لا يوجد مثالي

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ، يُقال إن المثالي الأيسر أو الأيمن أو ثنائي الجانب في الحلقة مثالي صفري إذا كانت جميع عناصره صفرية القوة ، أي لكل${\displaystyle a\in I}$يوجد عدد طبيعي n بحيث${\displaystyle a^{n}=0.}$إذا كانت جميع عناصر الحلقة عديمة القوة (وهذا ممكن فقط للحلقات التي لا تحتوي على عنصر محايد)، فإن الحلقة تسمى حلقة صفرية . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يُعدّ الجذر الصفري لحلقة تبديلية مثالًا على المثالي الصفري؛ بل هو في الواقع المثالي الأعظمي للحلقة فيما يتعلق بخاصية الصفرية. مع ذلك، لا تُشكّل مجموعة العناصر الصفرية دائمًا مثاليًا للحلقات غير التبديلية . ولا تزال المثاليات الصفرية مرتبطة بمسائل مفتوحة مثيرة للاهتمام، ولا سيما حدسية كوث التي لم تُحلّ بعد .

في الحلقات التبديلية، يُفهم مفهوم المُثُل الصفرية بشكل أفضل منه في الحلقات غير التبديلية، وذلك أساسًا لأن في الحلقات التبديلية، تكون كل من نواتج الضرب التي تتضمن عناصر صفرية ومجموعات العناصر الصفرية عناصر صفرية. وذلك لأنه إذا كان a و b عنصرين صفريين في R حيث a n = 0 و b m = 0، و r أي عنصر في R ، فإن ( a · r ) n  = a  n  · r  n  = 0، وبحسب نظرية ذات الحدين، فإن ( a + b ) m + n = 0. لذا، تُشكل مجموعة جميع العناصر الصفرية مُثُلًا يُعرف بالجذر الصفري للحلقة. ولأن الجذر الصفري يحتوي على كل عنصر صفري، فإن مُثُل الحلقة التبديلية تكون صفرية إذا وفقط إذا كانت مجموعة جزئية من الجذر الصفري، وبالتالي فإن الجذر الصفري هو المُثُل الأعظمية بين المُثُل الصفرية. علاوة على ذلك، لأي عنصر صفري a في حلقة تبديلية R ، يكون المُثُل aR صفريًا. أما بالنسبة للحلقة غير التبادلية، فليس من الصحيح بشكل عام أن مجموعة العناصر العديمة القوة تشكل مثالاً، أو أن a · R هو مثال صفري (من جانب واحد)، حتى لو كان a عديمي القوة.

تُعدّ نظرية المُثُل الصفرية ذات أهمية بالغة في نظرية الحلقات غير التبادلية. وعلى وجه الخصوص، من خلال فهم الحلقات الصفرية - وهي الحلقات التي يكون كل عنصر فيها صفريًا - يُمكن الحصول على فهم أفضل بكثير للحلقات الأكثر عمومية. ^{[ 3 ]}

في حالة الحلقات التبديلية، يوجد دائمًا مثالي صفري أقصى: الجذر الصفري للحلقة. ويُضمن وجود مثل هذا المثالي الصفري الأقصى في حالة الحلقات غير التبديلية من خلال حقيقة أن مجموع المثاليات الصفرية يساوي صفرًا أيضًا. ومع ذلك، فإن صحة الادعاء بأن مجموع مثاليين صفريين يساريين يساوي مثاليًا صفريًا يساريًا لا تزال غير مؤكدة؛ وهي مسألة مفتوحة تُعرف باسم حدسية كوث . ^{[ 4 ]} طُرحت حدسية كوث لأول مرة عام 1930، ولا تزال دون حل حتى عام 2025.

يرتبط مفهوم المثالي الصفري ارتباطًا وثيقًا بمفهوم المثالي الصفري ، وفي بعض فئات الحلقات، يتطابق المفهومان. إذا كان المثالي صفريًا، فهو صفري بطبيعة الحال. وهناك عائقان رئيسيان أمام المثالي الصفري ليكون صفريًا:

1. ليس بالضرورة أن يكون هناك حد أقصى للأس المطلوب لإفناء العناصر. قد تكون هناك حاجة إلى أسس عالية بشكل تعسفي.
2. قد يكون ناتج ضرب n من العناصر عديمة القوة غير صفري بالنسبة لقيم n العالية بشكل تعسفي .

من الواضح أنه يجب تجنب كلا هذين الحاجزين لكي يتأهل مثال العدم ليكون عديم القدرة.

في حلقة أرتينية يمنى ، يكون أي مثالي صفري عديم القوة. ^{[ 5 ]} يُثبت ذلك بملاحظة أن أي مثالي صفري موجود في جذر جاكوبسون للحلقة، وبما أن جذر جاكوبسون مثالي عديم القوة (بسبب فرضية أرتينية)، فإن النتيجة تتبع. في الواقع، عُمم هذا على الحلقات النوثرية اليمنى ؛ وتُعرف النتيجة بنظرية ليفيتزكي . يمكن إيجاد برهان بسيط بشكل خاص من أوتومي في ( هيرشتاين 1968 ، النظرية 1.4.5، ص 37) .

• تخمين كوث
• المثال العقيم
• نيلراديكال
• جاكوبسون الراديكالي

• هيرستين، إنديانا (1968)، الحلقات غير التبادلية (  الطبعة الأولى)، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 0-88385-015-X
• إسحاق، آي. مارتن (1993)، الجبر، دورة دراسات عليا (  الطبعة الأولى)، شركة بروكس/كول للنشر، رقم ISBN 0-534-19002-2
• سموكتونوفيتش، أغاتا (2006)، "بعض النتائج في نظرية الحلقات غير التبادلية" (ملف PDF) ، المؤتمر الدولي للرياضيات، المجلد الثاني ، زيورخ: الجمعية الرياضية الأوروبية ، الصفحات 259-269 ، ISBN  978-3-03719-022-7، MR 2275597 ، تم استرجاعه في 19 أغسطس 2009