أخذ العينات غير المنتظم

يُعدّ أخذ العينات غير المنتظم فرعًا من نظرية أخذ العينات، ويتضمن نتائج مرتبطة بنظرية نايكويست-شانون لأخذ العينات . ويعتمد هذا النوع من أخذ العينات على استيفاء لاغرانج والعلاقة بينه وبين نظرية أخذ العينات (المنتظمة). كما يُعتبر تعميمًا لنظرية ويتاكر-شانون-كوتيلنيكوف (WSK) لأخذ العينات.

يمكن تعميم نظرية شانون لأخذ العينات لتشمل حالة العينات غير المنتظمة، أي العينات التي لا تُؤخذ على فترات زمنية متساوية. تنص نظرية شانون لأخذ العينات غير المنتظمة على أنه يمكن إعادة بناء إشارة محدودة النطاق بشكل مثالي من عيناتِها إذا كان متوسط ​​معدل أخذ العينات يحقق شرط نايكويست. ^{[ 1 ]} لذلك، على الرغم من أن العينات ذات الفترات الزمنية المنتظمة قد تُسهّل خوارزميات إعادة البناء، إلا أنها ليست شرطًا ضروريًا لإعادة بناء مثالية.

طُوِّرت النظرية العامة للعينات غير المنتظمة وغير ذات النطاق الأساسي عام 1967 على يد هنري لانداو . ^{[ 2 ]} أثبت لانداو أن متوسط ​​معدل أخذ العينات (سواء كان منتظمًا أم لا) يجب أن يكون ضعف عرض النطاق الترددي المشغول للإشارة، بافتراض معرفة مسبقة لجزء الطيف المشغول. في أواخر التسعينيات، وُسِّع هذا العمل جزئيًا ليشمل الإشارات التي عُرف مقدار عرض النطاق الترددي المشغول لها، ولكن الجزء المشغول فعليًا من الطيف كان مجهولًا. ^{[ 3 ]} في العقد الأول من الألفية الثانية، طُوِّرت نظرية كاملة (انظر قسم " ما وراء نايكويست" أدناه) باستخدام الاستشعار المضغوط . على وجه الخصوص، وُصفت النظرية، باستخدام لغة معالجة الإشارات، في هذه الورقة البحثية المنشورة عام 2009. ^{[ 4 ]} تُظهر هذه الورقة، من بين أمور أخرى، أنه إذا كانت مواقع الترددات غير معروفة، فمن الضروري أخذ عينات بمعدل ضعف معيار نايكويست على الأقل؛ بعبارة أخرى، يجب أن تدفع على الأقل ضعفًا لعدم معرفة موقع الطيف . لاحظ أن الحد الأدنى لمتطلبات أخذ العينات لا يضمن بالضرورة الاستقرار العددي .

بالنسبة لدالة معينة، من الممكن إنشاء متعددة حدود من الدرجة n لها نفس قيمة الدالة عند n  +  1 نقطة. ^{[ 5 ]}

لنفترض أن النقاط n  +  1 هي${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{n}}$، وقيم n  +  1 التي ستكون${\displaystyle w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}}$.

وبهذه الطريقة، توجد متعددة حدود فريدة${\displaystyle p_{n}(z)}$بحيث

${\displaystyle p_{n}(z_{i})=w_{i},{\text{ حيث }}i=0,1,\ldots ,n.}$^{[ 6 ]}

علاوة على ذلك، من الممكن تبسيط تمثيل${\displaystyle p_{n}(z)}$باستخدام كثيرات الحدود التداخلية لاستيفاء لاغرانج:

$// (z_ {ك} -z_ {ك-1}) (z_ {ك} -z_ {ك +1}) \ cdots (z_ {ك} -z_ {n})}}}$^{[ 7 ]}

من المعادلة أعلاه:

${\displaystyle I_{k}(z_{j})=\delta _{k,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}k\neq j\\1,&{\text{if }}k=j\end{cases}}}$

نتيجة ل،

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}I_{k}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z_{j})=w_{j},j=0,1,\ldots ,n}$

لجعل الصيغة متعددة الحدود أكثر فائدة:

${\displaystyle G_{n}(z)=(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})}$

وبهذه الطريقة، تظهر صيغة لاغرانج للاستيفاء :

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}{\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}}$^{[ 8 ]}

لاحظ أنه إذا${\displaystyle f(z_{j})=p_{n}(z_{j}),j=0,1,\ldots ,n,}$عندئذٍ تصبح الصيغة أعلاه كالتالي:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{n}f(z_{k}){\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}}$

حاول ويتاكر توسيع نطاق استيفاء لاغرانج من كثيرات الحدود إلى الدوال الكاملة . وقد أظهر أنه من الممكن بناء الدالة الكاملة ^{[ 9 ].}

${\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(a+nW){\frac {\sin[\pi (za-nW)/W]}{[\pi (za-nW)/W]}}}$

والتي لها نفس القيمة مع${\displaystyle f(z)}$عند النقاط${\displaystyle z_{n}=a+nW}$

علاوة على ذلك،${\displaystyle C_{f}(z)}$يمكن كتابتها بشكل مشابه للمعادلة الأخيرة في القسم السابق:

${\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(z_{n}){\frac {G(z)}{G'(z_{n})(z-z_{n})}},{\text{ حيث }}G(z)=\sin[\pi (z-z_{n})/W]{\text{ و }}z_{n}=a+nW}$

عندما تكون a  =  0 و W  =  1، فإن المعادلة أعلاه تصبح تقريبًا نفس نظرية WSK: ^{[ 10 ]}

إذا أمكن تمثيل الدالة f بالشكل التالي

${\displaystyle f(t)=\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{jxt}g(x)\,dx\qquad (t\in \mathbb {R} ),\qquad \forall g\in L^{2}(-\sigma ,\sigma ),}$

ويمكن إعادة بناء f من عيناتِها على النحو التالي :

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {k\pi }{\sigma }}\right){\frac {\sin(\sigma tk\pi )}{\sigma tk\pi }}\qquad (t\in \mathbb {R} )}$

بالنسبة للتسلسل${\displaystyle \{t_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$مُرضٍ ^{[ 11 ]}

${\displaystyle D=\sup _{k\in \mathbb {Z} }|t_{k}-k|<{\frac {1}{4}},}$

ثم

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t_{k}){\frac {G(t)}{G'(t_{k})(t-t_{k})}},\qquad \forall {}f\in B_{\pi }^{2},\qquad (t\in \mathbb {R} ),}$

أين

• ${\displaystyle \textstyle G(t)=(t-t_{0})\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {t}{t_{k}}}\right)\left(1-{\frac {t}{t_{-k}}}\right),}$
• ${\displaystyle B_{\sigma }^{2}}$فضاء برنشتاين ، و
• ${\displaystyle f(t)}$^{[ 12 ]} متقاربة بشكل منتظم على المجموعات المدمجة.

تُعرف هذه النظرية باسم نظرية بالي-وينر-ليفنسون، وهي تعميم لنظرية أخذ العينات WSK من العينات المنتظمة إلى العينات غير المنتظمة. ويمكن لكلتا النظريتين إعادة بناء إشارة محدودة النطاق من تلك العينات.

• ف. مارفستي، أخذ العينات غير المنتظم: النظرية والتطبيق. شركة بلينوم للنشر، 2001، ص  123-140.