توزيع جاما العكسي

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة بإضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "Inverse-gamma distribution" – news  · journalist  · books  · scholar  · JSTOR ( October 2014 ) ( Learn how and when to remove this message )

جاما العكسية

دالة كثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
حدود	${\displaystyle \alpha >0}$ الشكل ( الحقيقي ) المقياس ( الحقيقي ) ${\displaystyle \beta >0}$
يدعم	${\displaystyle x\in (0,\infty )\!}$
بي دي إف	${\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right)}$
سي دي إف	${\displaystyle {\frac {\جاما (\alpha ,\beta /x)}{\جاما (\alpha )}}\!}$
يقصد	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}\!}$ل${\displaystyle \alpha >1}$
وضع	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}\!}$
التباين	${\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}\!}$ل${\displaystyle \alpha >2}$
الانحراف	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}\!}$ل${\displaystyle \alpha >3}$
زيادة التجانف	${\displaystyle {\frac {6(5\,\alpha -11)}{(\alpha -3)(\alpha -4)}}\!}$ل${\displaystyle \alpha >4}$
إنتروبيا	${\displaystyle \alpha \!+\!\ln(\beta \Gamma (\alpha ))\!-\!(1\!+\!\alpha )\psi (\alpha )}$ (انظر دالة ديجاما )
إم جي إف	لا وجود له.
ت.ف	${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، توزيع جاما العكسي هو عائلة مكونة من معاملين من توزيعات الاحتمالات المستمرة على خط الأعداد الحقيقية الموجب ، وهو توزيع مقلوب متغير موزع وفقًا لتوزيع جاما .

ربما يكون الاستخدام الرئيسي لتوزيع جاما العكسي في الإحصاء البايزي ، حيث ينشأ التوزيع كتوزيع خلفي هامشي للتباين غير المعروف للتوزيع الطبيعي ، إذا تم استخدام أولوية غير إعلامية ، وكأولوية مترافقة قابلة للتحليل ، إذا كانت الأولوية الإعلامية مطلوبة. ^{[1] من الشائع بين بعض البايزيين النظر في} معلمة بديلة للتوزيع الطبيعي من حيث الدقة ، والتي تُعرف بأنها معكوس التباين، مما يسمح باستخدام توزيع جاما مباشرة كأولوية مترافقة. يفضل البايزيون الآخرون معلمة توزيع جاما العكسي بشكل مختلف، كتوزيع مربع كاي العكسي المدرج .

يتم تعريف دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جاما العكسي على الدعم ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)}$

مع معامل الشكل ومعامل المقياس . ^[2] هنا يشير إلى دالة جاما . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \جاما (\cdot )}$

على عكس توزيع جاما ، والذي يحتوي على مصطلح أسي مشابه إلى حد ما، فهو معلمة مقياس حيث تلبي دالة الكثافة: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}}$

دالة التوزيع التراكمية هي دالة جاما المنتظمة

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!}$

حيث البسط هو دالة جاما غير المكتملة العليا والمقام هو دالة جاما . تسمح العديد من حزم الرياضيات بالحساب المباشر لـ ، دالة جاما المنتظمة. ${\displaystyle س}$

بشرط أن يتم إعطاء اللحظة - لتوزيع جاما العكسي بواسطة ^[3]${\displaystyle \alpha >n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}$

التوزيع العكسي جاما له دالة مميزة حيث هي دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني. $${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$$${\displaystyle K_{\alpha }}$

من أجل و ، ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

و

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

إنتروبيا المعلومات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

أين توجد دالة digamma ؟ ${\displaystyle \psi (\alpha )}$

إن انحراف Kullback-Leibler لـ Inverse-Gamma( α _p , β _p ) من Inverse-Gamma ( α _q , β _q ) هو نفس انحراف KL لـ Gamma ( α _p , β _p ) من Gamma ( α _q , β _ف ):

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

أين هي دالات توزيع جاما العكسية و هي دالات توزيع جاما، هل توزيع جاما ( α _p , β _{p ).}${\displaystyle \rho ,\pi }$${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

• إذا إذن ، بالنسبة لـ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$${\displaystyle k>0}$
• إذا كان ( توزيع كاي مربع العكسي )${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$
• إذا كان الأمر كذلك ( توزيع كاي مربع العكسي المقياس )${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$
• إذا إذن ( توزيع ليفي )${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$
• إذا كان ( التوزيع الأسي )${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$
• إذا ( توزيع جاما مع معامل المعدل ) إذن (انظر الاشتقاق في الفقرة التالية للحصول على التفاصيل)${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$
• لاحظ أنه إذا (توزيع جاما مع معلمة المقياس ) فإن${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )}$
• توزيع جاما العكسي هو حالة خاصة من توزيع بيرسون من النوع الخامس
• التعميم المتعدد المتغيرات لتوزيع جاما العكسي هو توزيع ويشارت العكسي .
• لتوزيع مجموع متغيرات جاما المقلوبة المستقلة، انظر Witkovsky (2001)

دع ، وتذكر أن دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جاما هي ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$, .${\displaystyle x>0}$

لاحظ أن هذا هو معامل المعدل من منظور توزيع جاما. ${\displaystyle \beta }$

حدد التحويل . ثم يكون ملف pdf الخاص به هو ${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

لاحظ أن هو معامل المقياس من منظور توزيع جاما العكسي. ويمكن إثبات ذلك بشكل مباشر من خلال رؤية أن يلبي الشروط اللازمة لكونه معامل مقياس . ${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle {\beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(y/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp(-{\frac {1}{\frac {y}{\beta }}})\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp(-{\frac {\beta }{y}})\\[6pt]&=f(y;\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

• يتبع توزيع وقت الضرب لعملية وينر توزيع ليفي ، وهو حالة خاصة لتوزيع جاما العكسي مع . ^[4]${\displaystyle \alpha =0.5}$

• توزيع جاما
• توزيع كاي مربع العكسي
• التوزيع الطبيعي
• توزيع بيرسون

• Witkovsky, V. (2001). "حساب توزيع مجموعة خطية من متغيرات جاما المقلوبة". Kybernetika . 37 (1): 79–90. MR  1825758. Zbl  1263.62022.