عديم القدرة

في الرياضيات ، العنصر${\displaystyle x}$من خاتم${\displaystyle R}$يُطلق عليه اسم "عديم القوة" إذا وُجد عدد صحيح موجب ما${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle x^{n}=0}$أصغرها${\displaystyle n}$يُطلق عليه مؤشر انعدام القدرة أو درجة انعدام القدرة${\displaystyle x}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

تم تقديم هذا المصطلح، إلى جانب المصطلح الشقيق له idempotent ، من قبل بنيامين بيرس في سياق عمله على تصنيف الجبر. ^{[ 3 ]}

• يمكن تطبيق هذا التعريف بشكل خاص على المصفوفات المربعة . المصفوفة

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

هو عديم القوة لأنه${\displaystyle A^{3}=0}$انظر إلى المصفوفة العديمة القوة للمزيد.

• في حلقة العوامل${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$، فئة التكافؤ للعدد 3 هي فئة عديمة القوة لأن 3 ² متطابق مع 0 بتردد 9.
• افترض أن هناك عنصرين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في حلقة${\displaystyle R}$مُرضٍ${\displaystyle ab=0}$ثم العنصر${\displaystyle c=ba}$هو عديم القوة مثل$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}}$$مثال باستخدام المصفوفات (لـ a و b ): $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$هنا${\displaystyle AB=0}$و${\displaystyle BA=B}$.
• بحسب التعريف، فإن أي عنصر من عناصر شبه المجموعة الصفرية يكون عنصرًا صفريًا.

لا يمكن لأي عنصر عديم القوة أن يكون عنصرًا محايدًا (باستثناء الحلقة التافهة ، التي تحتوي على عنصر واحد فقط 0 = 1 ). جميع العناصر عديمة القوة هي قواسم للصفر .

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$تكون الدالة متعددة الحدود ذات المدخلات من حقل ما عديمة القوة إذا وفقط إذا كانت متعددة الحدود المميزة لها${\displaystyle t^{n}}$.

لو${\displaystyle x}$إذا كان عديم القوة،${\displaystyle 1-x}$هي وحدة ، لأن${\displaystyle x^{n}=0}$يستلزم$${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$$

وبشكل عام، فإن مجموع عنصر الوحدة وعنصر عديم القوة يكون وحدة عندما يتبادلان.

العناصر العديمة القوة من حلقة تبديلية${\displaystyle R}$تشكيل مثالي${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$هذا نتيجة لنظرية ذات الحدين . هذا المثالي هو الجذر الصفري للحلقة. إذا${\displaystyle {\mathfrak {N}}=\{0\}}$، أي،${\displaystyle R}$لا يحتوي على عناصر عديمة القوة غير صفرية،${\displaystyle R}$يُطلق عليه اسم الحلقة المختزلة .

كل عنصر عديم القوة${\displaystyle x}$يحتوي كل مثالي أولي في حلقة تبديلية على${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$من ذلك الخاتم، منذ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$. لذا${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$يقع ضمن تقاطع جميع المُثُل الأولية. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle x}$ليس عديم القوة، فنحن قادرون على تحديد الموقع فيما يتعلق بقوى${\displaystyle x}$:${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$للحصول على خاتم غير صفري${\displaystyle S^{-1}R}$تتطابق المُثُل الأولية للحلقة الموضعية تمامًا مع تلك المُثُل الأولية.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ل${\displaystyle R}$مع${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$[ ^{4 ]} بما أن كل حلقة تبديلية غير صفرية لها مثالي أعظمي ، وهو أولي، فإن كل حلقة غير ^صفرية${\displaystyle x}$لا يندرج ضمن أي مثال أولي. وبالتالي،${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$هو بالضبط تقاطع جميع المُثُل الأولية. ^{[ 5 ]}

تتوفر خاصية مشابهة لخاصية جذر جاكوبسون وإفناء الوحدات البسيطة للجذر الصفري: العناصر الصفرية القوة في الحلقة${\displaystyle R}$وهي تحديداً تلك التي تقضي على جميع المجالات التكاملية الداخلية للحلقة${\displaystyle R}$(أي، على شكل${\displaystyle R/I}$من أجل المثل العليا${\displaystyle I}$). وهذا يتبع من حقيقة أن nilradical هو تقاطع جميع المُثُل الأولية.

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي . إذن عنصر${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$يُطلق عليه اسم "عديم القوة" إذا كان موجودًا في الجبر الفرعي للمبدلات${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$و${\displaystyle \operatorname {ad} x}$هو تحويل عديم القوة. انظر أيضًا: تحليل جوردان في جبر لي .

أي عامل سلمي في فضاء محدود الأبعاد يكون عديم القوة. وهي تمثل عوامل الإنشاء والإفناء ، التي تحول من حالة إلى أخرى، على سبيل المثال مصفوفات باولي للرفع والخفض.${\displaystyle \sigma _{\pm }=(\sigma _{x}\pm i\sigma _{y})/2}$.

معامل​${\displaystyle Q}$ذلك يرضي${\displaystyle Q^{2}=0}$أعداد غراسمان، التي تسمح بتمثيل الحقول الفرميونية باستخدام التكامل المساري ، هي أعداد معدومة القوة لأن مربعاتها تساوي صفرًا. شحنة BRST مثال مهم في الفيزياء .

بما أن المؤثرات الخطية تُشكّل جبرًا ترابطيًا، وبالتالي حلقة، فإن هذه حالة خاصة من التعريف الأولي. ^{[ 6 ] [ 7 ]} وبشكل أعم، في ضوء التعريفات المذكورة أعلاه، فإن المؤثر${\displaystyle Q}$يكون عديم القوة إذا كان هناك${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle Q^{n}=0}$( الدالة الصفرية ). بالتالي، يكون التحويل الخطي عديم القوة إذا وفقط إذا كانت له مصفوفة عديمة القوة في أساس ما. مثال آخر على ذلك هو المشتقة الخارجية (مرة أخرى مع${\displaystyle n=2}$). كلاهما مرتبطان، أيضاً من خلال التناظر الفائق ونظرية مورس ، ^{[ 8 ]} كما أوضح إدوارد ويتن في مقال شهير. ^{[ 9 ]}

يكون المجال الكهرومغناطيسي لموجة مستوية بدون مصادر عديم القوة عندما يُعبَّر عنه بدلالة جبر الفضاء الفيزيائي . ^{[ 10 ]} وبشكل أعم، تستخدم تقنية الجمع الجزئي (التي يمكن استخدامها لاستنتاج النظريات في الفيزياء) الكميات المتناهية الصغر عديمة القوة أو عديمة المربعات، وهي جزء من تحليل الكميات المتناهية الصغر السلسة .

تحتوي الأعداد الثنائية ثنائية الأبعاد على فضاء نيلبوتنت. ومن بين الجبر والأعداد الأخرى التي تحتوي على فضاءات نيلبوتنت: الكواترنيونات المنقسمة (الكواترنيونات المشتركة)، والأوكتونيونات المنقسمة ، والبيكواترنيونات.${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$والأوكتونيونات المعقدة${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$إذا كان المتغير اللامتناهي الصفري متغيرًا يؤول إلى الصفر، فيمكن إثبات أن أي مجموع للحدود التي يكون هو موضوعها هو نسبة صغيرة جدًا من الحد من الدرجة الأولى.

• العنصر المتماثل (نظرية الحلقة)
• أحادي القدرة
• لا يوجد مثالي