو رقم التكرار الأول بحيث${\displaystyle |z_{k}|>N}$لدينا ذلك

${\displaystyle {\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}}={\frac {\log(N)}{d^{\nu (z)}}},}$

لبعض الأعداد الحقيقية${\displaystyle \nu (z)}$، والذي ينبغي اعتباره رقم التكرار الحقيقي ، ولدينا ما يلي:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}|/\log(N))}{\log(d)}},}$

حيث يكون الرقم الأخير في الفترة [0،  1).

للتكرار نحو دورة جذب محدودة من الرتبة r ، لدينا أنه إذا${\displaystyle z^{*}}$إذا كانت نقطة من نقاط الدورة،${\displaystyle f(f(...f(z^{*})))=z^{*}}$( التركيب ذو الرتبة r )، والعدد

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\left|(d(f(f(\cdots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}\right|}}\qquad (>1)}$

يكمن سر جاذبية الدورة في... إذا كانت w نقطة قريبة جدًا${\displaystyle z^{*}}$وإذا تم تكرار w ′ r مرة ، فسنحصل على ذلك

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {|w-z^{*}|}{|w'-z^{*}|}}.}$

لذلك، العدد${\displaystyle |z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k}}$يكاد يكون مستقلاً عن k . نُعرّف دالة الجهد على نطاق فاتو كما يلي:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{(|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k})}}.}$

إذا كان ε عددًا صغيرًا جدًا و k هو رقم التكرار الأول بحيث${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$لدينا ذلك

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{(\varepsilon \alpha ^{\nu (z)})}}}$

لبعض الأعداد الحقيقية${\displaystyle \nu (z)}$، والذي ينبغي اعتباره رقم التكرار الحقيقي، ولدينا ما يلي:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\varepsilon /|z_{k}-z^{*}|)}{\log(\alpha )}}.}$

إذا كانت قوة الجذب لا نهائية، مما يعني أن الدورة فائقة الجذب ، مما يعني مرة أخرى أن إحدى نقاط الدورة هي نقطة حرجة، فيجب علينا استبدال α بـ

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |w'-z^{*}|}{\log |w-z^{*}|}},}$

حيث يتم تكرار w ′ r مرة ، وصيغة φ ( z ) هي:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log(1/|z_{kr}-z^{*}|)}{\alpha ^{k}}}.}$

والآن يُعطى رقم التكرار الحقيقي بالصيغة التالية:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}-z^{*}|/\log(\varepsilon ))}{\log(\alpha )}}.}$

للتلوين، يجب أن يكون لدينا مقياس دوري للألوان (يتم إنشاؤه رياضيًا، على سبيل المثال) ويحتوي على H لونًا مرقمة من 0 إلى H − 1 ( H = 500، على سبيل المثال). نضرب العدد الحقيقي${\displaystyle \nu (z)}$بواسطة عدد حقيقي ثابت يحدد كثافة الألوان في الصورة، وأخذ الجزء الصحيح من هذا العدد modulo H.

يفترض تعريف دالة الجهد وطريقة التلوين لدينا أن الدورة جاذبة، أي ليست محايدة. إذا كانت الدورة محايدة، فلا يمكننا تلوين مجال فاتو بطريقة طبيعية. ولأن نهاية التكرار حركة دورانية، يمكننا، على سبيل المثال، التلوين وفقًا لأقصر مسافة من الدورة التي تبقى ثابتة بعد التكرار.

في كل مجال من مجالات فاتو (أي ليس محايدًا) يوجد نظامان من الخطوط المتعامدة مع بعضها البعض: خطوط تساوي الجهد (لدالة الجهد أو رقم التكرار الحقيقي) وخطوط المجال .

إذا قمنا بتلوين مجال فاتو وفقًا لرقم التكرار ( وليس رقم التكرار الحقيقي).${\displaystyle \nu (z)}$(كما هو مُعرَّف في القسم السابق)، تُظهر نطاقات التكرار مسار خطوط تساوي الجهد. إذا كان التكرار باتجاه ∞ (كما هو الحال مع نطاق فاتو الخارجي للتكرار المعتاد).${\displaystyle z^{2}+c}$يمكننا بسهولة إظهار مسار خطوط المجال، وذلك بتغيير اللون وفقًا لموقع النقطة الأخيرة في سلسلة التكرارات، سواءً كانت أعلى أو أسفل المحور السيني (الصورة الأولى). ولكن في هذه الحالة (وبشكل أدق: عندما يكون نطاق فاتو فائق الجذب)، لا يمكننا رسم خطوط المجال بشكل متسق، على الأقل ليس بالطريقة التي نشرحها هنا. في هذه الحالة، يُطلق على خط المجال أيضًا اسم الشعاع الخارجي .

ليكن z نقطة في مجال فاتو الجاذب. إذا كررنا z عددًا كبيرًا من المرات، فإن نهاية سلسلة التكرار هي دورة منتهية C ، ومجال فاتو (بحسب التعريف) هو مجموعة النقاط التي تتقارب سلسلة تكرارها نحو C. تنطلق خطوط المجال من نقاط C ومن النقاط (العدد اللانهائي من) التي تتكرر إلى نقطة من C. وتنتهي هذه الخطوط على مجموعة جوليا في نقاط غير فوضوية (أي تولد دورة منتهية). ليكن r رتبة الدورة C (عدد نقاطها)، ولتكن${\displaystyle z^{*}}$لنفترض نقطة في C. لدينا${\displaystyle f(f(\dots f(z^{*})))=z^{*}}$(التركيب ذو الرتبة r)، ونُعرّف العدد المركب α بواسطة

${\displaystyle \alpha =(d(f(f(\dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}.}$

إذا كانت نقاط C${\displaystyle z_{i},i=1,\dots ,r(z_{1}=z^{*})}$، α هو حاصل ضرب الأعداد r${\displaystyle f'(z_{i})}$العدد الحقيقي 1/|α| هو قوة جذب الدورة، وافتراضنا بأن الدورة ليست محايدة ولا فائقة الجذب يعني أن 1 < 1 / | α | < ∞ . النقطة${\displaystyle z^{*}}$هي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$وبالقرب من هذه النقطة الخريطة${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$له (فيما يتعلق بخطوط المجال) خاصية الدوران بمقدار β من α (أي،${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{\beta i}}$).

لتلوين مجال فاتو، اخترنا عددًا صغيرًا ε وحددنا تسلسلات التكرار${\displaystyle z_{k}(k=0,1,2,\dots ,z_{0}=z)}$للتوقف عندما${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$ونقوم بتلوين النقطة z وفقًا للرقم k (أو رقم التكرار الفعلي، إذا كنا نفضل تلوينًا سلسًا). إذا اخترنا اتجاهًا من${\displaystyle z^{*}}$يُعطى بواسطة الزاوية θ ، خط المجال المنبثق من${\displaystyle z^{*}}$يتكون هذا الاتجاه من النقاط z التي يكون فيها وسيط العدد ψ${\displaystyle z_{k}-z^{*}}$يستوفي الشرط التالي:

${\displaystyle \psi -k\beta =\theta \mod \pi .\,}$

لأنه إذا مررنا بنطاق تكرار في اتجاه خطوط المجال (وبعيدًا عن الدورة)، فإن رقم التكرار k يزداد بمقدار 1، ويزداد رقم ψ بمقدار β، وبالتالي فإن الرقم${\displaystyle \psi -k\beta \mod \pi }$ثابت على طول خط الملعب.

يعني تلوين خطوط المجال في نطاق فاتو أننا نلون المسافات بين أزواج خطوط المجال: نختار عددًا من الاتجاهات المنتظمة الموقع الصادرة من${\displaystyle z^{*}}$وفي كل اتجاه من هذه الاتجاهات، نختار اتجاهين حوله. ولأن خطي الحقل في زوج من الخطوط قد لا ينتهيان عند نفس النقطة في مجموعة جوليا، فإن خطوط الحقل الملونة لدينا يمكن أن تتفرع (بلا نهاية) في طريقها نحو مجموعة جوليا. يمكننا التلوين بناءً على المسافة إلى الخط المركزي لخط الحقل، ويمكننا مزج هذا التلوين مع التلوين المعتاد. يمكن أن تكون هذه الصور زخرفية للغاية (الصورة الثانية).

يُقسّم خط المجال الملون (النطاق بين خطي مجال) بواسطة نطاقات التكرار، ويمكن ربط هذا الجزء بمربع الوحدة: أحد إحداثياته ​​هو المسافة من أحد خطي المجال المحيطين، والآخر هو المسافة من داخل نطاق التكرار المحيط (وهذا الرقم هو الجزء غير الصحيح من رقم التكرار الحقيقي). بالتالي، يمكننا وضع صور داخل خطوط المجال (الصورة الثالثة).

طُرق  :

• طريقة تقدير المسافة لمجموعة جوليا (DEM/J)
• طريقة التكرار العكسي (IIM)

استخدام التكرار العكسي (IIM)

كما ذُكر سابقًا، يمكن إيجاد مجموعة جوليا كمجموعة نقاط النهاية لمجموعة الصور العكسية لأي نقطة معطاة (بشكل أساسي). لذا، يمكننا محاولة رسم مجموعة جوليا لدالة معينة كما يلي: نبدأ بأي نقطة z نعرف أنها تنتمي إلى مجموعة جوليا، مثل نقطة دورية تنافرية، ونحسب جميع الصور العكسية لـ z ضمن معدل تكرار عالٍ.${\displaystyle f^{n}}$عن .​

لسوء الحظ، مع تزايد عدد الصور العكسية المتكررة بشكل أُسّي، يصبح هذا غير ممكن حسابيًا. مع ذلك، يمكننا تعديل هذه الطريقة، بطريقة مشابهة لطريقة "اللعبة العشوائية" لأنظمة الدوال المتكررة . أي، في كل خطوة، نختار عشوائيًا إحدى الصور العكسية للدالة f .

على سبيل المثال، بالنسبة لكثير الحدود التربيعي f _c ، يتم وصف التكرار العكسي بواسطة

${\displaystyle z_{n-1}={\sqrt {z_{n}-c}}.}$

في كل خطوة، يتم اختيار أحد الجذرين التربيعيين عشوائياً.

تجدر الإشارة إلى أن الوصول إلى بعض أجزاء مجموعة جوليا باستخدام خوارزمية جوليا العكسية أمرٌ بالغ الصعوبة. لذا، يجب تعديل IIM/J (ومن أمثلتها MIIM/J ^{[ 10 ]} ) أو استخدام طرق أخرى لإنتاج صور أفضل.

• أرنب دوادي
• مجموعة الحدود
• المجموعات المستقرة وغير المستقرة
• نظرية عدم التجوال
• نظرية الفوضى

• كارلسون، لينارت ؛ غاملين، ثيودور دبليو. (1993). الديناميكا المعقدة . سبرينغر.
• دوادي, أدريان ; هوبارد ، جون هـ. (1984). “الدراسة الديناميكية للمجمعات متعددة الأقطار”. منشورات ما قبل الرياضيات دورسيه . 2 ; "[ المرجع السابق. ]". منشورات ما قبل الرياضيات دورسيه . 4 . 1985.
• ميلنور، جيه دبليو (2006) [1990]. الديناميكا في متغير مركب واحد . دراسات حوليات الرياضيات. المجلد  160 (  الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة برينستون؛نُشرت لأول مرة كـ "نسخة أولية من ستوني بروك IMS" . أُرشف من الأصل بتاريخ 24 أبريل 2006.متاح كـ ميلنور، جون دبليو (1990). "الديناميكا في متغير مركب واحد: محاضرات تمهيدية". arXiv : math.DS/9201272 .
• بوغومولني، ألكسندر . "مجموعة ماندلبروت وفهرسة مجموعات جوليا" . cut-the-knot . منهج الجبر.
• ديميدوف، يفغيني (2003). "تشريح مجموعتي ماندلبروت وجوليا" .
• بيردون، آلان ف. (1991). تكرار الدوال الكسرية . سبرينغر. ISBN 0-387-95151-2.

• "مجموعة جوليا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وايسستين، إريك دبليو. “مجموعة جوليا” . عالم الرياضيات .
• بورك، بول. "مجموعة جوليا الكسورية (ثنائية الأبعاد)" (موقع شخصي).
• ساوير، جيمي (6 أبريل 2007). "مجموعات جوليا" (مدونة).
• ماكغودوين، مايكل. "مجوهرات جوليا: استكشاف مجموعات جوليا" (موقع شخصي).
• برينجل، لوسي. "مجموعة دوائر المحاصيل جوليا" (موقع شخصي).
• غريغ، جوش. "تطبيق جوليا التفاعلي" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 26-03-2012.
• جويس، ديفيد إي. "مستكشف مجموعة جوليا وماندلبروت" (موقع شخصي أكاديمي). جامعة كلارك.
• "برنامج بسيط لإنشاء مجموعات جوليا" . liazardie.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 17-03-2011.– ويندوز، 370  كيلوبايت
• "مجموعة من التطبيقات المصغّرة" . سورس فورج .– يمكن لأحد التطبيقات المصغرة عرض مجموعات جوليا، عبر أنظمة الوظائف المتكررة.
• "جوليا تلتقي HTML5" . مختبرات جوجل. مؤرشف من الأصل بتاريخ 18 فبراير 2011. مولد كسور HTML5 لمتصفحك
• "جوليا" . r-project.org . حزمة GNU R. 25 نوفمبر 2014. توليد مجموعة جوليا أو ماندلبروت في منطقة ودقة محددتين
• "مجموعات جوليا" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16-06-2017 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24-08-2011 .– شرح مرئي لمجموعات جوليا.
• "FractalTS" . github.io .– ماندلبروت، السفينة المحترقة ومولد مجموعة جوليا المقابل.
• "صور مجموعة جوليا، عرض مباشر" . finengin.net . مؤرشف من الأصل بتاريخ 22-06-2019 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24-01-2017 .
• "فهم جوليا ومجموعات ماندلبروت" .- شرح مرئي.