رتبة التقريب

في العلوم والهندسة وغيرها من التخصصات الكمية، يشير مصطلح "رتبة التقريب" إلى تعبيرات رسمية أو غير رسمية تُحدد مدى دقة التقريب بدلالة عدد المعاملات المستخدمة في بنائه. تركز هذه المقالة على تقريب الدوال الحقيقية الملساء ذات متغير واحد، ويمتد هذا المفهوم ليشمل الدوال بين فضاءات أخرى، مثل الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد المختلفة. ^{[ 1 ]}

في العلوم والهندسة، من الشائع تقريب دالة ما باستخدام متسلسلة تايلور ، ثم حذف الحدود ذات القوى الأعلى للمتغير. رتبة التقريب هي الحد ذو أعلى قوة الذي يتم الاحتفاظ به. على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى تقريب من الرتبة الصفرية ، وتقريب من الرتبة الأولى ، وتقريب من الرتبة الثانية ، وهكذا. كما توجد اختلافات أخرى مثل التقريب من الرتبة الصفرية والتقريب من الرتبة الصفرية .

في حالة الدالة الملساء ، يكون التقريب من الرتبة n عبارة عن متعددة حدود من الدرجة n ، يتم الحصول عليها بتقليص متسلسلة تايلور إلى هذه الدرجة. يؤثر تقليص المتسلسلة على الدقة. في معظم الحالات، تتحسن دقة التقريب مع زيادة الرتبة، لكن الرتبة لا تشير مباشرةً إلى نسبة الخطأ في التقريب. راجع نظرية تايلور لمزيد من التفاصيل.

على سبيل المثال، في متسلسلة تايلور للدالة الأسية ، $${\displaystyle e^{x}=\underbrace {1} _{0^{\text{th}}}+\underbrace {x} _{1^{\text{st}}}+\underbrace {\frac {x^{2}}{2!}} _{2^{\text{nd}}}+\underbrace {\frac {x^{3}}{3!}} _{3^{\text{rd}}}+\underbrace {\frac {x^{4}}{4!}} _{4^{\text{th}}}+\ldots \;,}$$ الحد من الرتبة الصفرية هو${\displaystyle 1;}$الحد من الدرجة الأولى هو${\displaystyle x,}$الدرجة الثانية هي${\displaystyle x^{2}/2,}$وهكذا دواليك. إذا${\textstyle |x|<1,}$كل حد من الرتبة الأعلى يكون أصغر من الحد الذي يسبقه. إذا${\textstyle |x|\ll 1,\,}$ثم التقريب من الدرجة الأولى، $${\displaystyle e^{x}\approx 1+x,}$$ غالباً ما يكون ذلك كافياً. ولكن في${\displaystyle x=1,}$الحد من الدرجة الأولى،${\displaystyle x,}$لا يقل عن الحد ذي الرتبة الصفرية،${\displaystyle 1.}$ وفي${\displaystyle x=2,}$حتى الحد من الدرجة الثانية،${\displaystyle 2^{3}/3!=4/3,\,}$أكبر من الحد ذي الرتبة الصفرية.

ل${\textstyle |x|<1,\,}$الرتب القليلة الأولى لتقريب هذه الدالة هي:

الرتبة الصفرية

${\displaystyle e^{x}\approx 1}$

الدرجة الأولى

${\displaystyle e^{x}\approx 1+x}$

الدرجة الثانية

${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}}$

من الدرجة الثالثة

${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}}$

الرتبة الرابعة

${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}}$

يستخدم العلماء والمهندسون هذه المصطلحات أيضًا بشكل غير رسمي للإشارة إلى أن المعالجة تقريبية أو لوصف ظواهر يمكن إهمالها لعدم أهميتها. على سبيل المثال، قد يصف أحدهم وصفًا رياضيًا لنظام فيزيائي بأنه تقريب من الدرجة الأولى حتى في حال عدم استخدام متسلسلة تايلور، أو قد يصف آلية يتم تجاهلها بأنها تأثير من الدرجة العليا. في هذا الاستخدام، لا تكون رتبة التقريب دقيقة، بل تُستخدم للتأكيد على ضآلة التأثير. على سبيل المثال، قد يقول أحدهم: "بالطبع يؤثر دوران الأرض على تجربتنا، لكنه تأثير من الدرجة العليا لدرجة أننا لن نتمكن من قياسه." أو "عند هذه السرعات، تُعد النسبية تأثيرًا من الدرجة الرابعة لا نهتم به إلا عند المعايرة السنوية."

• التخطيط الخطي
• نظرية الاضطراب
• طريقة تشابمان-إنسكوج
• تدوين كبير
• ترتيب الدقة