توزيع غاما المعكوس الطبيعي

${\displaystyle f(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {\sqrt {\lambda }}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +\lambda (x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

بالنسبة للصيغة متعددة المتغيرات حيث${\displaystyle \mathbf {x} }$هو${\displaystyle k\times 1}$متجه عشوائي،

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\sigma ^{2}\mid \mu ,\mathbf {V} ^{-1},\alpha ,\beta )=|\mathbf {V} |^{-1/2}{(2\pi )^{-k/2}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1+k/2}\exp \left(-{\frac {2\beta +(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})}{2\sigma ^{2}}}\right).}$

أين${\displaystyle |\mathbf {V} |}$هو المحدد لـ${\displaystyle k\times k}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {V} }$لاحظ كيف تتحول هذه المعادلة الأخيرة إلى الشكل الأول إذا${\displaystyle k=1}$لهذا السبب.${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {V} ,{\boldsymbol {\mu }}}$هي كميات قياسية .

${\displaystyle F(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {e^{-{\frac {\beta }{\sigma ^{2}}}}\left({\frac {\beta }{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha }\left(\operatorname {erf} \left({\frac {{\sqrt {\lambda }}(x-\mu )}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+1\right)}{2\sigma ^{2}\Gamma (\alpha )}}}$

منح${\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )\!.}$كما سبق،${\displaystyle \sigma ^{2}}$يتبع في حد ذاته توزيع غاما معكوس :

${\displaystyle \sigma ^{2}\sim \Gamma ^{-1}(\alpha ,\beta )\!}$

بينما${\displaystyle {\sqrt {\frac {\alpha \lambda }{\beta }}}(x-\mu )}$يتبع توزيع t مع${\displaystyle 2\alpha }$درجات الحرية. ^{[ 1 ]}

دليل على${\displaystyle \lambda =1}$

ل${\displaystyle \lambda =1}$دالة كثافة الاحتمال هي

${\displaystyle f(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\alpha ,\beta )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

التوزيع الهامشي على${\displaystyle x}$يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x\mid \mu ,\alpha ,\beta )&=\int _{0}^{\infty }d\sigma ^{2}f(x,\sigma ^{2}\mid \mu ,\alpha ,\beta )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }d\sigma ^{2}\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1/2+1}\exp \left(-{\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

باستثناء عامل التوحيد، يتطابق التعبير تحت التكامل مع توزيع غاما المعكوس

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x;a,b)={\frac {b^{a}}{\Gamma (a)}}{\frac {e^{-b/x}}{{x}^{a+1}}},}$

مع${\displaystyle x=\sigma ^{2}}$،${\displaystyle a=\alpha +1/2}$،${\displaystyle b={\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2}}}$.

منذ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }dx\Gamma ^{-1}(x;a,b)=1,\quad \int _{0}^{\infty }dxx^{-(a+1)}e^{-b/x}=\Gamma (a)b^{-a}}$، و

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\sigma ^{2}\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha +1/2+1}\exp \left(-{\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)=\Gamma (\alpha +1/2)\left({\frac {2\beta +(x-\mu )^{2}}{2}}\right)^{-(\alpha +1/2)}}$

باستبدال هذا التعبير وتحليل الاعتماد على${\displaystyle x}$،

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\alpha ,\beta )\propto _{x}\left(1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\beta }}\right)^{-(\alpha +1/2)}.}$

شكل توزيع t المعمم للطالب هو

${\displaystyle t(x|\nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})\propto _{x}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-{\hat {\mu }})^{2}}{{\hat {\sigma }}^{2}}}\right)^{-(\nu +1)/2}}$.

التوزيع الهامشي${\displaystyle f(x\mid \mu ,\alpha ,\beta )}$يتبع توزيع t مع ${\displaystyle 2\alpha }$درجات الحرية

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\alpha ,\beta )=t(x|\nu =2\alpha ,{\hat {\mu }}=\mu ,{\hat {\sigma }}^{2}=\beta /\alpha )}$.

في حالة المتغيرات المتعددة، يكون التوزيع الهامشي لـ${\displaystyle \mathbf {x} }$هو توزيع t متعدد المتغيرات :

${\displaystyle \mathbf {x} \sim t_{2\alpha }({\boldsymbol {\mu }},{\frac {\beta }{\alpha }}\mathbf {V} )\!}$

يفترض

${\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )\!.}$

ثم لـ${\displaystyle c>0}$،

${\displaystyle (cx,c\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(c\mu ,\lambda /c,\alpha ,c\beta )\!.}$

البرهان: لإثبات ذلك، لنفترض${\displaystyle (x,\sigma ^{2})\sim {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )}$وإصلاح ${\displaystyle c>0}$تعريف${\displaystyle Y=(Y_{1},Y_{2})=(cx,c\sigma ^{2})}$لاحظ أن دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي${\displaystyle Y}$تم تقييمها في${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$يُعطى بواسطة${\displaystyle 1/c^{2}}$أضعاف دالة كثافة الاحتمال لـ ${\displaystyle {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )}$المتغير العشوائي الذي تم تقييمه عند${\displaystyle (y_{1}/c,y_{2}/c)}$وبالتالي فإن دالة كثافة الاحتمال لـ ${\displaystyle Y}$تم تقييمها في${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$يُعطى بواسطة$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y_{1},y_{2})&={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2\pi y_{2}/c}}}\,{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{y_{2}/c}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2\beta +\lambda (y_{1}/c-\mu )^{2}}{2y_{2}/c}}\right)\\&={\frac {\sqrt {\lambda /c}}{\sqrt {2\pi y_{2}}}}\,{\frac {(c\beta )^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,\left({\frac {1}{y_{2}}}\right)^{\alpha +1}\exp \left(-{\frac {2c\beta +(\lambda /c)\,(y_{1}-c\mu )^{2}}{2y_{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

التعبير الموجود على اليمين هو ملف PDF لـ${\displaystyle {\text{N-}}\Gamma ^{-1}(c\mu ,\lambda /c,\alpha ,c\beta )}$المتغير العشوائي الذي تم تقييمه عند${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$وهذا يكمل البرهان.

تشكل توزيعات غاما المعكوسة الطبيعية عائلة أسية ذات معلمات طبيعية${\displaystyle \textstyle \theta _{1}={\frac {-\lambda }{2}}}$،${\displaystyle \textstyle \theta _{2}=\lambda \mu }$،${\displaystyle \textstyle \theta _{3}=\alpha }$، و${\displaystyle \textstyle \theta _{4}=-\beta +{\frac {-\lambda \mu ^{2}}{2}}}$وإحصاءات كافية${\displaystyle \textstyle T_{1}={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}$،${\displaystyle \textstyle T_{2}={\frac {x}{\sigma ^{2}}}}$،${\displaystyle \textstyle T_{3}=\log {\big (}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}{\big )}}$، و${\displaystyle \textstyle T_{4}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$.

يقيس الفرق بين توزيعين.