الوظيفة بأكملها

في التحليل المركب ، الدالة الكاملة ، وتُسمى أيضًا الدالة التكاملية ، هي دالة ذات قيم مركبة وهي دالة تحليلية على كامل المستوى المركب . من الأمثلة النموذجية على الدوال الكاملة كثيرات الحدود والدالة الأسية ، وأي مجاميع وحاصل ضرب وتركيبات منتهية لهذه الدوال، مثل الدوال المثلثية الجيب وجيب التمام ونظائرها الزائدية sinh و cosh ، بالإضافة إلى مشتقات وتكاملات الدوال الكاملة مثل دالة الخطأ .${\displaystyle f(z)}$له جذر في​${\displaystyle w}$ثم​​${\displaystyle f(z)/(zw)}$، مع أخذ القيمة الحدية عند${\displaystyle w}$، هي دالة كاملة. من ناحية أخرى، فإن اللوغاريتم الطبيعي ، ودالة المقلوب ، والجذر التربيعي ليست دوال كاملة، ولا يمكن تمديدها تحليليًا إلى دالة كاملة.

الدالة الكاملة المتسامية هي دالة كاملة ليست متعددة الحدود.

كما يمكن اعتبار الدوال الميرومورفية تعميمًا للدوال الكسرية ، يمكن اعتبار الدوال الكاملة تعميمًا لكثيرات الحدود. وبالتحديد، إذا أمكن تعميم تحليل الدوال الميرومورفية إلى كسور بسيطة ( نظرية ميتاج-ليفلر حول تحليل الدوال الميرومورفية)، فإنه يوجد تعميم لهذا التحليل للدوال الكاملة، وهو نظرية فايرشتراس حول الدوال الكاملة.

كل وظيفة كاملة${\displaystyle f(z)}$يمكن تمثيلها كمتسلسلة قوى واحدة : $${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}\ }$$تتقارب هذه الدالة في كل مكان في المستوى المركب، وبالتالي تتقارب بانتظام على المجموعات المتراصة . نصف قطر التقارب لانهائي، مما يعني أن $${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\ }$$ أو، على نحو مماثل، ^{[ أ ]}$${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$ أي متسلسلة قوى تستوفي هذا المعيار ستمثل دالة كاملة.

إذا (وفقط إذا) كانت جميع معاملات متسلسلة القوى حقيقية، فإن الدالة تأخذ قيمًا حقيقية للمتغيرات الحقيقية، وقيمة الدالة عند المرافق المركب لـ${\displaystyle z}$سيكون المرافق المركب للقيمة عند ⁠${\displaystyle z}$تُسمى هذه الدوال أحيانًا بالدوال المترافقة ذاتيًا (الدالة المترافقة ، ⁠${\displaystyle F^{*}(z)}$، مقدمة من${\displaystyle {\bar {F}}({\bar {z}})}$) . ^{[ 1 ]}

إذا عُرف الجزء الحقيقي لدالة كاملة في جوار (مركب) لنقطة ما، فإن كلا الجزأين الحقيقي والتخيلي يكونان معروفين في المستوى المركب بأكمله، حتى ثابت تخيلي. على سبيل المثال، إذا عُرف الجزء الحقيقي في جوار الصفر، فيمكننا إيجاد معاملات الدالة.${\displaystyle n>0}$من المشتقات التالية بالنسبة لمتغير حقيقي${\displaystyle r}$⁠ : $$\begin{aligned}\Re(a_n)&=\frac{1}{n!}\left.\frac{d^n}{dr^n}\Re(f(r))\right|_{r=0}\\\Im(a_n)&=\frac{1}{n!}\left.\frac{d^n}{dr^n}\Re(f(r))\right|_{r=0}\end{aligned}}}$$

(وبالمثل، إذا كان الجزء التخيلي معروفًا في مثل هذه المنطقة، فإن الدالة تُحدد بدقة تصل إلى ثابت حقيقي). في الواقع، إذا كان الجزء الحقيقي معروفًا على قوس دائرة فقط، فإن الدالة تُحدد بدقة تصل إلى ثابت تخيلي. ^{[ ب ]} لاحظ مع ذلك أن الدالة الكاملة لا تُحدد بالضرورة بجزئها الحقيقي على منحنيات أخرى. على وجه الخصوص، إذا كان الجزء الحقيقي مُعطى على أي منحنى في المستوى المركب حيث يكون الجزء الحقيقي لدالة كاملة أخرى صفرًا، فيمكن إضافة أي مضاعف لتلك الدالة إلى الدالة التي نحاول تحديدها. على سبيل المثال، إذا كان المنحنى الذي يُعرف فيه الجزء الحقيقي هو خط الأعداد الحقيقية، فيمكننا إضافة${\displaystyle i}$مضروبة في أي دالة مترافقة ذاتيًا. إذا شكل المنحنى حلقة، فإنه يتحدد بالجزء الحقيقي للدالة على الحلقة، لأن الدوال الوحيدة التي يكون جزءها الحقيقي صفرًا على المنحنى هي تلك التي تساوي عددًا تخيليًا في كل مكان .

تنص نظرية تحليل فايرشتراس على أنه يمكن تمثيل أي دالة كاملة من خلال حاصل ضرب يتضمن أصفارها (أو "جذورها").

تشكل الدوال الكاملة على المستوى المركب مجالًا تكامليًا (في الواقع مجال بروفر ). كما أنها تشكل جبرًا تبادليًا أحاديًا ترابطيًا على الأعداد المركبة .

تنص نظرية ليوفيل على أن أي دالة كاملة محدودة يجب أن تكون ثابتة. ^{[ ج ]}

نتيجةً لنظرية ليوفيل، فإن أي دالة تامة على كامل كرة ريمان ^{[ d ]} تكون ثابتة. وبالتالي، فإن أي دالة تامة غير ثابتة لا بد أن يكون لها نقطة شاذة عند النقطة المركبة في اللانهاية ، إما قطبًا لكثير الحدود أو نقطة شاذة أساسية لدالة تامة متسامية . تحديدًا، وفقًا لنظرية كاسوراتي-فايرشتراس ، لأي دالة تامة متسامية${\displaystyle f}$وأي مجمع${\displaystyle w}$هناك تسلسل${\displaystyle (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$بحيث

${\displaystyle \ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.}$

تُعدّ نظرية بيكارد الصغيرة نتيجةً أقوى بكثير: أي دالة كاملة غير ثابتة تأخذ كل عدد مركب كقيمة، باستثناء واحد محتمل. عندما يوجد استثناء، يُطلق عليه قيمة ثغرة للدالة. تتضح إمكانية وجود قيمة ثغرة من خلال الدالة الأسية ، التي لا تأخذ القيمة أبدًا .${\displaystyle 0}$يمكن للمرء أن يأخذ فرعًا مناسبًا من لوغاريتم دالة كاملة لا يصل أبدًا إلى ⁠${\displaystyle 0}$وبالتالي ، ستكون هذه دالة كاملة أيضًا (وفقًا لنظرية تحليل فايرشتراس ). يُصيب اللوغاريتم كل عدد مركب باستثناء عدد واحد محتمل، مما يعني أن الدالة الأولى ستُصيب أي قيمة أخرى غير .${\displaystyle 0}$عدد لا نهائي من المرات. وبالمثل، فإن دالة كاملة غير ثابتة لا تصل إلى قيمة معينة ستصل إلى كل قيمة أخرى عدد لا نهائي من المرات.

تُعتبر نظرية ليوفيل حالة خاصة من العبارة التالية:

قد تنمو الدوال بأكملها بنفس سرعة أي دالة متزايدة: بالنسبة لأي دالة متزايدة${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$توجد وظيفة كاملة${\displaystyle f}$بحيث${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$لجميع الحقيقيين${\displaystyle x}$. مثل هذه الوظيفة${\displaystyle f}$يمكن العثور عليها بسهولة بالشكل التالي: $${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$ لثابت${\displaystyle c}$ومتتالية متزايدة تمامًا من الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n_{k}}$أي تسلسل من هذا القبيل يُعرّف دالة كاملة .${\displaystyle f(z)}$وإذا تم اختيار القوى بشكل مناسب، فقد نتمكن من تحقيق المتباينة${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$لجميع الحقيقيين${\displaystyle x}$. (على سبيل المثال، ينطبق هذا بالتأكيد إذا اختار المرء${\displaystyle c:=g(2)}$ولأي عدد صحيح${\displaystyle k\geq 1}$يختار المرء أسًا زوجيًا${\displaystyle n_{k}}$بحيث ​${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$) .

رتبة الدالة الكاملة (عند اللانهاية)${\displaystyle f(z)}$يتم تعريفها باستخدام الحد الأعلى على النحو التالي: $${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$ أين${\displaystyle B_{r}}$هو قرص نصف قطره${\displaystyle r}$و${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$يشير إلى المعيار الأعلى لـ${\displaystyle f(z)}$في​${\displaystyle B_{r}}$. يكون الترتيب عددًا حقيقيًا غير سالب أو ما لا نهاية (إلا عندما${\displaystyle f(z)=0}$للجميع​${\displaystyle z}$) . بعبارة أخرى، ترتيب${\displaystyle f(z)}$هو أدنى مستوى للجميع${\displaystyle m}$بحيث: $${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

مثال على${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$يُظهر ذلك أن هذا لا يعني${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$لو ${\displaystyle f(z)}$هذا أمرٌ مُرتب${\displaystyle m}$⁠ .

إذا​${\displaystyle 0<\rho <\infty }$ويمكن أيضاً تحديد النوع : $${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

إذا كان الترتيب 1 والنوع هو ⁠${\displaystyle \sigma }$يقال إن الدالة "من النوع الأسي "${\displaystyle \sigma }$" . إذا كان من رتبة أقل من 1، فإنه يقال إنه من النوع الأسي 0.

لو$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$ثم يمكن إيجاد الترتيب والنوع باستخدام الصيغ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

يترك${\displaystyle f^{(n)}}$يشير إلى${\displaystyle n}$المشتقة من​${\displaystyle f}$ثم يمكننا إعادة صياغة هذه الصيغ بدلالة المشتقات عند أي نقطة اختيارية .${\displaystyle z_{0}}$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

قد يكون النوع لانهائيًا، كما هو الحال في دالة جاما المتبادلة ، أو صفرًا (انظر المثال أدناه تحت §  الترتيب 1 ).

هناك طريقة أخرى لمعرفة الترتيب والنوع وهي نظرية ماتسايف .

الدوال الكاملة ذات الرتبة المحدودة لها تمثيل هادامارد المتعارف عليه ( نظرية تحليل هادامارد ): $${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$ أين${\displaystyle z_{k}}$تلك هي جذور${\displaystyle f}$التي لا تساوي صفرًا ( ⁠${\displaystyle z_{k}\neq 0}$)​${\displaystyle m}$هو رتبة الصفر لـ${\displaystyle f}$في${\displaystyle z=0}$(الحالة)${\displaystyle m=0}$يُقصد به${\displaystyle f(0)\neq 0}$)​${\displaystyle P}$متعددة الحدود (التي سنسمي درجتها${\displaystyle q}$)، و${\displaystyle p}$هو أصغر عدد صحيح غير سالب بحيث تكون المتسلسلة $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$ يتقارب. العدد الصحيح غير السالب${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$يُطلق عليه اسم جنس الوظيفة بأكملها${\displaystyle f}$⁠ .

إذا كان الطلب${\displaystyle \rho }$إذا لم يكن عددًا صحيحًا،${\displaystyle g=\lfloor \rho \rfloor }$هو الجزء الصحيح من${\displaystyle \rho }$إذا كان الترتيب عددًا صحيحًا موجبًا، فهناك احتمالان:${\displaystyle g=\rho -1}$أو​${\displaystyle g=\rho }$⁠ .

على سبيل المثال ،${\displaystyle \sin }$،​${\displaystyle \cos }$و${\displaystyle \exp }$هي وظائف كاملة للجنس${\displaystyle g=\rho =1}$⁠ .

بحسب جيه إي ليتلوود ، فإن دالة سيجما لـ وييرشتراس هي دالة تامة "نموذجية". ويمكن توضيح هذه العبارة بدقة في نظرية الدوال التامة العشوائية: فالسلوك التقاربي لجميع الدوال التامة تقريبًا مشابه لسلوك دالة سيجما. ومن الأمثلة الأخرى تكاملات فرينل ، ودالة ثيتا لجاكوبي ، ودالة جاما المقلوبة . وتُعد الدالة الأسية ودالة الخطأ حالتين خاصتين من دالة ميتاج-ليفلر . ووفقًا للنظرية الأساسية لبالي وويينر ، فإن تحويلات فورييه للدوال (أو التوزيعات) ذات الدعم المحدود هي دوال تامة من الرتبة Σ.${\displaystyle 1}$ونوع محدود.

ومن الأمثلة الأخرى حلول المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات متعددة الحدود. إذا كان المعامل عند أعلى مشتقة ثابتًا، فإن جميع حلول هذه المعادلات تكون دوالًا تامة. على سبيل المثال، تنشأ الدالة الأسية، ودالة الجيب، ودالة جيب التمام، ودوال آيري ، ودوال الأسطوانة المكافئة بهذه الطريقة. فئة الدوال التامة مغلقة بالنسبة للتركيبات، مما يُتيح دراسة ديناميكيات الدوال التامة .

تكون الدالة الكاملة للجذر التربيعي لعدد مركب كاملة إذا كانت الدالة الأصلية زوجية ، على سبيل المثال${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$⁠ .

إذا تقاربت متتالية من كثيرات الحدود، جميع جذورها حقيقية، في جوار نقطة الأصل إلى نهاية لا تساوي الصفر تمامًا، فإن هذه النهاية تُشكّل دالة تامة. تُشكّل هذه الدوال التامة فئة لاغير-بوليا ، والتي يمكن أيضًا وصفها بدلالة جداء هادامارد، أي:${\displaystyle f}$ينتمي إلى هذه الفئة إذا وفقط إذا كان في تمثيل هادامارد جميع${\displaystyle z_{n}}$حقيقية ،${\displaystyle \rho \leq 1}$و​ ​${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$، حيث${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$حقيقية، و${\displaystyle c\leq 0}$على سبيل المثال، متتالية كثيرات الحدود $${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$ يتقارب، حيث${\displaystyle n}$يزداد، إلى${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$كثيرات الحدود $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$ جميعها لها جذور حقيقية، وتتقارب إلى${\displaystyle \cos(z)}$كثيرات الحدود $${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$ وتتقارب أيضًا إلى${\displaystyle \cos(z)}$، مما يوضح تراكم ناتج هادامارد لجيب التمام.

• صيغة جنسن
• نظرية كارلسون
• النوع الأسي
• نظرية بالي-وينر
• نظرية ويمان-فاليرون